Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Условие ортогональности 1(х) к функции ф„(х) выполняется в силу условия (240): (ф„(х), 7(х))=(1р„(х), (К(х, ф), Ч'(~)))=(Ч'(8), (К($, х), 1р„(х)))= ! ! 1Ч' ! — „(Ч'(8), ф„®) — „=, Р р д„— — „('Р, д„) -0. М и Условие (24!) запишется в виде (ф„, о„) = О. (251) Будем искать решение о(х) = о„(х) уравнения (249) в виде М-1 о (х) =1(х)+ ~ сй1рй (х) (252) й 1,йФа при дополнительном условии (251). Подставим это выражение в уравнение (249): М-1 о(х) =)(х)+ И„' 2~ с,(К(х, 5), фйЦ))+ 3,„й(К(х, ~), 7'($)).
Разлагая )(х) по собственным функциям (фй): . М-1 1(х) = ~х~ г(йфй (х), пй = (1, 1р„), й 1,йфв гл. ш. одногодные элзностные схимы 1в2 так что о(х) =((х)+ ~~ „ь „то(х). л."(1 е) ,,з;~„Лф (1 — Л„",1Л„") Оценим выражение, стоящее под знаком суммы: Я-1 г% ход Й л ь-ь ооа (254) Пусть з > Π— любое число, не зависящее от Ь. Выберем номер по такой, что Л„)~ (1 + е) Л». Тогда И-! И-1 и-1 где М=сопз1>О не зависит от Ь. Так как Л"„-ьл для й ~~а при Ь-+О, то сумма по Й от ! до ао — 1 при достаточно малом Ь(йо ограничена постоянной, не зависящей от й.
Таким образом, справедлива оценка !! о !!с ~М(и)!!) !!с. (255) Отсюда, учитывая ограниченность 6(х, з) и 0г(х, $) (см. п. 9): ! 6 (х, ~) ! (1/сн ! 6г(х, Ц ! ~~2(сн получаем оценку И!!с(М,((1, !Н!)+(1, !ф'!))+МЛ')ЛЛ"!. Подставим эту оценку в (255), вернемся к функции г ог'~ р и учтем (219): !!й!!с(М(и)((1 !т1!)+(1 !Ф"!)). Нас интересует разность а = у — и, которая выражается через 3: Со 2 ~ Со г= — + — и= — + и, Со Со Со Со(! +Со) Преобразуем выражение для 1(х): ~(х)=(К(х, $), Чг(й))= )~'р(х) (0(х, $), Ч'(й))= (Ло-Л) ~Гр(х) (0(х, С), р(Л) и(й) )+ 7р(х)(6(х, С), твз(К)+фй)) =ЬЛ" )гр(х) (6(х, С), р(~) иф)) + )гр(х) ((Ог(х, З), пф)3+ +(0(х, й), ф'Я))).
з 1. схвмы для стлционлгного хглвнвння 2И где С0 — постоянная, введенная ранее. Отсюда следует: !)с<11 !с+!1-С,'! !1, !!' ) <М(]!2!1,+]1-Сц) при достаточно малом й, так как С0- ! при Ь- О, а величина !!и|!с ограничена, Из формулы (242) видно, что [1 Сог! =(р, г)а(р, и2)з+!Н„[и] — Н[и]! и, следовательно, !! х !!с ~ М !! 2 !!с + М ! Ни [и] — Н [и] ! . Подставляя сюда оценку для !!г!!с, убеждаемся в том, что верна Теорема 8. Для погрешности схемы (213) при А=!1~ и при достаточно малом г1 60 имеют место оценки [!г„!!с=[!и.— и.!!с~М (п)((1, !21!]+(1, ! Р'!))+ + М,! Ни [и„] — Н[и„]1, (256) ! 5)ь /= ! Хл — )00! ~ (Мз((1, ! 21 !]+(1, 15[1'!)), (257) где оя 151 = р,и', — ~ г (х, + зй) и'(х, + зй) 5(з. (258) Интегралы от 0 до 0,5 и от ! — 0,5й до ! есть величины 0(!15), так как и2 О(/52) в силу краевых условий, где и не зависит от !1, М1(п) ) О, М2 ) О, Мз) 0 — постоянные, не зависящие от 51.
Перейдем теперь к оценке порядка точности разностной задачи Штурма — Лиувилля (2!3). Для этого нужно оценить величины (1, !т1]]+ (1, ]2р'!) и Ни [и] — Н[и]. Если й(х), д(х) и г(х) — достаточно гладкие функции, точнее, й, д, ген С1'1, то так же, как и в п. !О, можно показать, что (1, )21]] = О(!12), (1, !5р*!) = 0(г12) для любой исходной схемы.
