Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 28
Текст из файла (страница 28)
схемы для стАционАРного уРАВнения ! 63 которая разрешима при условии 1 ) 1(х) г)х =0 А и имеет единственное решение и = и(х) прн условии, что 1 ) и (х) г(х = О. о В самом деле, общее решение уравнения и" = — !'(х) имеет к/ к вид и (х) = Сх + С, — )г ~ ~ ) (а) г(а~ Ж = Сх + С, — )г (х — 1) ! (1) Ж, о о о где С, и С, — произвольные постоянные. Условия (182) дают 1 1 ~ ~(1) (! = О, С, - ~ Ц(1) В, о о т. е.
условиями (182) функция и(х) определяется с точностью до постоянной Сь Требуя, чтобы выполнялось условие (!85), получаем Се= О, т,е. выделяем единственное решение задачи. (184) (185) Отсюда и из оценок ( 1 79) следует, что схема ( 1 74) — ( 1 77) имеет второй порядок точности, если й(х), д(х), )(х) ~ С!'1. 19. Задача с условиями периодичности. Рассмотрим сначала простейшую задачу: найти на отрезке 0<х <! решение уравИЕНня и" (х) — 17,и = — )(х), у,=сонэ(>0, 0<х<1, (180) удовлетворяющее условию периодичности с периодом 1: и(х+ 1) = и(х) для любого х ен (О, 1). (181) Прн этом предполагается, что 7(х) периодическая функция )(х + !) = !(х).
Условие (!81) в любой точке х ен (О, 1) эквивалентно двум условиям сопряжения в одной точке х 0: и(0+ 0) = и(1 — 0), и'(О+ 0) = и'(! — 0). (182) Задача (180), (!81) имеет единственное решение. Для ее решения, в силу при!шипа максимума, верна оценка 11!С !!и!!с< —, Чо Пусть до = О. Тогда получим задачу и" = — )(х), и(0+ 0) и(! — 0), и'(0+ 0) = и'(1 — 0), (183) гл. ш, одноводныа еазностныв схемы ссо Напишем разиостную схему, аппроксимирующую задачу (180), (182). Возьмем на отрезке 04,'.х~1 равномерную с шагом Ь = 1/ЬС сетку соо (хс=й, 1=0, 1, ..., см') н аппраксимируем уравнение (180) и условия сопряжения (182).
Первое из условий (182) выполнено, если Уо Ум. (186) В узлах х; = й, с = 1, 2... ЬС вЂ” 1 напишем трехточечное уравнение у„„— ду= — ср(х), х=й, с=1, 2„..., ЬС вЂ” 1. (187) Рассмотрим теперь разностные производные сс; м= и'(1 — 0) — 0,5йи" (1 — 0)+ 0(Ь'), и», о = и' (О+ 0) + 0 бйи" (О+ 0) + 0 (Ь) Подставляя сюда и" = досс — с из (180), получаем их, м+ 0,5Ь (дои (1) — !'(1 — О)) = и' (1 — 0) + 0 (Ьо) и„, о - О бй (иои (0) — )(О+ 0)) и' (О+ 0) + 0 (Ь ). Отсюда видно, что уравнение у,о Обйуоуо+Оба(0+0)=у; м+Обйс!оум Обй|(1 0) (188) аппроксимирует второе условие сопряжения и'(О+ 0) =и'(1 — 0) с точностью до величины 0(Ь').
Полагая затем Ум+с =Ус перепишем условие (188) в виде у;, м цоум= срм~ срм=05(~(1 0)+!(0+0)). Таким образом, задаче (180), (182) мы ставим в соответствие следующую разностную схему: усм Чоу= — ср(х), х=й, 1=1, 2, ..., сУ (189) с условиями периодичности Уо = Ум Ус Ум+с (190) Пусть теперь дано уравнение с переменными козффициентамн (йй)' — с!и= — ~(х), 0<х(1, (191) причем й(х), с!(х) и !(х) являются периодическими функциями й(х+ 1) = й(х), у(х+ 1) - с)(х), с (х+.1) ! (х).
