Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Этот минимум определяет л-е собственное значение Л„ = пнп 0 [ф] = 0 [и„], где и — и-я собственная функция. Укажем некоторые известные свойства собственных функций и собственных значений (см. Р. Курант и Д. Гильберт [1]). 1. Задача Штурма — Лиувилля (204) †(206) для кусочно-непрерывных функций й, а, г имеет счетное множество собственных значений 0 < Л! < Ла « ... Л„<,. „которым Гл.
н1. ОднОРОдные РАзностные схемы !70 соответствуют собственные функции и1(х), иэ(х), ..., и,(х), ... При этом каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция. 2. Собственные функции (и„(х)) образуют ортонормированную (с весом г(х) ) систему. 3.
Собственные значения Л - ОО при а-4.оо, точнее сои ~( Лоо ~~ сел со ) 0 (210) где со и со зависят только от сь с,, со, со и не зависят от и. 4. Для собственных функций и их производных справедливы оценки !и„(х)!(с„!и'„(х)/(с' )гЛ„<сои, (2!1) где с, и с,— положительные постоянные, не зависящие от и. Для случая й, 17, ген С1о! доказательство оценок (2! 1) дано в книге Р. Куранта и Д. Гильберта(1).
Покажем, что оценки (2!1) имеют место и в случае кусочно- непрерывных и кусочно-дифференцируемых коэффициентов,точнее, прн А, г е= Ян! о7 е= 9141 Без ограничения общности можно считать, что А, 41, г имеют разрывы первого рода в одной точке х = $, 0 < В < 1. В этой точке выполняются условия сопряжения (20б). Сделаем замену аргумента, положив о 1= ~ г(х) 4(х. о Тогда уравнение (204) при Л = Л примет вид — „", !41оОф-ООоОо-ооо=о, ососй $ й (0) = й (Х) = О, (212) ! где й(!) = й(х)г(х), о)(1) =(47(х))((г(х)), й(!) =и(х), 1= ) г(х) 4!х. о Умножим уравнение (212) на й'(4) и проинтегрируем от 0 до й Учитывая, что (йй'У й' = —,((йи')')', йй' = 0,5 (й')о А(0) (й'(0) )'+ Лй'(0) = й(1)(й'(!) )'+ Лй'(!)— с с 'Ф' -2 ~ д(!1) й(!1) Й! — ~ й (йо)э ' щ1. е 9 и пользуясь условиями сопряжения, получаем после интегриро- вания по частям 171 $ с.
схемьс для стАционАРного уРАВнения оо ! Проинтегрируем еще раз по г от 0 до 1 и учтем, что с ~й'(1)й1=1, ~й(1)(й (1)) й((Л. о о В результате получим Г ' »а 2 „~ с(1 ~ с)йй'йтс (~21/!с)([с ~/ йо(1)с)1 ~(й'(1))ос(1 о о о о о, с с сП ~ й(й')о — сйс ~(1~ — ~ Л„(ссоЛ„. о о Таким образом, справедлива оценка й (0) (й'(0) )о+ Лй (0) (~ ссоЛл+ со )» Лл бсо = 2+ сс,.
Отсюда и из предыдущих оцснок следует: й(1)(й'(т))'+ Л„й'„(Г) 'Й(0)(й'(0))с+ Ллйс (0)+ + со )«Лл + ссоЛл ~~ со )» Лл + ссоЛл» так что й'„(с) ~до+ — "' <сн ! Й„(1)[=1и„(х)~л=.сн [ й„'(1) / = — ) и„'(х) / ( сн )/Лл, [ н'„(х) / ~ (со ) Лл, что и требовалось доказать. В процессе доказательства мы использовали кусочную непрерывность и кусочную дифференцируемость х(1) = сс(х)«(х) по (, что имеет место, если й(х), «(х) ~ Яссс[0, 1).
