Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть (43) Покажем, что У эе]1 о]]е при а) а . (44) В самом деле, У = 11 о !Р + (а — ае) т 1! оэ]Р + (а, — 0,5) т 11 ОДе ~) ~)!!о]Р— !!ОД'= 11 о ]Р— (! — еЦ1 о]Р =В!!о!Р. Подставляя (44) в (40), получим энергетическое неравенство 2те]]Ус]]э+]Уе]]'«)Уе]]'+ 2т(ф, У!), а~) а,. (45) ав Гл, с!. уРАВнения с постОянными кОэФФициентАми (47) М(ЬЭ+ т) при п>0 5, и~С'„ М(й'+ тз) при о =0,5, и еиС', М(Ь4+ т') при О = и„, и еиСеа. |! Ус — ис |!с «( Для явной схемы (о = 0) из (43) не следует равномерная сходимость при условии т - сса/2.
Однако, для нее можно непосредственно получить оценку !)Ус()с~(!!Уа!!с+ Х г!!4Р' !!с т«(Н2 (49) ! -о В самом деле, запишем явную схему в виде Ус=(1 — 2У)ус+У(Ус-!+Ус+!)+Т<Рю У=тlсс'. Если у 0,5, то ! Ус ! < «(1 — 2у) ! Ус 1+ у (! у,+ ! )+ ! у,, !) + г ! ф, ! < —:(1 — 2у)!!у!)с+у())у!!с+!!у)!С)+т)!ф!)с=!!у!!с+т))ф)!с или с ))Уса!!Ь<«)!Ус))с+т!)фс!)С<«))уо!!с+ Х т))фк()с Воспользуемся теперь неравенством Коши — Буняковского и е-неравенством: 2т(ф, ус)(2т!!ф!)!! ус!((2те!)у Р+ —,!!ф!)е После подстановки (46) в (45) будем иметь )!Уе С! с!УЯс! 2е !!ф Просуммируем по с' = О, 1, ..., у и учтем, что у' = 0: с !!уСУ" ]!а « <— „- ~~ т!! ф'!!'.
с-а Согласно лемме 1, гл. 1, з 2 имеем !!у!!с <0,5!!Ух]!; поэтому ! 'п Са'"1!.< „' ) Л.Сача), >. -с'=а Применим эту оценку к задаче (П1): !!есы|~(«Ма гпах (!4Рс'|!, М,=, п>О,, (48) ое:С МС 2Р'2е Отсюда следует равиолсерная сходимость схемы (Н): з1 $ ь схемы для уРАВнения теплопРОВОдности 87 Таким образом, явная схема равномерно устойчива по начальным данным и правой части, если у = т/йз( 0,5. Отсюда и следует ее равномерная сходимость со скоростью 0(т+ й'). 8. Краевые условия третьего рода.
Краевые условия первого рода, которые мы рассматривали до сих пор, удовлетворяются на сетке точно. В гл. 1 было показано, как аппроксимировать третье краевое условие для схемы с опережением (о = 1) и явной схемы (о = = 0), чтобы обеспечить порядок аппроксимации 0(т + йз). Здесь мы рассмотрим схему с весами (П) с произвольным о. Пусть при х = 0 задано краевое условие третьего рода =Д,и(0, () — р1(1), 81 =сонэ(>О.
(50) Разностное краевое условие будем писать на четырехточечном шаблоне, состоящем из узлов (О, 1;+,), (й, 11+1), (О, 1;), (й, 71). Покажем, что разностное условие о(ӄ— 81й)з+ (1 — о) (Ух 81У)о = 0 5йУВ о Р1 1А1 = й1+ О 5Цо (51) где 7з — — 1(0, 1;+ч,), й1 = р1(1ень), аппроксимирует условие (50) на решении и = и (х,г) уравнения (3), удовлетворяющем условию (50), причем с тем же порядком, с которым при данном значении о схема (П) аппроксимирует уравнение (3). Подставим у = г + и в (51): о (г„— 81г)а+ (1 — о) (г„— 81г)о — — 0,5йгь о — Ян (52) где О1 = о (й, — 81 й), + (1 — о) (и,. — 81 и)а — 0 5й и, о + 1А, — погрешность аппроксимации условия (50) разностным условием (51).
