Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 12
Текст из файла (страница 12)
= В,. (д,. „— д,) — А,. (д, — ди .) — (С, — „— Аи) д,. < < — А, (д„— у...) <О, что противоречит требованию (Лу),. > О. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Следствие !. Если (Лу); <О, ! = 1, 2,, И 1, уь > О, ун > О, то функиия у; неотрииательна, у, )~ О, ! = 1, 2, ..., И вЂ” 1. Если (Лд)г>~ О, до <О, ук <О, то у; <0 при 1'= = 1, 2... )ч' — !. Следствие 2. Если выполненьч условия (5!), то единственнтям решением задачи (Лд), = — Еи 1=1, 2, ..., !ч' — 1, у,=иь ун=!г, (52) с Рг =и О, !г1 = из = О, является тождественныи" нуль, и, следовательно, задача (52) однозначно разрешима при лгобых Рь рь иь $! З Х МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОР!и! РАЗНОСТПЫХ СХЕМ В! Т е о р е м а 2.
Пусть у! — решение задачи (52), а у; — решение задачи, которая получится при замене в (52) функций Рь !А!, 1Аз соответственно наРИ !А„!А Тогда, если 1Р,!<Рь !'=1, 2, ..., Л' — 1, (1А,~<1!„, а=1, 2, то справедлива оценка ! у! ! ~< у!, ! = О, 1„..., й(. Доказательство. Так как Р! ~~ О, то, согласно следствию 1 из теоремы 1, у; > О. Функпин и! = у! — у! и о! = у! + у! удовлетворяют уравнению (52) с правыми частями Р! — Р! и Р! + Р; и граничными условиями р, — !г и г! + р, соответственно.
Применив следствие ! из теоремы 1, получим, что и,)~0 и о!.~>0, т. е. (ус( (у!. Следствие. Для решения задачи (52) с Р! = 0 справедлива оценка !! у 1!с ~ ~игах ( ! 1г! ! ! рз ! ) Для доказательства рассмотрим вспомогательную задачу (Лу);=О, г=1, 2, ... й! ! уо=ун=1! где и = [пах(!!А,(, )1тз)). Согласно теореме 2, имеем 1!у!~с<1!у!|с а из теоремы 1 следует, что !!у!!С<н. Теорем а 3.
Пусть в задаче (52) Р,=-РЛ, 1=1, 2, ..., й( — 1 1А =1! =О, где О! —— С; — В, — А! > 0 и выполнены условия (5!). Тогда справедлива оценка 11 у 11, = ш ух 1 у, ! < (1 ф !1С. (53) Ос! -"и Доказательство. Если Р!=0 при !=1, 2... 51 — ! н 1А! = !Аз — — О, то Р! = О, решением задачи (52) является тожде- ственный нуль н оценка (53) очевидна. Предположим теперь, что Р! Ф 0 хотя бы в одной внутрен- ней точке. Построим функцию У! Р'О, являюшуюся решением задачи В!(У !+! — Г!) А!(К! — 1'!-!) — О!У! = — 0;1!р!! Го = )тн =0 (54) Согласно теореме 2, 1!у!~с'< !1ЦС, так что нам остается оце- нить решение задачи (54), Гл.
1, пРедвАРнтелы1ые сведения Пусть в точке !' = !а достигается максимум функции Уь Тогда В,. (У,„— У,.)«О, А,. (Уь — У„,)~О и из (54) получаем 0ьУь«0„(т„~«0п[[й [[с Если 0ь > О, то отсюда следует оценка [[ У [[с «[[гр [[с (55) что нам и требовалось, Если же 0ь=О, то из (54) получим Ви(уг,+! — Уг,) = Аь(уг,— У1, !). Так как Уг,)У1, ! и Уг,)уьь1, то отсюда следует равенство Уг,+! = У;, = Уи-ь т. е. то же самое максимальное значение достигается и в соседних с !в точках. ВзЯв ! = 1! = !о + ! (или 1', = !о — !), повтоРЯем предыдущее рассуждение и получаем неравенство 0 71,«0и[['Р[[с откуда снова следует либо (55), либо равенство У и+ ! = !'ь = Уй-.!. Так как 01чь О, то при некотором ! = 1„получим 0; ) О и не- 'а равенство (55).
Теорема доказана. й 3. Некоторые сведения из функционального анализа Понятна н ь!етоды функдиональиого анализа находят естественное применение в теории разностных схем. зхаднм здесь краткий перечень исполь. ауемых нами элементаРных сведений нз теории линейных операторов. для детального изучения основ функпиональвого аиализз можно рекомендовать, например, книги Л. В. Канторовича н Г. П. Акилова [[], Л. А. Люстерника и В.