(192) $ ь схемы для стхцион««гного мг««знания !6б «91 Будем предполагать, что Ь(х) >с, >О, а(х):вс, >О. (193) Требуется найти решение уравнения (191), удовлетворяющее условию периодичности и(х+ 1) и(х). Это условие эквивалентно требованию и(0+ 0) = и(! — 0), Ьй !„о = Ьй 1„, . (194) Из принципа максимума следует, что задача (192) — (194) имеет единственное решение. Напишем сначала схему для О < х = 1Ь < 1: (ау»)„— »!у= — «р(х), х=(Ь, «'=1, 2, ..., Ж вЂ” 1, полагая уз=ум перепишем это соотношение в виде (ау„) — «1у- — «р(х), х= хм-1, где »1 = «1м 0,5 (а (О+ 0) + а (! — 0) ), «р = «рм = 0,5 ()' (О+ 0) + Д! — 0) ). В результате получаем следующую периодическую разностную схему: (ау») — «(у= — «р(х), х ~%, 1=1, 2, ..., М, 1 (195) а>с,>0, Ы>с«>0, с условиями уо ум, у, у„+„а, = ам+,.
(196) Коэффициенты а, «1, «р выбираются из условий второго порядка аппроксимации (см. п. 7). Учитывая равенства (аи»)«=(йи')«о+0,5ЬД вЂ” уи), о+ 0(Ь'), а,.„и„, (Ьи') -о — 0 5Ь() — уи)«+о+ 0(Ь»). можно аппроксимировать условие Ьи' !, +о Ьй 1„,, со вторым порядком следующим соотношением: а«у,о 0 5Ь(д(0) уо — ~(0+0)) = -аму» м+0,5Ь(д(1 — 0) ум-~(! — 0)). Требуя, чтобы выполнялись условия у„+, — — у„а„+, — — а„ гл. сс!, ОднОРОдные Рхзностные схемы 119 Для определения уо с=1, 2, „йС получаем следующую систему уравнений асу, , — (ас + ас.сс + сссйз) у, + а„,ус.. = — ф й', с' = 1, 2... „ йС с условием периодичности Уо = Ухс Усс+с = У~ Решение этой системы может быть найдено методом циклической прогонки (см.
Дополнение, ~ 3). Так как а) с, ) О, сс)~с, ) О, то для задачи (195), (196) справедлив принцип максимума, в силу которого !1У!~~ к=' —,!~ф!!ш Это неравенство позволяет получить для погрешности а=у — и оценку !!е!!с = 0(й), так как фс = 0(йз) при с' = 1, 2, ..., йг — 1, фс, = 0(й). Поэтому нужна более тонкая оценка, которую можно получить либо при помощи функции Грина, либо методом энергетических неравенств. Введем скалярное произведение и норму (у, о) = 1 у осй, !~ УИ = рс(у, у) 1 Оператор Ау= — (ау„) + с1у в классе функций Н, заданных при хс = сй, с'= 1, 2, ..., йс — ! и удовлетворяющих условию ун9с = ус, является положительно определенным: (Ау у)= — ((ау„), у)+(сс, у'-) =(а, (у )9)+(с(, уз), (197) Умножим уравнение (!95) скалярно на у: (а, УЦ+(с(, ус) =(ф, У).
(198) Отсюда и из условий а ) О, ес > О следует единственность решения задачи (!95), (196). В самом деле, пусть существуют два решения усп и усзн Для их разности у = усп — у<9! получаем однородное уравнение (!95) с ф = О и тождество О = (а, у'1+ (с1, уз]. Так как а > О и сс > О, отсюда следует, что У„=О, у=— О.
Преобразуем выражение (ф, у). Для этого введем функцию Ч(х), полагая ть= ~~~~ йсры с=1, 2, ..., йс, т(хс9с т)н а" с $ !. схемы для стхциоплгпого угдвнения 191 так что ф!=Ч„,!, /=1, 2, ..., Ь/. Тогда сумма (ф, у] преобразуется к виду (ф у]=(у, Ч„1= — (Ч, уе!. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, получаем (ф У](!! т!1! (! Ух]! (е !!Ух!! + 4е !! х!1! Подставим зту оценку в тождество (198): (а' Ух]+(с(' У ]( с (а' Ух!+ 4е !!Ч]! или, при е < с!, (а' 4+ ! — е/с, ( ' У ] - 4е(! — е/с,! Положим е=0,5с!.
