Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(9) Вычитзя теперь (9) из (8), приходим к разностносиу аналогу второй форхсульс Гринп (г, (ауз),.) (у (агх) ) = пн(гу, — г„у) и ас (у„г — гяу)ь (10) Точно так же для неравномерной сетки имеем: (г, (аух) ) — (д, (аг„) ) = ан(гу — дг,) — а,(у„г — г„у) . (1! ) Если у и г обращаются в нуль при х = 0 и х = 1, то подстановки равны нулю и (Лу, г) = (у, Лг), Лу = (ау ), (10') (Лу, г)„=(у, Лг), Лу=(аух), (! 1') Эти формулы показывают, что оператор Л является самосопряжеиным, 5) Неравенство Коши — Буня ковского, Нам понадобится в дальнейшем известное неравенство Коши — Буняковского (см., например, Л.
В. Канторович и Г. П. Акилов [1)) ! (и, о) ! (!! и !(!! о !1, (12) где (,) — скалярное произведение в некотором линейном пространстве и !1и!! )/(и, сс). В частности, по (,) можно понимать одно из введенных выше скалярных произведений. 2. Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи. Метод разделения переменных, известный в математической физике, используется и для исследования разностных задач. Применение этого метода Ф $2. МАТЕМЛТИЧЕСКИП АППАРАТ ТЕОРИИ РЛЭНОСТНЫХ СХЕЛ! 49 позволяет расчленить исходную задачу, зависящую от нескольких независимых переменных, на более простые задачи, зависящие от меньшего числа переменных. При этом, как правило, по отдельным координатным направлениям возникают задачи на собственные значения. Такая же ситуация имеет место и в разностиом случае.
В этом пункте мы рассмотрим задачу на отыскание собственных значений для простейшего разностного оператора. Сведения, полученные здесь, потребуются нам в дальнейшем, так как использование метода разделения переменных приводит к задачам именно такого типа, В последующих главах будут приведены примеры использования этого метода для анализа устойчивости и сходимости конкретных разностных схем. Предварительно напомним основные факты (см., например, А.
Н. Тихонов и А. А. Самарский [6]), связанные с простейшей задачей на отыскание собственных функций и собственных значений для дифференциального уравнения и" (х) + эш (х) = О, 0 < х (1, и (О) = и (1) = О. (13) Нетривиальные решения этой задачи — собственные функции ил и отвечающие нм собственные значения Хл выражаются следующим образом: 1. ИА (х) = у — з! и —, Х = йэп2(12 Г2 .
Лнх 2. Собственные функции ил образуют ортонормированную систему ! ~ иь (х) и (х) йх = 6„„„ о где О, йчьнл, 62 1, Й=нл. 3. Для производной от собственной функции имеет место равенство ИА (х) = ~гдл ~/ — ', соз — '"," = у'хл й„(х), откуда следует, что система йл(х) также ортонормирована, т. е.
/ ~ йл (х) й (х) 4(х = 6А . о Гл, !, пгедВАРитвльныв сведвпи>! во 4. Если )(х) дважды дифференцируема и удовлетворяет однородным краевым условиям, т. е. )(0) = !(1) = О, то она представима в виде равномерно сходящегося ряда Ю ! (х) =- ~! !ьиь (х), ь-! где ~ь= ~ 1(х) иь(х) а'х, О причем )1 7 ~Р = ~ ~' (х) !(х = ~~ (',. Поставим в соответствие дифференциальной задаче (13) разностную задачу д„„+Лд=О, д„=д„=О, учао (14) об отыскании нетривиальных решений — собственных функций задачи (14) и соответствующих собственных значений. Перейдем в (14) к индексной форме уьы — 2(1 — Ь!Л~2)у,+у; !=О, !'=1, 2, ..., У вЂ” 1. (15) Решение задачи (14) будем искать в виде у (х) = в!и ах, где а подлежит определеюпо.
Тогда у +, + у,, = вйпа(х+ Ь)+ в!па(х — Ь) = 2 в!пах соваЬ. Подставляя полученное выражение в (15), получим 2 в!п ах сов аЬ = 2 (1 — ЬвЦ2) вш ах. Так как мы ищем нетривиальные решения, т. е. в!п ах чв О, то из последнего равенства следует; 1 — ЬвЛ/2 = сов аЬ, и далее Л= — (1 — соваЬ) = — в!п —. 2 4 . 2 а!. 6! 2 Значение параметра а выберем так, чтобы функция у(х) = = в!п ах удовлетворяла граничным условиям задачи (14) д(0) =у(1)=0. Заметим, что прн х = 0 граничное условие выполняется автоматически при любых а. При х = ! имеем: в!п а! = О! Я 4 и МАТЕМАТИЧЕСКН1З АППАРАТ ТЕОРНП РАЗНОСТПЫХ СХЕМ 51 откуда а=ах — — лл/1, й=!, 2, ..., У вЂ” 1. Итак, мы получили собственные функции и собственные значения задачи (14), Перечислим их свойства.
1. угм(х)=з!п ! г ЛА= —,з!п —, 1=1, 2, ..., У-1. (16) Алх 4 . АЕЬ 2. Собственные значения ЛА перенумерованы в порядке возрастания и для всей совокупности (лх) справедливы следующие оценки: 1!и!Г=Ь, И= Х рй. Проведем несложные преобразования Ф-1 Аг-1 (!у1211г' == ~) (ум1(х1))25=) 6 з!и' — '= ( 1 1 1 Ф-1 Аг-1 СХ А/ 2хлх,. 1 А (Лг — !) ! ъ ~ 2)глх ,1 — !х! — сов / 2 2 — — 7 Ьсоз — ', (12) 4 . ла О ( Л, = †„, з(п' †,! < Лг « ...
