Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Исходный класс консервативных схем. Шаблонные функ- ционалы. Пусть функционал Л[й(з)] задан иа множестве ку- сочно-непрерывных функций Й(з) ~ ЯЫ1 [ — 1, 0], а г Д(з)] на множестве функций /(з) ~1Н'1[ — !/2, !/2]. Предположим, что !) Все шаблонные функционалы нормированы к единице: А [!] = 1, г'[!] = !. 2) РД(з)] — линейный неотрицательный функционал, т, е. а) Г[СД+СЕЦь В1Р[Ц+СЗР[/й] для любых чисел сь сг и функций /,(з), /г(з) из 91и.
б) Г[/(з)]ЪО при /(з) )О. 3) Функционал А [е(з)]: а) однородный функционал первой степени (нелинейный, вообще говоря): А[се]=сА[е], с=сопи!)О, б) неубывающий функционал, т. е. А [Йг(з)]) А [е1(з)] при йе(з) ) й1(з), в) имеет дифференциал третьего порядка, т.
е. для любых У (з) ен ~Я вЂ” '/, 1/1] Ч (з) ~ Р (-'/ '/ ) А [[(з) + бф (г)] - А [/ (з)]+ бА, [/ (з), 1р (з)]+ +беАЕ[/(з) ф(~)]+бзА,[/(з), ф(е)]+бар(б, ](е) ф(з)), и в !. схвмы для стхцнонхвного звхвнаиия !!7 где ]р(Ь, !(з), ф(з))](~р,(Ь), при ) ф](М,)[](М, М=сопа1> ) О, р,(Ь)- 0 при Ь- О. При атом функционал А,[1, ф] линеен по ф, функционал А,[[, ф] квадратичен по ф и т.
д., так что А, [[, сф] = сА, [[, ф], Ах [[, сф] = с!Аз [[, ф] и т. д., где с =сопя(. Основное изложение теории однородных разностиых схем проведем в предположении, что А [7(з)] имеет второй диффе- ренциал. Если А [й(з)] — линейный функционал, то он удовлетворяет тем же требованиям 2а), 26), что и функционал г'. В общем слу- чае из За) и Зв) следует равенство А,[[, []=АУ], А,[[, []=А,[[, []=О, откуда получаем А,[1, Ц = А [Ц = 1. Условия второго порядка аппроксимации (27) накладывают дополнительные ограничения на шаблонные функционалы.
Рассмотрим, например, г( (х) = Р [!) (х + ай)] = Р [г) (х) + з й!)' (х) + 0 (йе)]. В силу условий Ц и 2а) имеем д(х) = д(х)+ йа'(х) Г[з]+ 0(й'). Условие !( = д + 0(й') выполнено, если г'[з] = О, Р [1] = 1. Из условий 1), 26), За), Зб) следует, что Н)0, а-»с,>0. В самом деле, а(х) = А[й(х + зй)]) А[с!] = сь Покажем теперь, что условия (27) для а(х) выполнены, если й(х) ~ гхз! А [1] = 1, А, [з] = — 0,6, А, [1 + з] = А, [з].
Здесь приняты обозначения А, [а(з)] = А, [1, а(з)], А,[а(з)]= Аз[1, а(з)]. Рассмотрим а(х) = А [й(х + зй)] = А[й(х) (1+ йи(з))], где й(х+зй) — й(х) з'(х) + з'а а" (х) +0(йз) уй (х) а(х) 2 Гг (х) В силу свойства Зв) функционала А имеем: а (х) = й (х) А [1 + йк (з)] = = й(х) А[1]+ йй(х) А, [к(з)]+ йзй(х) А,[к(з)]+ 0(йа). )!в ГЛ. Н!, ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ Подставляя сюда выражение для н(я) и учитывая, что А![а(я)] линеен, а Аз[а(я)] — квадратичен, находим Ь (х) А, [к (я)] = Ь' (х) А, [я] + 0,5ЬЬ» (х) А, [д] + О (Ь'), Ь(х) Аз[к(я)]= „А,[я]+ О(Ь), так что а (х) = Ь (х) А [1] + ЬЬ' (х) А, Ы + +Ь'~ — А, [я']+ ( (х А![я])+О (Ьз). Чтобы получить формулу для а(х + Ь), надо в выражении для н(я) заменить Ь(х+ яЬ) на Ь(х+(1+ я)Ь).