Далее, имеем 1 Нн[и] — Н[и] =(р, и ) — ] г(х) и'(х) дх = 0 Н-1 0,5 - ~ 5 ! 5..'- 1, 1„~ И), 1*, ~-,а1 а)— -0,5 0,55 1 Н-1 — ]Г ги'дх — ]Г ги2дх= ,'~ йЬ+ 0(й2), 0 1-0,50 1 1 гл. 1и. ОднОРОдные РАзностные схемы 121 184 Учитывая, что г(х, + зЬ) из(х, + зй) =(1, + зйг,')(и';+ ай(и')',)+ 0 (Ь') 0,5 = г,и'+ зй (ги');. + 0 (й') )г з дз = О, -оя получаем 51 ~ 0(Ь2) и, следовательно, Нн!и) — Н(и) = 0(Ь2) при ге= С1'1. Таким образом, любая исходная схема (2!3) имеет второй порядок точности 11у„— и„1!с = 0(ь) ~л„" — ле~ = 0 (ь') в классе достаточно гладких коэффициентов Й, а, ген С('1, Рассмотрим теперь класс разрывных коэффициентов Й(х), д(х), г(х) ги Я"~ и покажем, что любая схема (213) иместв этом классе первый порядок точности, а наилучшая схема (213), (57) имеет второй порядок точности прн Й(х) ее 0121, д(х), г(х) е= ЯН1.
Доказательство этого утверждения проведем, предполагая для простоты, что Й, д, г имеют только один разрыв первого рода в точке е=х„+ Ой, 0«=0(1, х„=пй, 0<п(Н вЂ” 1. По аналогии с п. !1 находим (1, 1 г! 11 = 0 (й), (1, ! 5Р'1) = 0 (Ь). Из формулы (258) видно, что 51 = 0 (Ь') при 1' Ф и и 1 Ф и+ 1, а Ь„=О(!), 5„01=0(й) при 0<05; Ь„О(Ь2), о„+1=0(1) при 0)0,5, так что Н-1 Нн (и) — Н (и] = ~ 51Ь + 0 (Ь2) = О (Ь). 1 1 Отсюда в силу априорных оценок (256), (257) следует, что для любой схемы (213) 11 у„— и„)1с = О (Ь), ~ Л, — Л, ~ = О (Ь) при ~121. Для схемы (213) с коэффициентами (57) (1,! Ч!)+(1, !Ф*!) =0(й'), 0.5 О1 =* ) г(х, +ей)(и2(х1+ЕЬ) — и'(х))дз+ 0(Ь ) при 1~п, и+ 1, -0,5 0.5 0,5 50 =* ) (г Д вЂ” О) + О (й) ) О (й) дз + ~ (г $ + О) + О (й) ) О (й) 5(з 0,5 0 = 0(й), й„+1= 0(Ь2) при 0 < 0,5, Ь„= 0(Ь2), Л„+1 0(й) при О) 0,5, Н ()-Н( )- (Ьч), Яп'. а х схвмы для плэлволнчвского тэлвнвння 1йв Отсюда, в силу априорных оценок (256), (257), заключаем, что для наилучшей схемы (1у„-и„11с=О(Л ),! Л,",— Л ~=0(Ь'), если й(х)сна"1, д(х), г(х)еиЯ"'.
Все результаты, полученные для однородных схем, соответствующих краевой задаче, сохраняют силу и для разностной задачи на собственные значения (213), Так, любая исходная схема на неравномерной се1ке Лу+Л"ру=0, 0<х<1, уэ=ун=0, Лу=(ау ) — ау, коэффициенты которой а, г(, р определяются по формулам (83) и (85), имеет второй порядок точности в классе разрывных коэффициентов й, д, ген ЯФ на специальных последовательностях неравномерных сеток йл(д) (таких, что точки разрыва функций й, а, г являются узлами сетки). По аналогии с п. 14 можно написать точную схему и усеченные схемы любого порядка точности. Такие схемы были исследованы В. Г. Приказчнковым [2).
й 2. Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами 1. Однородные разностные схемы. В этом параграфе рассматриваются однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности й(х,1), а также для квазилинейного уравнения с й = й(х, 1, и). Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводностн: ищется непрерывное в прямоугольнике От =* ° = (О 4 х < 1, 0 < 1 < Т) решение уравнения — =Ли+1'(х, 1), Ьи= — (й(х, 1) — ), удовлетворяющее начальному условию и(х, О) = и,(х), 0(х (1 (2) и краевым условиям и(0, 1)=и,(1), и(1, 1) иэ(1), 0<1(Т.