Ли ! = 4, 2ла(А! — 1) 4 гла 4 = — з(пг ' Лг 21 1,г =- — соз' — ( †. (17) Из (17), в час!ности, следует, что все собственные значения за- дачи (!4) положительны. 3. Собственные функции задачи (14) у11г1, у1г"Л отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в смысле ска- лярного произведения, определяемого соотношением (5): (у', у~ ') — О, йФт. (18) Для доказательства этого факта воспользуемся второй раз- ностной формулой Грина, записанной для однородных краевых условий (10'), О =(д1„"„1, р! 1) — (у!'1, у!„!) =(˄— Л,)(8121, д! !).
Так как по предположению у(А! н у! ' — собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, т. е. ЛА Ф. Лли то из последнего равенства следует ортогональность р1А! и н! !; (д1, д !)=О. 4. Норма собственной функции у1м(х) есть !! у12> 1! = )' !Т2. Норма понимается в смысле скалярного произведения (5), оп- ределенного выше, Гл.
1. ПРедвАРнтелы<ые свеле|н|я Для того, чтобы просуммировать в (19) ряд из косинусов, построим вспомогательную функцию, разностная производная от которой равна соз (2/глх</!). Используя очевидное равенство ~з<п~~х+ — ) ) — — (з<пр ~х+ — ) — з<п~(х — —,) ) = — соз!1х юп —, имеем соз Рх = ~ з >|в (5<1/з) з| п )) (х + в Ц Теперь сумму ряда косинусов определить несложно: образует ортогональную и нормированную в смысле скалярного произведения (,) систему: (р<"1, 1<<"ч) = бх .
5. Первые разностные производные от собственнык функций, имеющие вид (<х<А1 (х) )„= )!2!,А/! соз ' ' > (21) ортогональны в смысле скалярного произведения (,), определен- ного формулой (5) и, кроме того, (! н<"1~ ~в = лх. В том, что разиостные производные от собственных функций имеют вид (2!), можно убедиться, проводя простые вычисления: (<!<А|) = (з<п — з1п Ф В/! ! . <>лх . <>л(х — а) < х ! 2 . I а . <|ла <>л (х — О,Ба) I хАА хл(х — О,Г>6) — >, — з(п —, соз а! ! 2! У = <г> — СОЗ Далее вычислим произведение (<А<А|, р<-'"'~= — (р<А1, рпл1) =З.
МА|, рР"1) =З б А Ах> Учитывая полученные результаты, находим из (19) требуемое соотношение (! у<А|!! = '1/1/2. Таким образом, набор сеточных функций 2/1 у< 1 (х) й где Ьл = 0 при й Ф !п и блл = 1. Здесь мы воспользовались раз- ностной формулой Грина, а также тем обстоятельством, что функция р!А! является решением уравнения (14), т. е.р!221= — А и12!. Итак, свойство 5 доказано.
б. Пусть на сетке й1, задана функция [(х), причем 12 = 1У = О, Тогда, очевидно, она представима в виде суммы по собственным функциям задачи (14) У-1 1(х) = ~ ~,р12>(х), 2-1 где коэффициенты определяются соотношениями )л = (1(х), р!"2(х)). При этом оказывается справедливым равенство 1~ 6[2 = 2" [',. (22) Докажем (22). В самом деле. У-1 !У-1 У-1 !111- х У1*,! — !Р, »=(х 1Р".
е 1Ф)- 1 2-1 2=1 / У-1 У-1 У-1 - ~ Х Ы мр!- 1) = Х Ч ( !л -!) = Х ) 2,1» 1 Л, т-1 2-1 так как (ры', р!"'!) =бл . В дальнейшем изложении мы будем часто пользоваться неравенством Ь2 [аЫ~(еа2+ — (в>0 — любое число), которое будем называть иногда е-неравенствояе Из него, в частности, следует: 4е [[ (23) 3. Разностные аналоги теорем вложения. В дальнейшем прн оценке различных свойств разностных схем, таких как устойчивость, сходимость и т.
д., нам понадобятся неравенства, которые соответствуют простейшим теоремам вложения С. Л. Соболева (см. С. Л. Соболев [2]). Докажем три леммы. Л е м м а 1. Для всякой сеточной функции у(х), заданной на сетке йл — — (х,=!'а, 0(! 1*2', х,=О, х„= Ц 21 $ е мАтемлтический лпплРлт теоРип РАзностных схем чз Гл. ь ИРедВАРителыЗые сВедения 54 и обращающейся в нуль при х = 0 и х = 1, справедливо нера- венство !!у !!с < з М! (! у !!с = гп ах ! у (х) !, !! уД = (уя уДь* ь (24) где С другой стороны, поскольку у(0) = у(1) = О, можно записать: у'(х)= ~ у (х')6 или ! т2 уе(х) = ( ~2 ух(х') ь) , Чх'-ххь Подставляя эти равенства в (25), находим ( х 'Р / 52 у'(х)=(1 — х)~хЯ Ьу (х')~ +х( ~~."2 Ьу (х')) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
