Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ь ' х ь Оценилг суммы в правой части, используя неравенство (23), х х у'(х) (1 — х) ~л~~ Ь ~~,'х у'=(х')Ь+х ~2 Ь ~2 у2(х')й= ! = х (1 — х),~~ у'= (х') Ь = х (1 — х) ~~ у ~~2 (ЗДЕСЬ у';=(у,)2). )2(ВКСИМуы ВЫражЕНИя Х(1 — Х) На ОтрЕЗКЕ (О, 1) достигается при х = 0,5 и равен 1Г4. Поэтому у'(х) ч — !)у ~(', и, следовательно, !!у)!с< —,)~уД. 3 а меча ние 1. Лемма 1 остается справедливой на произвольной неравномерной сетке йь. 3 ам еч а ни е 2.
В дальнейшем нам потребуется также неравенсгво типа (24) для отрезка произвольной длины 1. Такое Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция у(х) на сетке йь может быть представлена в тождественном виде уа(х) = (1 — х) ух (х) + хуз(х). (25) 3) 4 г. мАтемлтическни АпплРлт теоРПП РАзиостных схем 55 неравенство нетрудно получить из (24) с помощью замены переменных х' = 1х. Тогда х' будет меняться на отрезке (О, 1) и ух' ух/ ' Подставим ух=у,, 1 и Ь=й'11 в (24). В результате получим йуД'= ~(ух),'1г1-'й'=1~ (д„,) й =1йу,,Р.
Следовательно, на отрезке длины 1 справедливо неравенство ! у(х)! <(! у/! < — 'й у,.]/. у'Т (26) 3 а м е ч а н и е 3. Неравенства (24) и (26) получены для функций, обращающихся в нуль на обоих концах интервала. Если функция у(х) обращается в нуль лишь на одной границе, то справедливо неравенство !1у~),<ЩуД Для произвольных функций неравенства (24), (26), (27), вообще говоря, неверны. Однако можно показать, что в этом случае имеют место неравенства следу!ощего вида )(у~~в(2(1~)у„)~'+у;'), ) ~~ у ф ( 2 (1 й у„|~э + у'„-) .
~ (27) (28) Лемм а 2. Для всякой функцгги у(х), заданной на произвольной сетке гаь = (хь хь = О, хн = 1) и обращающейся в нуль при х = О и х = 1, справедливо неравенство 4 ~~М' уо ут (29) В самом деле, легко проверить, что ~~ у 1" ~ 11~ у ~(с ' Подставляя это неравенство в (26), получим (29). В случае равномерной сетки оценка (29) может быть улучшена. Л ем м а 3. Для всякой функции у(х), заданной на равномерной сетке ЙА =(х1=1й, г =О, 1, ..., Лг, ха=О хи =1) и обращающейся в нуль при х = О и х = 1, справедливы оценки ~ а (зо) 56 Гл.
!. НРедВАРительиьи сВедения Разложим у(х) по собственным функциям задачи (14): и-1 и-1 р(к) ~з~ с~11!41(х), с~— - (р(х), 1!!и (х)), Цу/Р = ~ с'. Ь-1 Ь-1 В силу первой формулы Грина (8) ( — Лу, д)=!!ук!!', где Лу =да„, !!уе!!~=(1, (у,)~!. (31) Так как Л1~!41=- — Льр!">, то и-1 — Лу = Х сэр„р"! (х).
Ь-1 Подставим это выражение в (31) и учтем ортонормнрованность (Р<Ч! и — 1 !!рк!!'= -(Лр, И= Х Ъ,с;. Отсюда получаем 1,,!!Р1!з <!!Рк!! <к 1И, где 4 . з."й 4, 1й 3 = — з!и' — ' Х. = — созз —. а' 2! ' 'и а' 2! Оценим Х! снизу. Ооозначнв а = и/1/(2!), получим Так как й <05!, то 1х меняется на интервале (О, и/4). Нетрудно проверить, что минимум функции (з!и !х)/я при а ~ (О, и/4) достигается в точке а = и/4, т. е, Х1(и) имеет минимум при й = = 0,5 !. Отсюда следует, что Х! )~ 8/Р, Учитывая также, что Ли < 4/й', получаем (30). 4. Метод энергетических неравенств.
