Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 18
Текст из файла (страница 18)
»-1 Подставляя (28) в (27), найдем Ф» = ф»/(! + от»7.»), так что прн о) 0 имеем 2 У-1 2 У вЂ” 1 %2 чй ~~А Л4» Й (1+от2» )2л»~4 Я. ~(ф~~л т. е. 1 у" к г!1„- ( !! ф" 1,— . Таким образом, если о) 0 и выполнено условие (21), то для схемы (4б) справедлива оценка ! — 1 Ы ~ У вЂ” ',","~~ т!! ф'~1,— ь !'-о Для задачи (4) (с до = ун = 0) при тех же условиях выполняется оценка 1-1 11)и'11~У ",' (11)У1Н-)и/„,-:- ~.11~'11„-).
д-о 42 1ОО ГЛ. Ц. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 12 Интересно заметить, что при специальном выборе у' = у(т) удается доказать устойчивость в Ео схемы (15) при условии т», Ь. Приведенное ниже доказательство сообшил автору В. Б. Андреев. Рассмотрим разностную схему (29) (30) Согласно п. 1, задача (29) — (30) аппрокснмирует уравнение (1) — (2) с погрешностью 0(т'+ Ь'). Выразим решение у! через у' = ио и йо. Поступая как и ранее, найдем У вЂ” 1 у =,~„! иоо сов /фо +,—,.„в! и /фо ! Х (31) А-! где й,„— коэффициенты Фурье йо(к), а величины иод, фо имеют тот же смысл, что и прежде.
Возводя (31) в квадрат и используя оценку -2 / тлоо аоо 2 11 —,,„сов /фо((иоо в!п РР ) ( т',.„, Сов~ РРА 4- ио в!и'/!Р, имеем А!-! !!у!У~(1иУ+",'~, „„",", . о-! то 1 Оценим снизу выражение —.= . Пусть у=т/Ь(1. Мп'фо Л,(1 — т'Л,/4) ' Тогда Л1,(1 — т'Ло/4) = 1! в!по 1 7 в!п — ) ~) 2 " о лйй 4 . л йй / . о лйй') 4 . лйй лйй 212/ А!2 ~ — з!и' — 11 — в)п' — ) = — в(по — соз' — ~ 2 4 . лй о лй Мо'лй й' 2 2 й' ) — в|и' — сово — = —. В гл.
1 было показано, что —,в!п — )8, если Ь,(0,5. 4 . олй! ! Поэтому, обозначив Ь, = 2Ь, имеем о1ло лй 4 . лй! 1 = — в!и' — ~)8, Ь ~ ~—. йо йо! 2 4 Итак, если т» Ь и Ь('/4, то для решения задачи (29) — (30) имеем оценку )!у')г()) ио)г+ — )! йо!)', З! З Е РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕВАНИИ СТРУНЫ 1Щ 3. Метод энергетических неравенств. Исследование устойчи- вости разностных схем для уравнения колебаний можно прове- сти и с помощью метода энергетических неравенств (см. 3 1, п. 7). Ограничимся здесь изучением устойчивости по начальным данным.
Будем рассматривать задачу у„= Л(од+(! — 2о)у+ оу), (32) Уо = Ук = О, у (х, 0) = ио (х) Ус(х, О) = йэ (х). Замечая, что ау + (1 — 2о) у + ау = у + от'угн перепишем уравнение (32) в виде (Š— отзЛ) у, = Лу, (ЗЗ) где Š— единичный оператор. Умножим (33) скалярно на у. =(у,+у,)/2: ((Š— о.т'Л)у„, у.) = (Лу, у.), (34) Воспользовавшись очевидными тождествами (ун, у;) =0,3(1У,)з), (Луп, У.) =(Уеа, У.,1=0,3((УУ,)'),, преобразуем левую часть равенства (34) следующим образом: ((Š— от'Л) Угн У.) = 0,5 (!! У ~/'+ от-'!!У„фт) . (35) -(Лу, У.1=-(~~у +й„11) —,-(1У„1Р).
(Зб) Действительно, из первой формулы Грина (см. гл. 1, $2, п. 1) следует, что -(Л ')=~" "'1 где о = ух, н так как 1 т2 о о;= —,((о+6)'),— р Ци7)'), тр получаем (Зб), Покажем, далее, что для любых функций у = у(х, 1„), обращающихся в нуль при х = 0 и х = 1, справедливо тождество 1ОЗ ГЛ. 11. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 13 Подставляя (35) и (36) в (34), получим следующее энергетическое тождество: (]у1]з+(о — — )Т']у ]$'+ — ]у +уз]]т) =О, (37) или Р!+1 8*1 > где д'1=$$У1!'+ (о' — — ) тз]у,'-]!4+ — ]у1+у~ 1]$1. (38) Найдем значения о, при которых величина Ю1 неотрнцательна для любых у1 и у1 — '.
Для этого заметим (см. гл. 1, 3 2, п. 3), что 4 !!ум]$'~ А ]У $$' и поэтому $$У1$$ + ( 4) $!У14]!»» ( 4 + ( 4) )$$У14]$ ' Следовательно, правая часть (38) будет неотрицательна, если потребовать 1 ! т о» )— — —,, у= — „. (39) При этом выражение (1В1)ч можно считать нормой (или, точнее, полунормой): о~=.$$У П.=]$У1у$$'+ (" 4)'$$угх]!'+ 4 ]У1+УГ ]$. (40) Заметим, что такие «комбинированныеь нормы, зависящие от значений у на нескольких слоях, характерны для многослойных (и, в частности, трехслойных) схем.