И. Соболева [[), Б. 3. Вулоха [[!. [, Линейные операторы. Пусть Х и У вЂ” линейные нормированные пространства, !6 — некоторое иодпространство Х. Если каждому вектору х ~ Ж по определенному правилу сопоставлен вектор у = Ах ~ У, то говорят, что на Я (или в Х) задан оператор А со значениями в У. Множество Я называется областью определения оператора А и обозначается Я(А). Множество всех векторов вида у = Ах, когда х ~ мг(А), называется областью значений оператора А и обозначается Я(А).
Иногда вместо Ах будем такгке писать А (х), 1 ф 3 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУН1(ДИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Вз Два оператора А и В называются равными, если области их определения совпадают и для всех х ен Ы(Л) = Ы(В) выполнено условие Ах= Вх. Оператор Л называется линейным, если он 1) адднтивен, т.
е, для всех х,, х ен Ю(А) А(х,+х)=Ах,+Ах, 2) однороден, т. е. для всех х ~ Ю(А) и любых чисел Х А (Хх) =- ХЛх. Линейный оператор А называется ограниченным, если существует такая пос~оянная М ) О, что ПЛхПЕ~МПхП1 (1) для любых х ев Я(Л) (здесь Ц. П1 — норма в Х, П Пз — норма в г). Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию (!), называется нормой оператора А и обозначается П Л Ц или просто П А П. Из определения нормы следует, что ЦАП= знр ПА!х!Ь или ЦАП=вор „'. (2) !!к!1, 1 мо П" П! Отметим, что в конечномерном пространстве любой линейный оператор ограничен. Всевозможные линейные ограниченные операгоры, действующие из Х в У, образуют линейное нормированное пространство, так как норма ПЛП оператора А удовлетворяет всем аксиомам нормы: !) ЦАП ~~О; если ПАП = О, то ПЛхП, = О для всех х и Л = О, 2) П1ЛП = /1/ЦАП, 3) ПА + ВП ( ПАП+ЦВП.
Будем обозначать через (Х- Х) множество линейных ограниченных операторов, область определения которых совпадает с Х, а значения принадлежат Х. На множестве (Х- Х) можно ввести произведение АВ операторов А и В, (ЛВ)х = А (Вх). Очевидно, что Л — линейный ограниченный оператор: ПЛВП-.
( ЦАЦЦВП. Если (ЛВ)х = (ВЛ)х для всех х еи Х, то А и В называются перестановочными или коммутатнвными; в этом случае пишут АВ = ВЛ. В связи с решением уравнений вида Ах = у вводится понятие обратного оператора Л-'. Пусть А — оператор нз Х на У, т. е. !ей(Л) = Х, Я(А) = У. Если каждому уев У соответствует только один х ~ Х, для которого Лх = у, то этим соответствием определяется оператор Л ', называемый обратным для А и имеющий область определения У и область значений Х. Для любых Гл. !. ПРедвхгнгтелыгые сВедения 64 А ен Х и у ~ 'г' имеем, из определения обратного оператора, тождества А-'(Ах) = х, А(А гу) = у.
Нетрудно показать, что если А линеен, то и А ' (если он существует) также лииеен. Л е м м а 1. Для того, чтобы аддитивный оператор А с Ы(А) = Х и У1(А) = У имел обратный, необходимо и достаточно, гто Ах = 0 только при х = О. Т е о р е и а 1.
Пусть А — линейный оператор из Х на У, Для того, чтобь! обратный оператор А-' существовал и был ограниченным (как оператор иэ )л на Х), необходилго и достаточно, чтобы существова.га такая постоянная 6 > О, что для всех х я= Х ЦАхЦг>6ЦхЦ! (Ц Ц, — норма в Х, Ц Цэ — норма в 1'). (3) При этом справедлива оценка ЦА 'Ц (176. 2. Линейные ограниченные операторы в вещественном гильбертовом пространстве. Пусть Н вЂ” вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой Ц х Ц = )'(х, х).
