Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 33
Текст из файла (страница 33)
а4 а 4 ! 4 ! Функция а=и! определяется из условий (ае„)„= — Г4„, Г4 Рг+ ари, ер е„= О по формуле для и„если в ней заменить р на р. ф а схемы для пАРАБОлическОГО уРАВнения !96 Из явных выражений для ш и и<< легко получить оценки 1~.!1~Ы"! )= —.',(' !р!) А < (30) !1,~!< —,', И1, !р,!1 з!!Ы!!) <8(1,!И,Ц+Ф(1, !й!Ф где с, и со — постоянные из (8) и (9), Подставляя !! ю~~ и !< ш< !! в (27), получаем для решения задачи (24) при <Р=(<, следующую априорную оценку: !! у'~' !! < !! у, !1+ М <пах ((1, ! р Г ! ! + (1, / (<Г ! ] ), (31) о < г</ если выполнено условие (26').
Чтобы получить оценку решения задачи (25) в энергети- ческой норме !!у!!А — — )'(Ау, у), потребуем выполнение условий: А(!) самосопряжеьный положительно определенный оператор, А(!) удовлетворяет условию Липшица по 1: !((А(!) — А(! — т))у, у) !: тсо(А(! — т)у, у) для всех у ее Н. (32) Это неравенство для нашего оператора А(!) = — Л(!) выпол- няется, если потребовать, чтобы ! а (х, !) — а (х, ! — т) ! < тс,а (х, ! — т) или ! а< ! » <соа, где со сопз(>0 не зависит от т и й.
В самом деле, ! ((А(!) — А(! — т))у, у) ! !((Л вЂ” Л)у, у) ! =/((а — а) уге ух1! =т)(а,ух, у„1 / <тс (аух, у,)=тс,(АУ, у). В силу теорем 12, 13 из гл. У1, 2 1 для схемы (25) имеют место следующие априорные оценки: !) Если выполнены условия (32) и а ~по, то !! у"'!(А(< ! » <М<!! уо !!А<о<+Мо и<ах !! <Р'!!А-~ (<,1+~<)~Р,'!! -, (33) А (<! о < < < < [ Г А (<< )! 2) Если выполнены условия (32) и а)а„то !!Уге !!А <<»М<!!Уо!!А<о<+=' <пах !!<Р<'/!. (34) Здесь Мп М, — положительные постоянные, не зависящие от т и Ь.
В нашем случае Ау= — Лу = — (аух), Ау — у„.„так что (Ау, у)~~с<(АУ, у), (А 'у, у)<» — (А 'у, у). (35) 196 Гл. не ОднОРОдные Разностные схемы Учитывая (33) — (35), оценки для (Аш, ю), и = А 'ф и неравенство !! у !! <05!/у-Д, получим для решения задачи (24) в случае уо — — 0 следующие оценки: !! У'"' !!с < Ме гпах (!! (А!']! + /! (АД ) (ЗЗ') оч! <! пРи а) оо и ф =(А„, !! у!о! !!с ~ (=' !пах (34') 1'е о<! <! (! — е) А ПРИ О~)ое, ГДЕ Оо= 2 ото Отсюда видно, что схема (24) при о 0,5 абсолютно устой- чива. Явная схема (О = 0), как это видно из (26'), устойчива при т < <0,56'/се = то, т, е.
условно устойчива. Величина максимального допустимого шага то зависит от максимума ге коэффициента теплопроводно- сти так, что то-о-0 при се-+-Оо, Поэтому пользоваться явными схемами для уравнения (1) с большим коэффициентом тепло- проводности я(х, !) нецелесообразно, Из оценок (33) и (34) устойчивость в С по начальным дан- ным не следует. Соответствующие оценки в норме С можно получить при помощи принципа максимума.