В результате приходим к формуле а(х+ Ь) = Ь(х) А [1]+ ЬЬ'(х) А, [1+ я]+ +Ьз(й" (х) 1 [(1+ я)з]+ («'(х) )' А [1+ ]) 1 О(Ьз) Подставляя эти выражения для а(х) и а(х+ Ь) в (27), по- лучим А [ 1 ] = 1, Л , [я] = — 0,5, А, [ 1 ] = 1, А, [ 1 + я] = А, [я]. Условие А! [(1+ я)'] = А, [яз] автоматически выполнено. Если А[Ь(я)] имеет второй дифференциал и А[1] = 1, А, [я] = = — 0,5, то а(х) = Ь(х — 0,5Ь) + О(Ь») для Ь(х) ее Са!. Чтобы убедиться а этом, надо представить а(х) в виде а (х) = Ь (х — 0,5Ь) (А [1] + ЬА, [к (я)] + О (Ь') ), где я (х + яа) — я (х — 0,5А) (я + 0 5) А (х — 0,5А) + О (Ь) АА (х — 0,5А) ' я (х — 0,5А) Подставим выражение для н(я) в предыдушую формулу: а (х) = Ь (х — 0,5Ь) А [1] + ЬЬ' (х — 0,5Ь) А, [я + 0 5] + О (Ь~) = Ь(х — 0,5Ь)+ О (Ь'), если А [1] = 1, А! [я + 0 5] = О. В дальнейшем будем рассматривать исходное семейство однороднь!х консервативных схем (25), (26), шаблонные функ- ционалы которых А[%(я)] и г" [((я)] удовлетворяют условиям 1) — 3) и условиям г[1]=1, г [я]=0, А[1] 1, А,[я]= — 05.
Такие схемы, как будет показано ниже, имеют второй поря- док аппроксимации в специальных «негативных» или «интег- ральных» нормах. Исходному семейству принадлежат также схемы, для кото- рых,, кроме указанных выше условий, выполнено условие о !. схимы для стлцнонлвного ввлвнвния 119 Аз[1 + в] = Аз[в]. Выше было показано, что в этом случае выполнены условия (2!) второго локального порядка аппро- ксимации: !!ф]]с — — 6(йо), если й ~ Ссо![О, Ц, д, 1 он СсЧО, Ц, ион С<'![О, Ц. Рассмотрим теперь схему (25) с шаблонным функционалом о -! А!6! о= ( ( —,',) и покажем, что А,[з] = — 0,5.
В самом деле, о А, [а(в)] = — А [1+(а(в)]/, о= / а(з)йз, -! А, [Ц = 1, А, [в] = -0,5. Следовательно, схема (23), (24) принадлежит исходному семейству. В дальнейшем схему (23), (24) будем называть наи- лучсией схемой. 8. Разностная функция Грина. Основной вопрос теории— оценка порядка точности однородной схемы (25)„(26) в клас- сах непрерывных и разрывных функций й(х), с!(х) и ](х).
Пусть у — решение задачи (25), (26), и — решение задачи (1). Для погрешности г = у — и получаем задачу Лг =(агх)„— до= — ф(х), 0(х=!й(1, х(0) = г(1) =О, а) с, )О, с!) О, (29) где ф = (асс;) — да + ср (30) — погрешность аппроксимации уравнения (1) разностной схемой (25), (26) на решении и = и(х) задачи (1). Для оценки порядка точности схемы (25), (26) нам понадобится априорная оценка решения задачи (29). Решение задача (1) с однородными краевыми условиями и(0) = и(1) = О, как известно, может быть представлено в интегральной форме ! и(х) = ] 6(х, $)! ($) сф. о Функция источника или у!суисс!(ия Грина 6 (х, К) определяется условиями —,„(й(х) „' )-д(х) 6(х, ~)-0, х.-й$.