(3) Коэффициент й(х,1) ограничен снизу и сверху 0 < с1 ~ й (х, 1) и с„(х, 1) еи 'лгг, Гл, пь одноьодныв влзностныв схемы где сь с,— постоянные, и удовлетворяет условию Липшица по 1, которое мы запишем в виде (5) где гь (зев [О, Т), 1, <1м сз > Π— постоянная. Предполагается, что задача (1) — (3) имеет единственное решение,обладающее нужнымн по ходу изложении производными. Построим в Бт сетку.
Пусть йи = (х; = 16, 1 = О, 1, ..., М„Ь = 1/АГ) равномерная сетка с шагом й на отрезке О < х < 1, й,=(Ю~=)т, / О, 1, ...„М„т=Т/Ми) сетка с шагом т на отрезке О =1( Т, х; е йк. 1~ е= йк) йик — — йк Х й, = ((хо 1)), сетка в Вт, ь1„,=м„Х м,=((хь Г;), х;=(й, О<К<У, Гу-)т, О<У~<Ю Для получения однородных консервативных разностных схем воспользуемся интегро-интерполяционным методом.
Рассмотрим уравнение (1) при 1 = Т = 1;+ч, и напишем для него уравнение баланса на отрезке х, ь <х <хгьь к~.~ла дг г(х — ш(х~+ч,1 г) — Гв (х~-ч„у) + ~ Г(х, 1) их, (6) к~ 1Ь к! -'а где Аппроксимнруем входящие в (6) слагаемые кс+'ь дГ' пх М,о / Г(х Г)г"х "Фь ди (к, 1) к~ ч кС- у, Га(х; Гн г) - а~(ойа ~+(1 — а)иа;), й=иГ+', и и1, где о — параметр, а~выражается через значения функции а(х,() при х, 1 <х <х; (ср. $1, и. 5). Подставим зти выражении в (6), заменим и на у, знак аппроксимации — знаком равенства.
В результате получим сле- н $ а схЕмы для пАРАБОлическОГО уРАВнения !87 дующую однородную консервативную разностную схему (обо- значим у=уг, у у!+!, ус=(у — у)/т): У! = Л (!) (ОУ+ (1 — о) У) + <Р, 0 < х = !й < 1, 0 ( !! = !т < Т, у (х, 0) = из (х), х ее й„, у (О, !) = и, (!), у ( 1, !) = из (!), 1 ~ й,, (7) Л (1) у = (а (х, 7) у,) . Начальное условие и краевые условия первого рода выполняются на сетке точно. коэффициент а и правая часть Гс вычисляются при помощи введенных в з 1, и.
3 шаблонных функционалов А [й (з)], — 1(а <О и г" [7(з)], — 0,5(з «~0,5 по следующим формулам а(х, !)=А[/г(х+з/Г, !)), Гс(х, !)=г" [/(х+зй, 1)]. Шаблонные функционалы заданы на классах кусочно-непрерывных функций и(Б) ен 1~!Н[ — 1, 0], /(з) я Я<~![ — '/м !/!]. Так как А[й(з)] — неубывающий однородный функционал первой степени и А [1] = 1, то из условий (4) и (5) следует 0<с, (а (см ! а! ! ( сза. (8) (9) Семейство однородных схем (7) определяется заданием А, г" и параметра о, от которого зависят устойчивость и точность (по !) схемы (7).
Если Ф = 1, то а = 1 и схема (7) переходит в схему с весами для уравнения с постоянным коэффициентом теплопроводности, исследованную в гл. П. Интегро-интерполяционный метод позволяет получить и ряд других схем. Так, например, пользуясь уравнением баланса в прямоугольнике (х! — ! (х<~х +1Е !! <!<!Г+!) легко получить схему у! = ОЛ- Ц+!) у'и! + (1 — о) Л (1!) у! + !р!.
Для вычисления !р могут быть использованы и другие формулы, например, ГГ-Г! А!+'Л !р[ = — ~ ~ /(х, /) !(х с(!. '! АГ- а Йа гл. нь одноеодныа назностныв схимы (1 !) Для определения у,. =у!+' на новом слое получаем разностное уравнение второго порядка (1!) (или трехточечное разност. ное уравнение) с краевыми условиями уз = и1((г+~), !4 = из(1! ы). (12) Для вычисления правой части уравнения (11) можно пользоваться рекуррентной формулой Р! = — д! — — Р!-~+ тф(. ! 1 — а а ~ а ( Объем вычислений при этом уменьшается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
