Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Действительно: Н-1 !!41~ 1Ч -'(1, 1!А!)+!р !+ Х й; Х Ь аь ~М5'. Л е м м а 3. Для решения задачи (76) с правой частью — ф = = — р,— фч на произвольной неравномерной сетке справедлива априорная оценка !! г !!с ~ ~е, (!! 1р" !!1- ~ "1 + ( ! ! !1 !) (82) Для доказательства леммы 3 по аналогии с п. 8 вводится разностная функция Грина О(х,5) для задачи (76) как решение уравнения Л„б =(а(х) Сг(х, В))к — й(х) б(х, ~) = —,' ', х, 5: — йь с однородными краевыми условиями а (О, $) = а (1, б) = О, 5 еи йл. После этого устанавливаются оценки ! 0(х, ~) !(1/с„! О!(х, ~) !(2/сн ! 6л(х, 5) !(2/с1 и доказывается аналог теоремы 3 — лемма 3. Так как при этом никаких новых принципиальных вопросов не возникает, то нет необходимости воспроизводить рассуждения, приводящие коценке (82).
Из (81) и (82) следует Т е о р е м а 5. Наилучшая схема (72) имеет второй порядок точности в классе разрывных коэффициентов й(х) ен 1',Ф" (О, Ц, д(х), /(х) ~ !Ф" (О, Ц на произвольной последовательности неравномерных сеток. Схема (?4), (75) имеет второй порядок точности: а) в классе гладких коэффициентов й(х), д(х), /(х) ен С"1!О, Ц на произвольной последовательности неравномерных сеток, б) в классе разрывных коэффициентов я(х), д(х), /(х) еи Я~ '!О, Ц !зв ГЛ. !Н. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ на специальных последовательностях неравномерных сеток гяь (К) . Укажем также, что и схема (74), (75') имеет второй порядок точности в классе разрывных коэффициентов па специальной последовательности сеток, когда точки разрыва коэффициентов совпадают с потоковыми точками х! ь. Единственной характеристикой точности является среднеквадратичный шаг Ь = 'у'(~, /!!'.
До сих пор рассматривались конкретные схемы (72), (74), (75). Рассмотрим теперь семейство схем (74), коэффициенты которых а, д, <р вычисляются при помощи тех же шаблонных функционалов А[5(з)), й(з) еп Я!~![-1, 0), Р[7(э)[, 7(е) ~ ~а[-'/„'/!), что и в случае равномерной сетки (см. п. 7). Формула для а! остается неизменной а, = А [/г (х, + ей!)[, — 1 я э < О. (83) Формулы для д! и !Р! существенно усложняются в случае разрывных коэффициентов. Введем сначала обозначения для ступенчатых функций: (1, э<0, (О, э(О, (1, Е=О, 10, з)О, 1ь (.1, э>О, () (О, э~О, так, что т1-, (э) + т1+ (е) + вь (з) = 1. Предположим, что а) Р[п,(э)[=0 т.
е. Р[((з)1 не зависит от значения в точке в=О„а зависит только от предельных значений /(е) справа н слева в этой точке, например, Р[/(э)[=0,5(/(0+0)+/(О-0)), б) Р[тг-,(е)[=Р[з1ьь(з)[=0,5, так что Р[![=1. Действительно, Р[11=Р[ц,—, + Ч,'+,[= Р[);[+Р[0,+[=1. !4з условия Р[е) = О следует, что Р[зтс![ = — Р[зц;[ = а, так как Р[епь[=Р[0[=0. Коэффициент !р будем вычислять по формуле р=Р[('( )1 где )" (з) = — '((х, + ей,.) т1,, (з)+ — ',+' ((», + вй,,) э)+ (э)+ +! (х!)Нь(е), -0,5~~в(0,5. 5 !.
СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ 537 В силу линейности Е и условия Ь'[но(я)) =0 имеем !р! ф(х!)= А Е[((х!+5Ь!) Ч!-,(5)1+ Ь ' Е[)(хт+яЬ!. ) Чо+Щ (84) где Ь, = 0,5(Ь;+ Ь;+,). Аналогично определяется коэффициент ттт! тт! =+Е [!)(хо+ яЬ ) Чо (я)[+ '+' Р [5!(х,. +ай!„,) Ч+(я)1. (85) Если сетка равномерна, т. е. Ь, = Ь;, = Ь, то формулы (84), (85) дают ф! = Е'[)(хт+ яЬ)), тт! = г" [д(х;+ 5Ь)). Будем рассматривать семейство схем (74) с коэффициентами (83) — (85), предполагая, что выполнены условия п.