Тождество (37) означает устойчивость по начальным данным в норме (40): $у 1$.=!!У $!., 1=0, 1, ... Итак, условие (39) достаточно для устойчивости схемы (32) по начальным данным в норме (40). В частности, схема (32) с о = 0 устойчива по начальным данным при условии (41) Это условие устойчивости, называемое иногда условием Куранта, было получено впервые в работе Р. Куранта, К. Фридрихса и Г.
Леви [1]. Глава 1П ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ Основное содержание главы — теория однородных ревностных схем для одномерных уравнений с переменными коэффициентами: си+)(х)=0, ли= — (й(х) — ~ — д(х)и, ди т дх ~ дх! — =- зи+ ) (х, Г), т и = — ( й (х, !) — ) — о (х, () и, ди д / ди1 дг дх дх дзи — ли+) (х, Г). др Главное внимание уделиется способам написания однородных разпостных схем и исследования их аппронсимапии и сходимости в случае разрывных й, о, й а также в случае неравномерных сеток.
й 1. Однородные схемы для стационарного уравнения с переменными коэффициентами 1. Введение. В связи с широким применением вычислительных машин становится ясным, что нецелесообразно использовать разностные схемы и составлять программы, предназначенные лишь для решения отдельных задач частного вида. Необходимо иметь разностные схемы, пригодные для решения классов задач, определяемых заданием типа дифференциального уравнения, класса краевых и начальных условий, а также функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты дифференциального уравнения.
Такие универсальные разност. ные схемы должны, естественно, удовлетворять требованиям сходимости и устойчивости на любой последовательности сеток и для любой исходной задачи из рассматриваемого класса задач. Требование единообразия вычислительного алгоритма для решения класса задач приводит к понятию однородных разностных схем. Под однородной разностной схемой понимается Гл п1.
ОднОРодные Р»зностные схемы !04 разностная схема, вид которой не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбора разностной сетки. Во всех узлах сетки для любой задачи из данного класса разностные уравнения имеют один и тот же вид. Коэффициенты однородной разностной схемы определяются как функционалы коэффициентов дифференциального уравнения. Большая интерес, например, представляет отыскание однородных схем «сквозного» или «непрерывного» счета, пригодных для решения уравнения теплопроводности (диффузии) с разрывным коэффициентом теплопроводности (диффузии) по одним и тем же формулам (программам) без явного выделения точек или линий разрыва коэффициентов.
Это значит, что схема в окрестности разрывов не меняется и вычисления во всех узлах ведутся по одним и тем же формулам, независимо от того, разрывен или непрерывен коэффициент теплопроводности. Использование однородных схем сквозного счета особенно важно в тех случаях, когда коэффициент теплопроводности вычисляется в результате приближенного решения других уравнений, что, например, имеет место при решении уравнений газодинамики в теплопроводном газе, когда коэффициент теплопроводности зависит от плотности н терпит разрывы на ударных волнах. Для теории разностных схем необходимо задать исходное семейства схем. Общий способ задания семейства однородных разностных схем был указан в работе А.
Н. Тихонова и А. А. Самарского [1[. Коэффициенты однородной разностной схемы выражаются через коэффициенты исходного дифференциального уравнения при помощи некоторых так называемых шаблонных функционалов, произвол в выборе которых ограничен требованиями аппроксимации, разрешимости, устойчивости и др. Семейство однородных разностных схем задано, если указано семейство допустимых шаблонных функционалов схемы.
Поясним это в возможно более простой ситуации. Будем рассматривать разностные операторы над функциями одного переменного х1 = гй, 1 = О, «-1,... Разностный оператор вначале определяется на целочисленном шаблоне, т, е. на множестве %0 = (- тн — т! + 1, ..., — 1, О, 1, ° ., Щ2), где ть т,— целые числа, после чего совершается переход к реальной сетке гэ»=(х1=1й, 1=0, '+'1, ° ) с шагом Ь. Пусть й(з) — вектор-функция, заданная на отрезке — т1 ( з ( т, (на коэффициентном шаблоне). Пусть далее Ц [й (з)! — 1п1 ~~/~~ты В" Й(з)) ч ь схимы для стлционлнного зрлвнвния !Оз некоторые шаблонные функцыональп зависящие, вообще говоря, от параметра Ь и определенные для вектор-функций Й(з), з ~ [ — пть тз).
Линейная (относительно сеточной функции д") однородная разносгнал схема определяется так:(1.'а'у ), = О, где ((-а~у 1 = Х А" [Ь(х,+зЬ)[у" (х,+тЬ)+ В [Ь(х,+зЬ)[, т — т Опуская индекс 1, это выражение можно записать в виде ([~у = ~ А" [Ь(х+зЬ))у"(х+пчЬ)+В [Ь(х+зЬ)). м= — ы! Целью теории однородных разностных схем является отыскание (в исходном семействе) схем, пригодных для решения возможно более широкого класса задач, а также выделение наилучших схем (например, по порядку точности, по объему вычислений и др.). В этом параграфе мы дадим изложение основных вопросов теории однородных разностных схем для одномерной стационарной задачи теплопроводности с переменными коэффициентами Ь(х), п(х). Полученные здесь результаты будут использованы при изучении в Я 2, 3 однородных разностных схем для нестационарного уравнения теплопроводности — ',", =+(Ь(, 1) — ",„")-И, ) +И, 1) и уравнения колебаний — — — '[Ь(», г) — ) — д(~, г) и+1(х, Ь).
2. Исходная задача. Рассмотрим первую краевую задачу для стационарного уравнения теплопроводности или диффузии — '[Ь(х) — ) — д(х)и= — 1(х), 0<х<1, ! Нх ол (1) и(0)г ии и(1)г ит, Ь(х)Ъсг>0, д(х)~)0. [ Эта задача имеет решение, если Ь(х), д(х), 1(х) — кусочно-непрерывные функции (принадлежат классу я~аз) *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