Одным из общих и весьма эффективных способов получения априорных оценок является метод энергетических неравенств. Мы приведем примеры использования этого метода для получения априорных оценок применительно к разностиым задачам и покажем, как на основании полученных результатов можко определить, например, скорость сходимости разностной схемы. Все рассмотрения в этом пункте будут проводиться для задачи и" (х) + / (к) = О, 0 < х < 1, и (0) = и (1) = О, (32) Пример 1. Пусть на отрезке (О, 1) введена равномерная сетка йь. Рассмотрим следующую разностную аппроксимацию задачи (32): у„„+/(х)=0, хан в!,, и =у =О. (33) 11 з а мАтемАти'1есхий АппАРАт теОРии РАзностных схем 57 Умпожим уравнение (ЗЗ) на йу и просуммируем полученное равенство по узлам сетки ыА1 и-1 и-1 Х (ух ) у Ь +,~~з ~1у Ь О (34) Перепишем (34) в терминах скалярных произведений (ухм у)+(1, у)=О.
(35) Преобразуя первое слагаемое в (35) с помощью разностной формулы Грина (8"), находем — (у., у,1+(~, у) = О или !!ух)!1=(1, у). (Зб) Скалярное произведение (), у) оценим при помощи неравенства Коши — Буняковского (12) !У, у)!(!!~!!!!у!! Воспользуемся леммой 3: !!у!!()(уД/$'8. Отсюда и из (Зб) находим; !!у;1!-.-=+~ Применяя затем лемму 1, получаем априорную оценку для ре- шения задачи (33) !! у !!с (!! 1" !!/(4 ф' 2). (37) (ЗО) Это неравенство используем для оценки скорости сходимости схемы (33). Напишем сначала уравнение для погрешности схемы (33): г = у — и, где и — решение задачи (32), у — решение разностной задачи (33). Подставляя у = г + и в (33), получим для г задачу ге, + ф (х) = О, х ее 1АА, г, = гх = О.
(38) Здесь ф(х)=и„-,+)(х) — погрешность аппроксимации схемы (33), которая, как известно, при достаточной гладкости и(х) есть величина порядка 0(Ь'). Отметим, что для функции г(х) мы получили задачу того же типа, что и для функции у(х). Поэтому для г(х) справедлива оценка (37); !! г !!с (!! ф /! /(4 )/2). Но ф = 0(йз) и, следовательно, !! г ))с - )! у — и )!с < Мл' где 114 — положительная постоянная, не зависящая от шага Ь. Гл. с пРГДВАРнтельныГ сведения На основании данных выше определений (см. 5 1) из (39) следует, что решение разностной задачи (ЗЗ) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (32) со скоростью О (йэ) .
Мы получили оценку скорости сходимости для очень простой задачи. Аналогичный результат для этой задачи можно было бы получить и с помощью ряда других методов, быть может даже более простых. Однако ценность приведенного здесь метода энергетических неравенств состоит в том, что он без существенных изменений переносится на многомерный случай, на случай переменных коэффициентов, на разпостные схемы для параболических и гиперболических уравнений и т. д, Покажем, например, что этот метод без всяких затруднений дает нужный результат для случая неравномерной сетки.
При мер 2. Пусть на отрезке [О, !] задана неравномерная сетка в„. Задачу (32) на такой сетке можно аппроксимировать следующим образом: Ч- +1(х)=0, хе=й,, д =у,=0 (относительно обозначений см. 5 1, п. 3, пример 1). Для задачи (40) можно получить априорную оценку того же типа, что и оценка (37) для задачи (33). Но в этом случае такая оценка дает не совсем верное представление о скорости сходимости схемы (40). Было показано Я 1, п. 3), что погрешность аппроксимации $ = пхя + ) схемы (40) есть величина 0(а;) и !! ф!!(Мй„„„.