Перейдем к постановке разностной задачи на собственные значения. Введем на отрезке [О, 1) равномерную сетку сол =(х, =й, с'=О, 1, ..., У, Ьсу'=1) и аппроксимируем задачу (204), (205) при помощи однородной разностной схемы сЛУ+Л~рр=О, 0(х=сй(1, у(0)=у(1) О, (213) где Лу = (ау,) — с( (х) у.
Будем предполагать, что Л вЂ” однородный разностный опера. тор второго порядка аппроксимации (см, п. 7), а коэффициент гл. щ. однородныв вхзностныв схимы р(х) определяется по той же формуле, что и И(х). Отсюда следует, что справедливы неравенства 0< с, ~(а(~с„0(с, ~ (р(х) (см О~е((х) (с,. (214) Таким образом, давностная задача Штурма — Лиувилля состоит в следующем: требуется найти такие значения параметра к" (собственные значения), которым соответствуют нетривиальные решения уравнения (213), а также найти эти нетривиальные решения (собственные функции), Условия сопряжения, аналогичные условиям (206), в окрестности разрыва коэффициента я(х) отсутствуют, так как мы рассматриваем однородные схемы, не предусматривающие явного выделения точек разрыва коэффициентов (схемы сквозного счета). Умножая (213) скалярно на у и учитывая формулу Грина (см.
гл. 1, $2, п. 1), находим д Ф я ~я !у) Ы' (215) где Р [У) =(а, (Уя)з)+(Ы, У'), Ня[У) =(Р, У'), (216) а у — решение задачи (213). Пользуясь формулой Грина, нетрудно убедиться также в том, что разностная краевая задача (213) эквивалентна следующей вариационной задаче: найти минимум функционала Р4ф) в классе сеточных функций, заданных на йк и удовлетворяющих условиям (217) Ох[4= 1, <ро=ц~я=О При этом число Х",=гп!пР, [~р[=Ря[у,] есть наименьшее собственное значение, а у1(х) — соответствующая собственная функция задачи (213) (принцип минимума).
Собственное значение Х,", номера я ) 1 находится как минимум функционала Ря[4 в классе функций сравнения, удовлетворяющих условиям О„Ы=1, О„[р,у„)=(рч, у )=О (218) и-1, 2, ", и-1 ф~='ря=О. Здесь у — собственная функция номера т. При этом пппР, [~р)= Р ~у„[=кз. Разностная задача Штурма — Лиувилля (213) является чи. сто алгебраической задачей. Поэтому не представляет труда доказательство следующих утверждений. $ ь схемы для стАциОнАРИОГО уРАВнения !рз 1.
Существует !у — 1 собственных значений О<Л! <ре« Лй ! которым соответствуют собственные функции у~(х), ус(х), ...,уп 1(х). Каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция. 2. Собственные функции (у„(х)) образуют ортонормированную (с весом р) систему: Н,[у„, у ]=О, гп ~п, Ох[у„]=1. 3. Справедливы оценки М~п'(Р."(Мсй, п=!, 2, ..., !У вЂ” 1, (219) где М[ и МУ вЂ” положительные постоянные, не зависящие от й и и.
4. Если /г, д, г~ Я~с', то имеют место оценки 1!у„! ( М, ]'и, ](у„)с] [ = Мсп*', (220) где ![у!!с — — !пах]у(х) 1, [у,И = гпах 1у„,), М~ и М,— постоянные, не зависящие от й и и. Докажем оценки (219) и (220). Заметим, прежде всего, что для случая о— = О, а=1, р=! собственные значения выписываются в явном виде: ОА 4 . яви 2 Мпс!, кпа А = — з)п' — =и'п7($) [ф) = Функция ~(е) монотонно убывает при $ен[О,п/2].
Поэтому справедлива оценка 4/и' ~ ([ $) < 1 и ри 0 < ф < 1 и, следовательно, 4п < Х„<п~п. Далее, имеет место очевидное неравенство с1 с~(1,<р„-1 0~[~р! (а, ~рс]+(Й, ~р ) са[1, Вс] е~ из которого следует ио Гл. нь ОднОРОдные РАзностные схемы !т4 Подставляя сюда полученную выше оценку для Х„, приходим к неравенству (219).