А(ля этого запишем уравнение (24) в виде — отЛу + у = Р, Р = у + (1 — о) тЛу + т!р или А!О!-! — С!Ус+А!+!0~+!= — Р!, 0<г<Л' уо=УЕ-О, о А!=таа!)Ео, С! — — Ао+ А;+, +1)!, 11!-— 1. (36) В гл. 1, $2, п. 5 для уравнения (36) с правой частью РоО! при условии А! ) О, 0; ) 0 доказан принцип максимума и получена априорная оценка !! й !!с < !! Р !!с.
(37) В нашем случае О! = 1, Р; = Р!О! и ((-е)т ! т((-е) Р! = (1 — „, (оо+ пю+!)) у;+ А, (о!у — + пг+ у!+ ]+тф!. (ЗЗ) Пусть выполнены условия 0<оа~1, 2(1 — О)тса~~й. 6! 4 Е. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 197 Тогда А~ ) 0 и все коэффициенты при уь у, ь уем в (38) неотрицательны, поэтому ))р))с( ))у!!с+ т)(<р))с и из (37) получаем )! ут~' ))с ()! уг ))с+ т)! ре !)с, 1' = О, 1, ..., 1. Суммируя по 1' от 0 до 1, имеем 1 ))у~~ ))с ~))уо))с+ Х т)! Чу'))с. т-о (39) Эта же оценка справедлива и для явной схемы (о = О, А~ = 0), Таким образом, доказана Т е о р е м а 1.
Если выполнено условие Ае т( 9(! ), 0(а(1, (40) Отсюда следует равномерная сходимость схемы (7) — (9) со скоростью 0 (И' + т"е), если выполнены условия, прн которых ( 1, ОФ0,5, )($))=0(й + ), пГ.= Займемся теперь исследованием вопроса о сходимости схем (7) в классе разрывных коэффициентов. Представим г в виде то для задачи (24) справедлив принцип максимума и имеет место априорная оценка (39) в равномерной метрике )! у ))с = гпах )у; !. О<г~л' Из (40) видно, что прн а = 1 оценка (39) верна прн любых т н й, т. е.
схема с опережением абсолютно устойчива в С. Для явной схемы, о = О, оценка (39) верна при условии (35). Рассмотренные в этом пункте априорные оценки мы применим для исследования скорости сходимости разностной схемы (7) — (9) . 5. Сходимость и точность. Чтобы выяснить скорость сходи- мости или порядок точности схемы (7) — (9) как в классе непрерывных так и разрывных коэффициентов, нужно оценить решение задачи (!3), учитывая при этом структуру погрешности аппроксимации (!6) — (23). Рассмотрим сначала случай непрерывных и достаточно глад. ких коэффициентов й и ). Пусть схема имеет второй порядок локальной аппроксимации, т. е.
$ = 0(й'+т е). Оценка (34') принимает вид ))е)+')!с~(= Гпах !!фт)! при о)а„а,= —— м ! (1 — е) Ае 1 е о<с<! е е 2 4тс, Гл. и!. одноРодные РАЗ>>остные схемы суммы е = о + и, где о и и> — решения задач о,=Ло!'>+и„, о(х, 0)=0, ое — — о„=О, »=т>+>1, (41) ш>=Ли>е>+>р**, и>(х, 0)=0, и>е=в„=О. (42) Наиболее слабые требования к правой части предъявляет априорная оценка (29), которая для задач (42) и (41) при а)~ о, имеет внд !!в>+! 1!( — гпах !!'>Р* ' !!! .„ )> е о<>'~> !!о>е'>1(= !пах (1, 1>е> !], М (44) Уе о~! -> где р = т! + >>, >р** определяются формулами (!7), (!8), (22) и (23). При этом о и н> оцениваются в сеточной норме !.Х(е>е). Из (20) следует, что (1, 1т>~]=0(йе)+1т>„.>! !й= 0(й), так как т>ею — — 0(1).