Разлагая сс в окрестности узла (0,11+ 0,5т) по формуле Тейлора и обозначая бз значения функции О в этом узле, получаем '~ =(йа й1из+ Р1)+ + (о — 0,5) т(и' — й1й) — 0,5йи + 0,5йй," + 0(йз+ тз). Подставим сюда и', = 81и, — р, и и," = и, — 1 из уравнения: б1 = (о — 0,5) т(и„' — 81и,)+ 0(т'+ й'). Отсюда видно, что 91 0(й'+т) при о ~ 0,5, р, = 0(й'+тз) при о=0,5. (53) Нетрудно проверить, что краевое условие при х =.1 = Рги (1, 1) — рг (/), Цг сопз(> О, (54) ди(|, !) аппроксимируется с тем же порядком разностным условием — [а(уг+ Игу) +(1 — а)(у,+()гу) Д=0,5Ьу,,— рг> (55) где р~ = р~ + 0,5ь/и Йг = )гг(/1+'ь) Ги = /(! /г+'ь). Выбирая а> — а» 1г> = Й>+ |2 111+ г /о + 2 |ро, А" —. А> —, А |2!2 б /~ 2™ |2/ и заменяя, соответственно, 0,5Ьуь „0,5Ьуь „, в (51), (55) на 0,5ЬР,УАН 0,5ЬР,Уь„, где РА =1+ Ь(!А/3, Ь=1, 2, полУчим Разностные граничные условия, имеющие при а = а, = 0,5 — Ь'/(12т) аппроксимацию 0(Ь" + т').
Вводя обозначения Л вЂ” Л 0,56 ' У ЦЕА запишем разностные краевые условия (51) и (55) в том же виде, что и схему (11); у,=Л (ау+ (1 — а)у)+|р при х=О, 1 (56) у, = Л" (ау + (1 — а) у) + ф+ при х 1, где |р =2р>/Ь, >р+ =2|го/Ь. При 5! = рг = 0 получаем разностную аппроксимацию краевых условий второго рода. Порядок аппроксимации остается тем же самым, что и для третьей краевой задачи. Приведем условие (51) к счетному (т. е. удобному для вычислений) виду. Разрешая (51) относительно у,=уо|о>, получим а А> ) уо=к>У>+У! Н> = д > Л> =а(1+(г>Ь)+ 2 (57) = — ~(1 — а)у, +~ —" — (1 — а)(1+8>Ь)1уо+Ьр,~.
~ Условие (55) приводится к виду а А' фо> = хгУи-1+ чг, нг — — —, Лг = о (1 + 8гЬ) + — > (58) — — ~(1 — а)Ум, +~ 2 — (1 — а)(1+йгЬ)1Ум+ЬЙг~. Вв ГЛ. Н. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЪ|МИ КОЭФФИШ|ЕНТАМН !о «с. схемы для уРАВннсня теплопРОводностс! вз Отсюда видно, что 0(н ~1 при р )О, о)0, а=1,2. Для определения д на новом слое получаем разностное уравнение (8) с краевыми условиями (57) и (58). Эта задача при о Ф.
0 решается методом прогонки (см. гл. 1, 9 1, п. 9). Устойчивость схемы (П) с краевыми условиями третьего рода устанавливается либо методом разделения переменных, либо методом энергетических неравенств. 9. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности. Одной нз первых схем, применявшихся для численного решения ди д'и уравнения теплопроводности —, = —,, была явная трех. слойная схема Ричардсона !«с с-с = Ад! или д. = Лд, (59) где У вЂ” с! .'с 2« сэс -с ! д=д, д=д, д=д, Л„=д„„.