Перейдем к доказательству оценки (220). Пусть у = уо — собственная функция, Х" = Х„" — собственное значение задачи (213), х и х' — любые две точки сетки ыы Рассмотрим два очевидных тождества 8 Х 5=с уо(х) — уо(х ) = ~ (у' (з)) Ь = ~~ (у(з)+у(з — Ь)) у (з)Ь, (221) с-с оо с=с оо с-с-о (а (х) у, (х))' — (а (х') ух (х'))о = ~2~ Ь ((а(з) у,(з))'] — (а (з) у,(з)) (а (з) у,(з) + а (з + Ь) у,(з)] Ь = с с-о (Ы(з) — Х"р (з)) ]а (з) у, (з) + а (з + Ь) у, (з)] у (з) Ь. (222) с-х' Из условия нормировки (р, у') = 1 следует, что существует хотя бы одна точка х', в которой р(х')у'(х') 41 и, следовательно, уо(х') (1/сь Применяя для преобразования правой части (221) неравенство Коши — Буняковского и учитывая свойства (2!5) и (219), получим Уо(х)( —,+ —,(Р, У')~*(а, (Ух)']а(1/с, + 2 У' Э.о/с, М',и.
Далее, из условия (а, (у )'](Х" следует, что существует такая точка х', в которой а (х') ух(х') Хо и, следовательно, (а (х') у, (х'))'( с,Х". Пользуясь затем неравенством Коши— Буняковского для преобразования правой части тождества (222) и учитывая (214), (215) и (219), будем иметь с, 1с с, с~ с1 Тем самым, в силу произвольности х, доказаны неравенства (220). Условие нормировки (р, у') = 1 определяет собственную функцию с точностью до знака.
Для однозначного определения собственной функции надо ввести дополнительное условие выбора знака. Для этого можно, например, потребовать, чтобы у*,о ) О. Аналогичный выбор знака может быть проведен и для собственных функций и(х) исходной задачи (204). В дальнейшем изложении нормировка собственных функций наряду с условиями Ои [у! = 1 и Ни (и) = 1 будет включать и выбор знака указанным выше способом. э ь схемы для стАционАРного уРАВнения 1?З Сходимость при У-~-оо (Ь-ч-0) собственных значений и соб- ственных функций разностной задачи (213) к собственным зна- чениям и функциям исходной задачи (204) была доказана Ку- рантом [1] для простейшей схемы: а(х) = Ь(х — Ь), й(х) = д(х), р(х) = т(х) в классе гладких коэффициентов..
Пользуясь методом Куранта, докажем сходимость схемы (213) в классе кусочно-дифференцируемых коэффициентов, Рассмотрим сначала случай первого собственного значения (и = 1). Пусть ф(х) — любая непрерывная и кусочно-дифференцируе- мая функция, удовлетворяющая условиям Ч~(0) = Ч~(1) = О. Не- трудно заметить, что 11ш О, Ы - 0 [Ч~], 0 го «„[гг] = Н [гь], Отсюда следует, что Он[ге] ( Мь при любых У, где М, ) 0— положительная постоянная, не зависящая от У.
Пусть у = у(х, Ь) — сеточная функция, реализующая мини- мум функционала 0А Я: Ь" = 0н [у] при условии нормировки Ни[у] = 1. Рассмотрим последователь- ность сеточных функций (у(х, И)) на некоторой последователь- ности сеток (гль). Ле м м а 5. Последовательность функций (у(х, Ь)) равносте- пенно непрерывна и равномерно ограничена. Доказательство. а) Если х' и х" — точки сетки, то у(х", Ь) — у(х', Ь) = .Е~ Иу,(в, Ь). ь и Пользуясь неравенством Коши — Буняковского и ограничен- ностью 0н[у], получим отсюда ] у (х", Ь) — у (х', Ь) ! ~(]Г(1, (ух)] ]/! х" — х'1(='~4! х"-х' [, (223) 1 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