Для !> получаем оценку (1, ! т>/] ( й~1 ф„ ! + й (ф„ + фею) = 0 (й), Априорная оценка (44) дает !!оын!!=0(й+ .). Из априорной оценки (43) следует 1! >о>ы !1= 0(й'+ те) так как ф*'= 0(йе+ т) Объединяя оценки для !]оЦ и !!и>!1, получаем !!е'+'!!=0(й+ "'). Для наилучшей схемы имеем т>! = 0 (й'+ т"е), ! ~ и+ 1, т>„.„, = 0(й+ т"е) ф„=о(!), ф„„=о(!), ф„+ф„„=о(й+ "),' так что (1 1ч )] 0 (йе ! те1е) ф * 0 (йе+ те) Отсюда и из (43), (44) заключаем, что наилучшая схема имеет точность 0(т"е+й ) в классе разрывных функций й, ! ен Я!'>[О, !]. Будем предполагать, что Й(х,г), 1(х,() и функция и(х,1) в областях непрерывности й и ! являются столь гладкими, что выполнены условия тй=0(й +т ), !чьи+1, >р, =0(й +т), 1чап, и+1. (45) 4 г. схимы для плплволичвского телвнення )29 (48') Из предыдушего следует, что верна Теорема 2.
Пусть Ь(х,() и ('(х,1) имеют конечное число разрывов первого рода на прямых, параллельных оси координат 01, и выполнены условия (45) и (з). Тогда любая схема (7) с а)аы ае= 2 4, г>0 () — г) «' 4тс, имеет в сеточной норме 1.г(сьл) точность 0(Ь+т ), а наилуч- шая схема с коэффициентами а, ~р имеет точность О(Ь'+т с), где т =1 при аФ0,5, п|,=2 при а=0,5. В классе гладких функций Ь и 7 любая схема (7) имеет в сеточной норме С точ- ность 0(Ь +т с). Чтобы получпть оценку точности в норме сеточного про- странства С (равномерную оценку), следует воспользоваться ап- риорными оценками (ЗЗ') для о и (34') для сс, Для о и и зти оценки принимают вид Йо'+'))с(»М гпах (Нр'Х+))р))1), р=Ч+Ч (46) ь<г<с ге!~'~)с(»М гпах (~$"*' ~)(. (47) о~) ~у Так как Чаю=О(1), то ЦЧ])(»)Ч„ы1УЬ +0(Ь')=0()тЬ) и )1 о/4'))с — — 0 ()ГЬ +т"'с). Далее имеем)/ Ц (Ь ") ф„~+Ь! ф+ф„+~ ) »( ( М (Ь + т с) и, следовательно, ° )),= О()/Ь +т™ ).
(48) Для наилучшей схемы получаем оценку )) гг4 ' )! = О (Ь л .1- т"'а) Потеря половины порядка по Ь()/Ь вместо Ь), очевидно, связана с методом исследования. Пользуясь принципом максимума, можно доказать равно- мерную сходимость со скоростью 0(т с+ Ь) при условии т( «2 2(! — в) с, ' Мы рассмотрим схему с опережением (а=1). Для ее по- грешности г = у — и имеем задачу г, = Лг + ~, ~р = р„+ 4р"„р =. Ч + Ч, 1 (49) г(х, 0) О, г(0, 1)-г(1, Е) =О.
Решение этой задачи оцениваем методом выделения чстацио- нарных неоднородностей», полагая о+ гв, гл, нь одноеодные ехзностные схемы где го — решение стационарной задачи: (50) Лгу + Р„О, гй, !Ух — — 0„ а о определяется условиями "!=Лб+Ф Ф ф — ш! о(х, 0)= — го(х, 0), о,=ох=О. (5! ) Для го и ю!, согласно п. 4, справедливы оценки !!Ф!!с«М(1~ !р!], !!го!!!с«М((1, !Р!]+(1 !Рс!1) (бй) Для сеточной функции о, в силу теоремы 1, при любых т и й имеет место неравенство ! !! о!~ ' !!с «!! и! (х, О) !!с + ~! т !! фг !!с « г-о ! ! «!! (х, О!!с+ „'Р т!! !г]с+ 2" т М""'!! (53) Отсюда н из предыдущих неравенств следует: ! (!о!+'(!с«М гпах ((1, ]р!'!]+(1, (р!!'(11+ х! т]ф*'!!с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