Эта схема, как нетрудно убедиться, имеет второй порядок аппроксимации по т и Ь,с(!=Ли — и. = 0(т'+)с'). Однако она является абсолютно неустойчивой (т. е. неустойчивой при любом законе стремления й и т к нулю). Перепишем уравнение (59) в виде Ус-с „! 2У!., У! (60) Если в правой части уравнения (60) заменить 2д! суммой дсс.с+ У!-', то получим трехслойную схемд «ромб» (схемд Дюфорта и Франхела (1)): гес ! — с ! с+с ! — с + ! — У -ЬУы 2« Ьс ! (61) тс д;+ с,с да=схд где ди=(У!с+с — 2дс+д! с))т'.
В самом деле, преобразуем правую часть уравнения (61): Ус-с-Ус — Ус+Ус+с Ус-с 2Ус+ Ус+с дс 2Ус ьдс ас ас ссс д»» ас ди которая остается явной относительно д! +' и является абсолютно (при любых !с и т) устойчивой. Схема «ромб» может быть записана в виде (62) ЧО ГЛ, И. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 19 Подставляя это выражение в (61), получаем (62). Таким образом, схема «ромб» получается из схемы Ричардсона добавлением к левой части (61) члена — „, ун, обеспечивающего устойчивость.
Доказательство устойчивости схемы (62) следует из общей теории гл. Ч1, поэтому мы его здесь не касаемся. Погреш. ность аппроксимации схемы (62) есть т> т> 9)> = Ли — и. — — и = и" — и — — й + 0 (т9+ Ьх) А> н А> т> .. = — — „, й + 0 (т»+ Ь9). Отсюда видно, что схема «ромб» обладает условной аппроксимацией >Р = 0 (т'+ Ьэ+ т9/Ь9) = О (Ь') при т = О (Ь'). Если взять т = ай(1 + 0(Ь)), где я = сопз1, то, очевидно, что схема (62) аппроксимирует уравнение вида ди 9 д'и д'и — +о д~ ду дх' ' Обычно для уравнения (3) используются неявные трехслойные схемы с весами: а) симметричные схемы у. = Л (оу + (! — 2О) у + оу) + (р, (63) б) несимметричные схемы у,+,уи=лу+~. (64) у,(х, 0)=й9(х) или у(х, т)=у(х, О)+тй9(х), где и9(х) = и9 (х)+((х,0) выбирается нз условия (см.
гл. 1, $1, п. 6) и (х, т) — и (х, О) = 0 (т'). Иногда для определения у(х, т) используют двухслойные схемы. Так как ой + (1 — 2О) и + ой и + отзи, и+ 0 (тт)> Уравнения (63) и (64) содержат три слоя (1; ь (ь >>»ы). Поэтому они пишутся прн 1;)~т(у )~1).
Значение у(х,0) = и9(х) известно, значение у(х, т) надо задавать дополнительно, например, можно положить 9! ч (. схимы для хялвнвиия твплопговодностн 91 то симметричная схема (63) при любом а имеет второй порядок аппроксимации по т и Ь. Напишем выражение погрешности аппроксимации для схемы (64): ((( = Лй + ф — (и, + ати„) = йй + ф -(й — 0,5тй + атй) + 0 (тз+ Ьз) = (/.й+ / — й) + ((р — /) — (о — 0,5) тй+ 0 (тз+ Ь').
(65) Отсюда видно, что и для схемы (64) (Р = 0(Ьз+ тз) при о = 0,5, ф = 0 (Ье+ т) при а Ф О 5, ф = /. ' Выписывая в (65) члены 0(Ьт) и учитывая уравнение й = = и" + /, нетрудно убедиться в том, что схема (64) имеет аппроксимацию 0(Ь'+ т~) при а=0,5+Ь~/(12т) и (р=/+ —,(/" +/). Для определения у из (63) и (64) получаем трехточечные уравнения Ау( ( — Су(+ ВУ(+( = — Р( (66) с правой частью — Рь зависящей от у, у, (р, и с обычными краевыми условиями при ( = О, ( = 5(. Эта задача решается методом прогонки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
