Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. (у(х, Ь)) равностепенно непрерывна. б) Из условия нормировки (р, у') = 1 следует, что по край- ней мере в одной точке х = х имеет место неравенство р(х')у'(х',Ь) (1, т, е. [у(х', И)1(1/]ттсо Отсюда и из (223) следует равномерная ограниченность последовательности (у(х, Ь)); ]у(х", И) ]([у(х', Ь) !+[у(х", Ь) — у(х', И) !(=+ ~' . По теореме Ардена, примененной к последовательности се- точных функций, существует некоторая подпоследовательность 176 гл, иь одногодныв влзиостныв схвмы 120 (у(х, Ьо))„равномерно сходящаяся к некоторой функции й(х), непрерывной на отрезке (О, !): 1!ш [[у(х, Ьо) — й(х)[[с=О. (224) ио-»о Будем предполагать, что соответствующая числовая после- довательность [Л ") = (Л(Ьо)), ограниченная в силу (219), схо- дится к некоторому пределу Х: 1!гп Л(Ьо) = Л.
ьо-»о В противном случае мы выбрали бы из нее сходящуюся под- последовательность и ограничились бы рассмотрением только этой подпоследовательности. Л е м м а 6. Если для некоторой последовательности (Л(Ь»)) 1!гп Л(Ьо) = Л, (225) ьо-»о то Х = Ль где Л» — наименьшее собственное значение задачи (204). До к аз а тел ь с т в о.
Пусть и'(х) — некоторая кусочно- гладкая функция, для которой и*(0) = и*(1) = 0 и Л' = Н [,]:и" Л, + е, е ) О, 0 [и"] и пусть 1»н 1о'1 Л'(Ь,) = ',, Лг„= 1[Ь„. нн !и'1 ' В силу принципа минимума Л,(Ьд) <Л'(Ь„), причем Л'(Ьо)-» Л' при Ьд-~0. Переходя к пределу при Ьо-+О, получим Л(Л" (Л, +е. Отсюда, в силу произвольности е, следует, что Х ( Ль Наша ближайшая цель — показать, что предельная функция й(х) удовлетворяет уравнению (204) при Л =Л. Задача (213) эквивалентна разностному аналогу интегрального уравнения у(х) = Л" (0(х, $), р(4)у$)), (226) где 6(х, $) — функция Грина для оператора Л (см.
п. 8). В самом деле, в п. 8 было показано, что решение задачи ЛУ=(аУ„)„— йУ= — ф(х), 0<х=(Ь<1, у(0)=у(1)=0 дается формулой у(х) (0(х, ~), ф($)). о !. схемы для стАциОнАРного уРАВнения В нашем случае следует формально положить 1р = Лру, что сразу дает (226).
Если воспользоваться функцией Грина 6о(х, З) оператога Лу=(ау ), у«=у =О, то задачу (213) можно свести к уравнению у(х) = (6« (х, й), (Л"р(й) — с((~)) у(~)). (228) В п. 9 было выписано явное выражение для 6о Из него « видно, что 6о(х, $) при й- 0 сходится к функции Грина 6,(х, з) задачи (йи')'= — [(х), 0(х< 1, и(0) =и(!) = О, (229) (227) так, что 1!т / бо(х, 4) — 6о(х, о)/ = О. (230) «-«о Совершим в (228) предельный переход при й — «О и учтем соотношения (224), (225) и (230): 1 й(х)= ';: 6,(х, $)(Лг($) — д(з))й(й)дй. (231) о Приведенные выше рассуждения относились к наименьшему собственному значению Л«1. В случае других собственных значений Л„" при и ) 1 все рассуждения сохраняют силу, если учесть, что Л„и Л„определяются как минимумы функционалов (Ггн[гр))[(ЙН [1р)) и, соответственно, (О [1р) )7(н [1р) ) при дополнительных условиях ортогональности Нн[1р, у„! = 0 и Н[1р,и 1= О, ! «гп (и.
Следует отметить, что мы исследуем собственные значения и собственные функции номеров и ( по, где и, по не зависят отй, Отсюда, по определению функции 6о(х, $), следует, что решение й(х) интегрального уравнения (231) удовлетворяет дифференциальному уравнению (204) при Л = Л. Итак, Х вЂ” собственное значение задачи (204). Так как, согласно лемме 5, Л( ( Ль где Л1 — наименьшее собственное значение, то Л = Л1 и, следовательно, и(х) = и1(х) — первая собственная функция задачи (204).
Таким образом, мы доказали, что последовательность (у(х, й)) равномерно сходится к и,(х), а Л", = Л,(й) сходится к Л, сгри й-«0; Вгп 1! у, (х, й) — и1 (х) ![с —— О, !! гп Л1 = Ль (232) «-«о «-«о ГЛ. 1и, ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТИЫЕ СХЕМЫ 121 1та При изучении задачи Штурма — Лиувилля для простейшего оператора Лд= ух„в гл, 1, $2, мы нашли собственные значения 'А 4 . Еаа Л = — з!и — и = 1, 2, ..., Л' — 1. л — А2 2 Их число равно числу Ф вЂ” ! внутренних узлов сетки. Сравнивая Л~ с решением задачи для дифференциального уравнения (и" + Ли = О, и (0) = и (! ) = 0),Л„= и'и', и = 1, 2, ... видим, что последние собственные значения Л„не имеют ника- 'А кого отношения к точным собственным значениям Л„тех же номеров.
Так, например, Лт 1= а, соз ~, Ли 1=и (У-1) = 2 на 2 2 '2 — = —,(! + 26+ 0(Ь2)) = 0,4, 4 ЛУ-1 'А т. е. Лх 1 отличается от точного значения Л„, примерно в 2,5 раза. Всюду мы предполагаем, что номер и собственного значения фиксирован и не зависит от Ь. При отыскании собственных значений номера и фактически требуется, чтобы Поэтому для определения собственных значений высокого порядка требуется очень мелкая сетка.