Тогда коэффициент в правой части принимает наименьшее значение: (а, у'„! + 2 (й, уе] ( — !! х!]!е. (! 99) Нам понадобится следующая Л ем ма 4. Для любой сеточной функции о(х), заданной на сетке йл=(х, = гЬ, ! = 1, 2, ..., й/), справедливо неравенство !! о !!' ( Ео !! ох]!е + (1+ 1/ееИ! о]]е (200) еде ес>0 — любое число, Док аз ат ель ст во. Так как о',= о',, + Ь(о')х „(о'), !=(о,.+ о,,)ое и то имеет место равенство о'(х)= е(Е)+ Х ( '(!))Ь= с-В+к х х-л = ое(й)+ ~~Р~ Ьо (1) ое(1)+ ~ Ьо(!) ос(/). с=!+л с-в Отсюда, на основании неравенства Коши — Буняковского, находим о'(х) (ое В)+ 2]! о]!!! ос]! Просуммируем зто неравенство по $-Ь, 2Ь, ..., 1: о'(х) (!! о]!'+ 2 !! о]! !! ол]! (ео!! ох]!г -1- (1-1- 1/ес) ]! о]]е.
гл, и), одногодные влзностныв схимы Лемма доказана. Учитывая, что а и д ограничены снизу постоянной сс >О, из (199) получим ~у-3'+ 2ЫР < — 11 чИ« (201) ос Положим в лемме 4 постоянную ео = 1. Тогда из (200) и (201) найдем 11 у 1!с~ < !! у«1!' + 2 11 у)Р ч" —, 11 с)И'. ~с Тем самым доказано, что для решения задачи (195), (196) справедлива априорная оценка рн р м с«)И 1!уИс» (!!ФИ)-о) 11 ср!!с-о) ~~~~~ Ь ~ 5~~ Ьср«) ) ° (202) с-с «-с Для погрешности г = у — и, где и — решение исходной задачи (191) — (194), у — решение задачи (195), (196), получаем условия (агл)„— дг — «Р, х )Ь, с 1, 2, ..., ЬС, 1 (203) го гн г) гн+» где «р =(аил), — ди+ ср — погрешность аппроксимации, которую можно представить в виде Р-Ч.+ Р*, ч-аи«-Ьй, )) 0(Ь'), «Р' = 0(Ь') при Ь, а, )» Сс').
Для г, согласно (202), справедлива оценка Иг)!с=1!У иИс»~ — 0!с)И+!1«Р'!1)-о)) ) Так как )) = 0(Ь') н «р* = 0(Ь'), то тем самым доказано, что схема (195), (196) имеет второй порядок точности в классе Ь, д,)» 0с«), 20. Разиостная задача Штурма — Лиувнлля. Постановка задачи и основные свойства. Задача Штурма — Лиувилля или задача на собственные значения состоит в следующем: требуется найти такие значения параметра Х (собственные значения), при которых существуют нетривиальные решения (собственныв функции) однородного уравнения — (Ь(х) — ") — д(х)и+Хт(х)и О, Оч.х<1, ! сгх ., ах (204) и (0) и (1) О.
вв з ь схемы для стАционАРного уРАВнения !69 Здесь й(х), д(х), г(х) ~ Яав — кусочно-непрерывные функции, удовлетворяющие условиям 0<с~ <й(х) <см 0<с, <г(х)<см 0 д(х) <см (205) где сь см см с4 — постоянные. Если й(х) имеет разрыв первого рода в точке х = $ (О < < Б <!), то в этой точке должны выполняться условия сопряжения [и]=и5+0) — и($ — 0) О, [йи'] 0 при х=$.
(206) Задача (204) — (206), как известно (см. Р. Курант и Д. Гиль- берт [1]), эквивалентна следующей вариационной задаче: на классе кусочно-гладких функций ф(х) ен Япй удовлетворяющих условиям 1 Н[ф]= ] фт(х)г(х)Их=1, ф(0) =ф(1) =О, (207) О найти минимум функционала ! 0[ф] ] й(х)(ф'(х))з г(х+ ] д(х)ф~(х)г(х, (208) о о Этот минимум определяет наименьшее собственное значение Л, = пип 0 [ф] = 0 [иД н достигается на первой собственной функции и~ (принцип минимума) . Остальные собственные значения Л, п) 1 находятся как минимум функционала (208) на классе кусочно-гладких функций сравнения ф(х) ~ (1!и, удовлетворяющих дополнительным условиям ! Н[ф]=1, Н[ф, и ]= ] ф(х)и (х)г(х)г(х=О, о ф (0) = ф (1) = О, аг = 1, 2„ ..., и — 1, (209) где и (х) — собственная функция номера аг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