7 и а), б). Проверим для схемы (73) условие б): 0,5 г[й ))= ) й) (, — О,о 0,5 0,5 г [Чо)= [ т(5=0,5, г [Чо+1= [ !55=0,5, (86) -ол 0,5 а = Е [яЧо (я)[= [ я Г(я = '/5. о Для схемы (75) имеем Е [) (я)) = 0,5 (ЙΠ— 0) + [ (О + О) ), Г [Чо Я = О 5 (Чо (Π— 0) + Чо (О + О) ) = 0,5Ч„- (Π— О) = 0,5, Е [Ч,+1 = 0,5, а = Е [ Ч, (я)[ = О. При вычислении погрешности аппроксимации на сетке ото(К) будем исходить из представления (77). Запишем ф! = и,. 'Р! + Г,, ф+ ° Л; А!и, где ф! =Е[)(тт+ЯЬ!) Чо (Я)1=Е[()! +ЯМ! +0(Ь!)) Чо (Я)1= = ГЕ' [Чо (я)1+ Ьн! г [яЧо (я)1+ 0 (Ь!) = 05[! — аЬ!)! + 0(Ь!). Аналогично !р!+ = Е [((х, + яЬ + ) Чо (я)1 = О 5)!' + ай!+!)!" + 0 (Ь + ).
Учитывая, что 6'=)!.!+0(Ь;,), Ь),,7['-Ь)7~ = =4+4+ — Ы1; +0(Ь5 ) =(Ьт[' )„,Ь,+0(Ь55,)„ пз 138 Гл. нь ОднОРОдные РАзностные схемы получаем Точно так же находим — + а (й Ч )»,. + О (Ьг), д е= Я . (88) В частности, для схемы (73) а = !/8. Для погрешности аппроксимации ф'„определяемой по формуле (77), имеем %=Ъ, |+Ф Ф =О(И), (89) тй=й;[(~ — '/,) (7 — д и),. + з (д~), 1. (90) При вычислении ф,". было использовано равенство иа(й Ч )» ~=(й (Ч иГ)» ~ п1»1ус+~и», ! Для наилучшей схемы из (86), (90) следует, что И' и:= а' (у"),7. Таким образом, погрешность аппроксимации для любой схемы из рассматриваемого семейства схем (74), (83) — (85) можно представить в виде ф,.=р„,+ф",", ф",'=О(И',), (91) р, = и, + и', = О (й',), (92) где ти определяется по формуле (77), н*,.
— по формуле (90). Из (9!), (92) следует, что !!ф!!<,,~мй', й'=(1, й'!. (93) Для погрешности е = у — и верна оценка (82). Из (82), (93) следует Те о р ем а 6. Любая схема из исходного семейства схем (74), (83) — (85) на любой последовательности неравномерных сеток в классе гладких функций )г(х), д(х), ! (х) ~ Оьл[0, !), и(х) ее С"~[0, ![ и на специальной последовательности неравномерных сеток гьи(К) для любых функций й(х), д(х), 1(х) ыЯ''[О, !) 4 С СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ имеет второй порядок точности: (94) !!у — и!!С(МйЯ, где Б = (1, ЬЯ)ч — среднеквадратичный шаг, М = сопз( > О, не зависяи4ая От сетки. Отметим, что любая однородная схема из исходного семейства в классе разрывных функций й(х), д(х), 1(х)еи()<ЧО, 1! на произвольной последовательности сеток йь имеет первый порядок точности. 3 а м е ч а н и е.
Для доказательства сходимости схем на неравномерных сетках ЬА(К) можно воспользоваться априорной оценкой для задачи (76): (95) ! !1~-я» где !!ф!~ яп= Х Ь;+ 2дяфя либо Эта оценка может быть получена энергетическим методом. Умножим уравнение (76) скалярно на — г: — ((агя)» г) + (д, г') = (ф, г) . В силу первой формулы Грина имеем отсюда (а, г'1+(д г') =(р г). (96) Положим ф-о„, где 5,= ~ Яяфя, 5н =О, либо 5,= ~~'„! Яяфя, я-1 А-1 5, =О.