Для и ~ 10 целесообразно использовать схемы высокого порядка точности. 21. Разностиая задача Штурма — Лиувилля. Оценка скорости сходимости. Пусть Л", у(х) — решение разностной задачи (213), а Л, н(х) — соответствуюшее решение исходной задачи (204). Выясним вопрос об асимптотическом (при»»-РО) порядке погрешностей г = у — и и ЛЛ Л" — Л в равномерной метрике.
Для погрешности г = у — и получаем разностную краевую задачу Лг + Л"рг — Ч', 0 ( х = Й < 1, г (0) = г (1) = О, Лг = (агх)„— 1(г, (233) где Ч' = Ли + Л"ри (234) — погрешность аппроксимации для схемы (213) на решении уравнения (204)'. м! ). СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ 179 Преобразуем выражение для Ч'. Для этого проинтегрируем уравнение (204) по х в пределах от х; А до х(+ А. х; .).)Ь вЂ” ((у (х) — Лг (х) ) и (х) (Кх О, х; (Ги (х,.) и)(= Ь(х)) Вычитая это тождество из (234), получим Ч' = ф + (Л" — Л) ри, где ф=ч.+ф', 0,5 0'- — (х (*) — !»(*»*») (» х)х*)-» -ол 0,5 <-х!» — 1 ( <- х) '(*»ю)ю), (237) -0,5 т! = аих — Ь (х — 0,5Ь) и' (х — 0,5Ь). (238) В частности, для схемы (2!3) с коэффициентами (57) имеем Ф - ф+(Л" — Л)ри, (236) Ф = Чх+ф' О,о — д(х+ УЬ)(и(х+ зЬ) — и(х) ) (15+ (239) -0,5 0,5 +Л ]Г г(х+ зЬ)(и(х) — и(х+зЬ))(Ь, Для выяснения точности схемы (213) надо оценить решение задачи (233).
Параметр ЛА является собственным значением. Поэтому неоднородное уравнение (233) разрешимо только в том случае, когда собственная функция у задачи (213) ортогональна к правой части уравнения (233), или, точнее, должно быть выполнено тождество (Ч', у) = (ф, у) + (Л" — Л) (ри, у) = О. (240) Пусть и(х) н у(х) — нормированные собственные функции: Н [и] 1, Н„[у] 1. гл.
пь однозодныв з»зиостныа схемы Выше было доказано, что ![у — и![с-эО при Ь- О. Поэтому при достаточно малом Ь можно утверждать, что (ри,у) чьО. Собственному значению Л" соответствует только одна собствеииая функция, определяемая с точностью до произвольного миожителя Со. Выберем множитель Со таким образом, чтобы функция у Соу был ортогоиальиа разности г = у — и: (ру, 2) = О. Отсюда получаем (Р, иУ) =(РУ, У вЂ” 2) = (РУ, У) — (РУ, 2) =(РУ, У) = Со(Р, Уз) = Со. В предыдущем пункте было показано, что у(х) о-и(х) при Ь-~0. Поэтому Со-»-1 при Ь-»-0.
Будем считать, что Со ) О. Далее, (р, и') = (р, (г — у)') = (р, 2') — 2 (р, гу) + (р, у') = (Р у ) + (Р г ) = Со (Р 2и)~ так, что 1 — Со = — (р, ги) — (Нн [и[ — Н[и[). (242) Условие (240) используем для определения ЬЛ: ЬЛ = Л» — Л = — (ф, у)/(ри, у) — (ф> у)/Со (243) Преобразуем теперь правую часть этого тождества, учитывая, что ф = о1„ + Чг, (244) И, У) = — [Ч, Уг1 + (ф'. У).
Отсюда и из оценок (220) для у и у; следует Л е м м а 7. Пусть Ь, а, г — кусочно-дифференцируемые функции, Л„и Л„" — собственныезначения задач (204) и (2!3), соответственно. Тогда справедлива оценка [ Л„- Л„1:-.= Мп ' ((1, ! о! !1+ (1, ~ р' [) ), где М = сопз1 ) 0 не зависит от Ь и и. Перейдем к оценке 2. Так как у Соу, то у удовлетворяет уравнению (2!3) и Ни[у] = Со, а для г = у — и получаем задачу (233). Сведем задачу (233) к дискретному аналогу интегрального уравнения г(х)=Л" (6(х, й), р(й)2$))+(6(х, $), Ч'(а)), (245) где б(х, а) 0»(х, $) — разяостиая функция Грина оператора Лу = (аух)ч — о(у с краевыми условиями у(0) = у(1) О.
Собствевиая функция у задачи (213) удовлетворяет уравиеиию у(х)=Л»(б(х $), рВ)у-()). (246) 4 !, схимы для стлционйгиого грйвнвния !81 (247) (248) (249) (253) получим (К(х, 5), 1(~))=,"~', — „'" фй(х) й-1, йЗп 1„й с„= — ", ей+ — "й (1, 1рй), Пусть Х Х„вЂ” собственное значение номе а и, а у = й й р„(х) — нормированная собственная функция, (р, у„') = 1, Чтобы получить вместо (245) и (246) уравнения с симметрич- ным ядром, сделаем замену о(х)' )1р(х) г(х), 1р(х)= р'р(х) у, К(х, Д= )гр(х) рф) 6(х, ~). Тогда уравнения (245) и (246) примут вид о„(х)=а".(К(х, и, оа)+У(х), П ) = (К (, и, Ч'(И, Ф = 1'/'6 . 1р„(х) = хй(К(х, з), ф„(з)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