(41) Оценка (41) указывает на понижение порядка скорости сходи- мости схемы (40) на неравномерной сетке 4ь, по сравнению со схемой (ЗЗ) на равномерной сетке. Однако выше говорилось, что если погрешность аппроксимации оценивать не в сеточной норме Еь а в некоторой специально построенной норме !! !1~ м, то погрешность аппроксимации на неравномерной сетке будет иметь также порядок 0(Ь'). Именно, надо взять норму гл-~ ~л — ~ ',э~м !!ф!1, „=~ Х й,~ Х п,ф,) ~ = О(йа). Из сказанного ясно, что теперь при выводе априорной оценки для задачи (40) нужно оценивать правую часть в норме !! !!<,>.
Получим эту априорную оценку. Умножим уравнение (40) на йнл; и просуммируем по узлам сетки гаа. В терминах скалярных произведений полученное выражение можно записать в виде (уз,, р) +((, р), =0. (42) $ Е МАТЕМАТНЧЕСКИИ АППАРАТ ТЕОРНИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ в9 Первое слагаемое в (42) преобразуем по разностной формуле Грина (8) (рх, и„-] =((, р). (13) Введем в рассмотрение функцию т! (х), определенную следую*щим образом: т1, !=)Р 2=1, 2, ..., лт — 1, т1„=0. (44) Решая задачу (44), получим АЯ вЂ” т1(х;) = ~2 12122. (45) Скалярное пропзведеяне в правой части равенства (43) преобразуется на основании формулы суммирования по частям (7): (т, Р).=-(Ч,, Р),= — (О, Р,-). (46) В силу неравенства Коши — Буняковского имеем ~ (!".
р), ~ = ) (и, и„) ~ ( ~! ч !1'й и.-1~ (47) Подставим эту оценку в (43) и сократим обе части неравенства на !/уД: ! х-! 7х-! 'т21'а ((„1~(~~п!1=~~~' й,~Х в,),) ~ =~~1~~, „, На основании леммы 1, !!у!!с(()уД,!2 и, следовательно, !1у1С(2~!у~!( 2! (48) Тев! самым желаемая оценка установлена. Рассмотрим теперь, как обычно, погрешность решения х = = у — и, где у — решение задачи (40), а и — решение исходной дифференциальной задачи, (32). Подставляя у = г+ и в (40), получим для г задачу хх~+тр=О, хан ЙА, г Р х =О. Применяя к задаче (49) оценку (48), заключаем !!а!)С ~(0 6!!тр!!! 2> Но мы уже видели раньше (см.
9 1, п. 3), что !!тр!1! 2!<Мйт, где й= !пах Л2, !~!~У и, следовательно, схема (40) на произвольной неравномерной сетке йл сходится со скоростью 0(йт). гл. ь пеедвкеитвльныв сведения 60 5. Принцип максимума. Для оценки решений некоторых разностных задач оказывается возможным использовать принцип максимума. Мы докажем сейчас принцип максимума для оператора Лу=(Лу)~— - А;у;,— С,у,+В,у;ч.ь 1=1, 2, ..., М вЂ” 1, (50).
где А~>0, В(>0, С;) А~+Во (51) Более общие формулировки принципа максимума содержатся в гл. 1Ч. Теорема 1, Пусть выполнены условия (51). Тогда, если (Лд) г= О, ((Лу); <0) для всех й то функчия уь отличная от константы, не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрииательного) значения в точках 1 = 1,2, ... ..., й! — 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что в некоторой внутренней' точке достигается положительный максимум. Тогда, так как у; Ф сопз(, найдется точка ! = !ь, в которой у,. = гпах у,. = М, > О, о<г=-н' ' а в одной из соседних точек, например, в точке ! = !ь — 1, выполняется строгое неравенство д,, <Мгт Запишем теперь оператор (50) в виде (Лу),. = В; (у;~, — д;) — А, (у~ — у;,) — (С, — А, — В,) уи В точке ! = !ь из условий' (51) следует неравенство (Лд),.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