Будем рассматривать ограниченные линейные операторьг, заданные на Н(Я(А) = Н). Введем ряд определений. Оператор А будем называть: 1) неотрицательным, если (Ах, х) > 0 для всех х ее Н, (4) 2) положительным, если (Ах, х) > О для всех х Ре Н, кроне х = О, 3) полуограниченным снизу, если (Ах, х)> — с,ЦхЦл для любых хенН, (6) где с, — положительное число, 4) положительно определенным, если (Ах, х)>6Цх1г для любых хе= Н, (7) где 6 > 0 — число. Пусть А — произвольный неотрицательный оператор, х ~ Н, Число (Ах, х) назовем энергией оператора А.
Будем сравнивать операторы А и В по энергии. Если ((А — В)х, х) )~ 0 для всех х, то будем писать А )~ В. Неравенства (4) †(7), в частности, можно заменить операторными неравенствами А>0, т. е. (Ах, х)>0, А>0, т. е. (Ах, х)>0, А)~ — с,Е, т. е. (Ах, х) > — с„Цхф~, А>6Е, т. е. (Ах, х)>6ЦхЦг„ где Š— единичный оператор (Ех = х). Я Ч 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКИИОНЛЛЬНОГО ЛИЛЛИЗЛ Е5 Нетрудно убедиться в том, что введенное на множестве ли- нейных операторов (Н -и Н) отношение неравенства обладает следующими свойствами: ! ) из А г'- В и С >~ 0 следует А + С > В + О, 2) из А )~ 0 и Х > О следует ЛА > О, 3) из А>В и В)~СследуетА>~С, 4) если А > О и А-' су1цествует, то А-' > О. Если А — линейный оператор, заданный на Н, то опера- тор А", также заданный на Н, для которого при всех х, у ее Н выполнено равенство (Ах, у) = (х, А'у), называется сопряженным к оператору А.
Если А — линейный ограниченный оператор, то сопряженный оператор определен однозначно и является линейным ограничен- ным оператором с нормой !!А*1~ = 1~А~!. Линейный ограниченный оператор А называется самосопря- женнрям оператором, если А' = А, т. е. (Ах, у)=(х, Ау) для любых х, уен Н. Если А — любой линейный оператор, то А"А и ЛА* — само- сопряженные неотрицательные операторы: (А" Ах, у) = (Ах, Ау) = (х, А"Ау), (А"Ах, х)=~!Ах/~)0, (АА*х, х)=!!А'х!!а)0. Отметим, что (Л')*=А, (А') =(А ). В комплексном гильбертовом пространстве Я из требова- ния неотрицательности оператора А следует его самосопряжеп- ность: если (Ах, х) ) 0 для всех х ~ Й, то А = Л*.
Для вещественного пространства Н это утверждение неверно. Поскольку мы рассматриваем только вещественное гильбертово пространство, то будем пользоваться операторными неравенствами и для несамосопряженных операторов. Т е о р е м а 2. Лроизведение АВ двух перестановочньсх неотрицательных самосопряженных операторов А и В есть также неотрицательныи" самосопряженный оператор. Оператор В называется квадратным корнелс из оператора А, если В' = А.
Т е о р е м а 3. Существует единственный неотрицательный самосопряженньчй квадратный корень В из любого неотрицательного самосопряженного оператора А, перестановочный со всяким оператором, перестановочным с А. Квадратный корень из оператора А будем обозначать через Ача, 3 К. М Самарский гл, ь пгвдвлгигвльныв сввдвния Пусть А — положительный и самосопряженный линейный оператор. Вводя на линейной системе Н скалярное произведение (х, у).« = (Ах, у) и норму ЦхЦл= Р'(х, х)л, получим гильбертово пространство Нл, которое обычно называют энергетическим пространством Нл, Нетрудно показать, что скалярное произведение (х, у)л = (Ах, у) удовлетворяет аксиомам скалярного произведения: 1) (х, у)л = (у, х)л, 2) (х + у, г)л = =(х,х). +(у,г)„, 3) ()х,у)л =).(х,у)л, 4) (х,х)л >О прп х чь 0 и (х, х) „= 0 только при х = О.
Аксиомы 2) и 3) выполняются в силу линейности, 4) — в силу положительности оператора А. Требование (х, у)л = (у, х)л или (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х) означает самосопряженность оператора А и тоже выполнено. Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского 1(х, у)„1 ( <ЦхЦлЦуЦл н неравенство треугольника Цх+ уЦл (ЦхЦл + + ЦуЦл. Тем самым доказана Лемма 2, Для любого положительного самосопряженного оператора в вещественном гильбертовом пространстве справедливо обобщенное неравенство Коши — Буняковского (Ах, у)'((Ах, х)(Ау, у), (9) 3 а меч а ни е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