Тогда (г, Ф) =(5я, г) = — (гя О) (!!г;)!!!5!!(е!!гя!!Я+ — !!5!(Я. Подставим эту оценку в (96), учтем, что а)~с, ) О, и выберем в 0,5 с1 из условия минимума 1/(с1е — е'): 4е(с1 — е) !! 1 я !! т!т-яч' с, Пользуясь теперь леммой 1 гл. 1, $2: !(г!!с-':05!!г*)!, получаем (95). нз гл. нь одногодныв гхзностные схимы 140 14. Точная схема. Схема любого порядка точности. Для урав- нения (1) можно построить однородную консервативную трех- точечную схему, являюшуюся точной, так что решение разност- ной задачи у; совпадает в узлах любой сетки ыз с точным реше- нием и = и(х) задачи (1): у, = и(х,) для й, а, Ген Я Для удобства дальнейшего изложения перепишем (1) в виде и =- — ( — 1 — 4 (х) и = — 1 (х), 0 < х < 1, (мю а 1 1 ни 1 ах 1р(х) ах) (97) и(0)="1 и(1)=им Р(х) =й '(х), 0<р(х)<11со д(х)ьО, Отметим, прежде всего, что наилучшая схема (23), (24) при д =1 = 0 является точнои.
В самом деле, решение задачи (97) при д=~= — 0: х 1 — ! и(х)=и,+с) Р(1)г(С с=(и,— и,) ) Р(Г)Л . (98) о о Отсюда видно, что с 1 с ид; = —, ) р(1)бГ = —,, а;ив з=с, х а! 1-1 -1 "з 1 Г где а,= — „) р(г)л и, следовательно, функция (98) удовлетворяет уравнению (аих)„= О. Обратимся к уравнению (97). Пусть ьзь — равномерная сетка. Основная идея получения точной схемы состоит в том, что решение и = и(х) уравнения (97) в любой внутренней точке (и, в частности, при х = х,) интервала (хз ь хзм) выражается через значения из ь из+, и правую часть 1(х).
В самом деле, и(х) можно представить в виде и(х)-А,о,'(х)+Вр'(х)+о'(х), х,,(х(х, н (99) где А, н В,— числа, о',(х) н о,'(х) — линейно независимые решения однородного уравнения Еы' "и 0 (шаблонные функции), а о'(х) — частное решение неоднородного уравнения (97) при однородных условиях: оз =1(х) хз-в < х < х1 ы оз (хз+1) = оз(хз-ь) = О. (100) Ы, 41 1 с с !сс 4 ! схемы для стАционАРного уРАВнения Определим шаблонные функции о,'(х), о,'(х) как решения задач Коши: о!=0, х,,<х<х+„О,(х,,) — О ( !На! с р(х ) (101) !Рх! С А о2 О.
х, 1<х<х,+„о (х„,) — О, 2 (х р (хс+!) (102) Полагая в (99) х=хс, и х= х,+„найдем Лс= ",("-), В,- "с("-). (103) о, (х,+!) о',(х,,) Шаблонные функции обладают следующими свойствами: 1) о,'(х)>0 и монотонно возрастает при х,,<х<х,е„ о'(х)>0 и монотонно убывает при хс, <х<х, 2) имеет место равенство о,'(хс,) = о,'(х,,), (104) 3) справедливо соотношение о,'(х,.+,) = о,'(х,.)+ о,'(х,)+ хс хс+ ! +о,'(х) ~ ос!с)(х)с(х+осс[хс) ~ озсд(х)с(х, (105) с 4) и, наконец, О2 (хс) О! (хс+ 1) (106) Докажем эти свойства. 1) Свойство 1) непосредственно следует из (101) и (102). 2) Учитывая (101) и (102), имеем (при А= с.!Р'"): хс+! О ~ (осЕО! — ОсХ.ос) с(х = х 1-! 1+! = [!О! р (О2) Ос (О!) ) $ о [хс+!)+ О2[хс-!).