6 (О, оь) = 6 (1, ь) = О, [6] = О, [ й — ~ — 1 при х !20 ГЛ. !11. ОДНОРОДНЫЕ РАЗИОСТИЫЕ СХЕМЫ и обладает свойствами 6(х, $))0, 6(х, $) 6($, х), х, ~ы(0, 1). Чтобы получить явное выражение для решения разностной задачи (29) и использовать его затем для вывода априорных оценок, введем разностную финкци!о Грина 6(х, $), х = х, = 1й, $=Ь='(Л Пусть, как обычно, Н-1 У (и, о) = ~ 9!о!Ь, (у, о) = ~ у!о!й. ! 1 Будем искать решение задачи (29) в виде х (х) = (6 (х, ь), т (е) ). (31) Потребуем, чтобы зто выражение удовлетворяло уравнению Ле(х) =(Л„О(х, ь), т(ь)) = — ф(х).
Отсюда видно, что уравнение удовлетворяется только при Л„О(х, ~) = — ', где б(х, ~) — символ Кронекера: в (х, $) Ь б (х, х) = 1, б (х, $) = 0 при хФ$. Таким образом, формула (31) дает решение задачи (29), если 6(х, $) как функция х при фиксированном $ ~ е11, удовле- творяет условиям Л„О(х, ~) = (а(х) 6„(х, $))„— !1(х) 6(х, $) =— х, вы вА; 6(0, ь) = 6(1, ь) =О, ~ее !ЕА. Покажем, что разностная функция Грина 6(х, С) существует и найдем для нее явное представление. Пусть а(х) = а(х, й) и р(х) = 3(х, й) — два линейно неза- висимых решения однородного уравнения Лу = О.
Для опреде- ленности будем считать, что !х и 11 суть решения задач Коши: Ла = (аа„) — г(а = О, х ~ !АА, а (0) = О, а,а,, = 1, 1 ЛР = (а(1„)„— а!Р = О, х ее !АА, 3 (1) = О, — а„бх н = 1. (ЗЗ) Нам понадобятся следующие свойства а(х) и р(х): 1) а(х) — монотонно возрастающая, (1(х) — монотонно убы- вающая положительные функции: а(х) > 0 при 0 < х -=. 1, р(х) > 0 при 0 ~ (х < 1, а(х)(а(1), р(х)(~Р(0) при хан (О, 11, 2) а(1) =р(0), 3) Ь(х)=а(оар — а(1х) =сопя(=а(1)>0, О<х(1. $ !.
схемы для стАционАРного уРАВнения в1 121 Докажем эти свойства. 1) Из уравнения Ла = 0 и условия а!аа ! = 1 следует ! — ! а!ах ! = 1+,,'~~ дьаА/1, а! =/!/а! >О. ь-! Если аА ) О, /! = 1, 2, ..., ! — 1, то а!ах, ! > О и а! ) !х! ! > О. Аналогично убеждаемся, что рх, ! < О, 0 < р! < р!-!. 2) Рассмотрим вторую формулу Грина: (а, Лр) =(р, Л )+ля(прх — Р „-)„— а!(Ф„-((п„); Отсюда, в силу условий (ЗЗ), сразу следует а(1) = р(0). 3) Применим вторую формулу Грина в области 0 <х, = =й<х!,=х! н-! 0 = ~~'.~ (аЛ(1 — РЛа)! Ь = а, (а() — иа ) — а, (ор — ра ) = = — Л(х,)+(1(0)а,ах, = — Л(х,.)+~„.
Так как хи= х — произвольный узел сетки а!А, то Л(х) = = р(0) =- а(1). Будем искать разностную функцию Грина в виде 1' А (е) а (х), 0 (~ х ~-. а, 1 В(й)р(х), $(х(1. ' (34) Краевые условия при х = О, х = 1 выполнены. При х Ф й функция (34) удовлетворяет уравнению Л„6(х, $) = О. Чтобы найти АД) и В(Е) используем условие однозначности 6(х, $) при х = а и уравнение Л,6(х, и) = — 1/й при х = $. Полагая в (34) х = Е, найдем А (а) а (я) = В ($) р (я). (35) Подставим выражение (34) в уравнение (29) при х = $ и ф = = — 1//н Л,6 (, = — '(В ($) а (й + /!) ~„($) — А Ц) а (Е) ах ($)~— —,((Р В ® 0(2) = — — '. (Зб) Из уравнения Лб= 0 при х = й выразим а(й+ /!)5„($) = а(~)рх($)+ Ь !(($)р($), из (35) определим В(Е)=А(Е)а($)/р(Е) и подставим эти выра- жения в (36): — Л6) = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