х! 3) Напишем формулу Грина на отрезке [х! „хс1: хс 0 1 ( О 1 ~ О О с о ! ) с ( О ( О 1 ) О 1 ( О ! ) ) ! 2 2 !) ! ! р ( 2) 2 р ( !) ) х 1-1 = — (о )' [х!) о', [х ) — — (о )' (х ) О! (х ) + О,'(х,,), гл. нп однооодныв оизностныа схимы и подставим сюда + ~ с)(х) о,' (х)с(х, ! †! хс+! 1 — ~ с) (х) о,'(х) с(х. (о,) (х,) Рс —, М)'(х') =— ! »с 4) Учитывая, что о,'+'(х) удовлетворяет условиям с+1 св ю! +1 с+ ! ! !со! =О, хс<х<хс+ х х получаем хс+, ос(0 ос(х) хс !<$<х, с ! о, (х;+,) сс(х) ос а (108) 6(х, ~)= х~($ < х,+н ! о, (х;+,) Подставим вырансенне для 6 в (107) и положим х= х,: хс хс+, .ц',~ - , ' и с.с с" ! с!! с!!! ! + ! с ,!с" с!!! с!!! и1 . ос(хс+!) (109) Используя (103), (105) и (109), из (99) получим: 1 рис+!-ис ис — ис-с1 с с ~ сссис = срс И ~ ос(хс) ос(хс) (110) (ОС+!С о! оС( оос,С ! .
1 с+! — [ОС+! (ОС)с ОС (ОС+!)!~ ~ 14! ( ) + С ( хс Функцию о'(х) можно представить в виде с+! о,'(х) = ~ 6 (х, $)((~)сф, х еи ~хс „ х,.+,1, (107) х где 6(х, $) — функция Грина задачи (100) (см. (37)), равная 4 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ и! где о1 Г1 ! ] О1(оь),„(оь),~ + Ио', (х1) Ии! (х1) х! х! Р1= „, ) о,'(ИВ) В+ „,.! Ио,(х ) Ио' (х1) 1 — ! Х1+, (!11) Введем теперь в точке х =х, местную систему координат, полагая х= х, + зЬ, з =(х — х1)ГЬ. Тогда отрезок (х, „х11.1] преобразуется в отрезок (шаблон) — 1(з(1, точке а=0 будет соответствовать узел х=хь Положим О11(х)=о',(х1+ЕЬ)=Ьа1(з, Ь), о'(х) = о,'(х, + Ей) =Ь]31(з, Ь), — 1(а(1, о',(х )= Ьао н, в силу (106), о,'(х,.)=Ьао, Шаблонные функции ао(з, Ь) и 61(з, Ь), очевидно, удовлетворяют условиям: * — ! оа1 Ьа = — (= — ~ — Ь'д(з)а =О, — 1(з(1, оо (р(о) оо ) а( — 1, Ь) = О, а'( — 1, Ь) =р( — 1), Ц)=0, — 1(а<1, й(1, Ь) =О, 13'(1, Ь) = — р(!), (112) где а(х) =а(0, Ь) = А(р(х+ЕЬ), д(х+зЬ)], о а ] а (а Ь) 11(х+ о!1) о(а+ ) ~ Д(» Ь) д(х+ЕЬ) о(г, Г ! — 1 о о 1 1р(х) = — ~ а(а, Ь)1(х+ ЕЬ)с!з+ ~й(з, Ь)1(х+ ЕЬ)ГЬ.
— 1 о (114) коэффициенты а(х), 1р(х) вычисляются по Одной и той же формуле 1р (х) = Р ]р (х + аЬ), о! (х + зЬ); 1(х + ай)], о((х) Р(р(х+ЕЬ), й(х+ЕЬ); д(х+ЕЬ)]. где р (а) = р (х, + ХЬ), д (з) = д (х, + зЬ), и зависят только от значений д(з), р(а) (р(х), д(х)) на отрезке — 1 ~а ~<1 (на отрезке х,, (х(хо+1). Опуская в (110) индекс 1, получаем для у(х)= = и(х), х~ ооо, однородную консервативную схему ~ — у-) — Г(у = — 1р, х ~ ооо, у(0) = и„у(1) = и,, (113) ГЛ. 1Н, ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 144 Шаблонные функционалы заданы в классе кусочно-непрерывных функций: А (р(з), д(з)] задан для р(з), ()(з) ~ <г'"( — 1,0], Г(р(з), д(з); )(з)] — для р(з), <1(з), 7(з)<ей'"( — 1, 1]. Из (113), (114) видно, что точная схема не принадлежит семейству схем (25), (25), у которых шаблонные функционалы А(р(х)] и г(7(з)] зависят только от одной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
