Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 14
Текст из файла (страница 14)
! 1=1, ..., Л! — ! с краевыми условиями уг!' = и!+', у'+' = иг+', "О ! ' ун 2 Решение этой системы находится методом прогонки (см. гл. [, $ 1, п. 9). Укажем еще две схемы. При а = ! имеем схему с опережением или чисто неявную схему и!+' — у,' ' = Луг+' + фг, (9) При а = 0,5 получаем шесгигочечную симметричную схему У,''+' -У( = —,Л(у!+'+ у()+ р,' (10) (называемую иногда схемой Кранка — Никольсона). Перейдем к выяснению вопросов о погрешности аппроксимации и точности схемы с весами (4).
3. Погрешность аппроксимации. Чтобы ответить на вопрос о точности схемь! (4) — (6), нужно сравнить решение у=у! задачи (4) — (6) с решением и = и(х, 1) задачи (1). Так как и(х,1) — непрерывное решение задачи (1), то положим и! = =и(хи г,.) и рассмотрим разность г! = уг — ий Для оценки сеточной функции г( на слое выберем некоторую норму !! !~, например, одну из следующих норм: гн — ~ '!д !!г!!=!!г!!с= шах !г,1, !)г)1=!;~~г!Л) ос <я ! ! Перейдем к безиндексным обозначениям, полагая (см. гл. 1, $ 1, п. 2) у!!=у у!"=р у,=(р" — у) Перепишем задачу (4) — (6) в виде у, = Л (ау + (1 — о) у) + ф, (х, 1) ы аз„ у(0, 1) и,(1), у(1, 1) = из(г), 1ен е„ (П) у(х, 0)=ич(х), хе= йа. 74 ГЛ.
11. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ы Найдем условия, определяющие г = у — и. Подставляя у = г + и в (П) и считая-и заданной функцией, получим для г задачу г,=Л(ог+(! — О)г)+ф, (х, !)~ вз„ г(0, !) г(1, !)=О, !Енв„ г(х, О) = О, х ее вх, (1П) где Разложим и = и(х, !) по формуле Тейлора в окрестностя точки (х1, Ц = !!ФЬЮ,з). Пользуясь формулами й О 5 (й+ и) + О 5(й — и) = О 5(й+ и) + О 5ти„ и = 0,5 (й + и) — 0,5тиь ой + (1 — О). и = 0,5 (й + и) + (о — 0,5) ти1, перепишем ф в виде ф = 0,5Л (й + и) + (о — 0,5) ТЛН1 — и1 + ф Подставляя сюда выражения Ли=ми+ —, и!1+ О(й ) =! и+ —,!~и+ О(Ь), й = й + 0,5ти + — и + О (т'), 8 т и =й — 0,5ти Ф вЂ” й+ О(т'), 0,5'(й+и) й+ — и+ О(т'), и,= и+ О(т'), дги Ли=в дх' ' получим ф = ((й — и+ ф) + (о — О 5) тЬи + — Тзй + О (т' + 61).
(12) ф = Л (ой + (1 — о) и) — и, + 1р (11) — погрешность аппроксимации схемы (П) на решении и = и(х, !) уравнения (!). Напомним определение порядка аппроксимации (см. гл. 1, 5 1, п. 3). Схема (П) аппроксимнрует уравнение (1) с порядком (гп, и) илн имеет аппроксимацию О(Ь""+ т") на решении и = = и(х, !) уравнения (1), если Цф(х, !) ЦВ> — — О(!1'"+ т") или ЦфЦИ1 ~М(л™+ т") для всех ! сев„где М вЂ” положительная постоянная, не зависящая от 6 и т, а норма Ц ° ЦИ1 — некоторая норма на сетке вь. Перейдем к оценке порядка аппроксимации схемы (П), предполагая, что и = и(х, !) имеет нужное по ходу изложения число производных по х и й Будем пользоваться обозначениями: ди, ди й= ш и = д й=и(х1, !!+ОЬ) !.
схемы для РРхвнення теплопРОводностн 75 Отсюда видно, что ф=(о — 0,5) т/.и)+ 0(йо+ т') при 4р=/ /(х, 1!+ол), так как и= /и+ /. Учитывая, что /и-/ои+ Ц = и!'1+/ч и /.'и= йи — Ц, из (12) получаем ф = (1Р— /) + ~(о — 0,5) т+ — ~ йи — — Ц+ 0 (64+ тх), (13) Прнравняем нулю выражение в квадратных скобках и найдем ! Ь4 о= —,— — =о..
2 !2т (14) Прн этом значении о = О. и ф, равном схема (П) имеет аппроксимацию 0(А!+ то), т. е. 4р = 0 (54+ то). Порядок аппроксимации схемы не нарушится, если мы заменим /" выражением /,„=Л/, т. е. положим ф=7+(/1'Л/)/12 или 1Р! = — /!+ЧЯ .1- — (/!+Чз .1- /т+~!4) (15) Эта формула удобней для вычислений. Пусть С„(0) — класс функций, имеющих т производных по х и и производных по 1, непрерывных в 5. Иэ формул (13) и (!4) ясно, что схема (11) имеет аппроксимацию 1) 0(п'+ то) при о = 0,5, ф = / нли р = /+ 0(й'+ то), если и~С~о, 2) 0(й'+т) при любом о ~ 0,5, 1р = /+ 0(/4'+ т), например, 1р = / нли 4р = /, если и ~ Со, 3) 0 (й' + то) при о = о„и ф, заданной формулой (15), если и ен Со — 64 Схему (П) с О=о„и ф=/+ —,Л/ называют обычно схемой повышенного порядка точности.
Выбор правой части ф должен быть подчинен требованию соблюдения порядка аппроксимации прн данном О. Так, прн О = 0,5 можно полагать ф равным ф = 0,5(/+ /), ф = / и т. д. Из (13) видно, что погрешность 0(6'+ т') может достигаться и при о+ 0,5, если положить о - 0,5 + 6'а/т, где а — любая постоянная, не зависящая от й и т. В этом слу- чае о зависит от Ь и т. Произвол в выборе а ограничен условием устойчивости схемы (достаточно взять а) — '/4, см. п. 4), уа гл <с, уРАВ<свния с постояно!ыми коЗФФ<<цивнТАМИ 4.
Устойчивость по начальным данным. Исследуем устойчи- вость схемы (П) методом разделения переменных (при однород- ных граничных условиях). Пользуясь тождествами у=у+ сус, оу+(1 — о)у=у+отус, перепишем схему (П) с однородными краевыми условиями в виде у, — отЛУ, = Лу + <р, (х, !) о= о>„ у(0, !) =У(1, !) =О, <~ о>„у(х, 0)=-ио(х), хо= <оо. ! (16) Схема (16) устойчива, если для решения задачи (!6) верна оценка !! у (!) !!И> ~( М, !! по !!< и + Мо тах ~! <р (У) Ц<о>, Ф е= со„(17) о<с <с где Мс, Мо — положительные постоянные, не зависящие от >с и т, )! !1<н, !! !~<о> — некоторые нормы на слое (на сетке ыс,).
Пусть ч> =. О. Тогда оценка ~! У (!) ~!<с> ~< Л!< !! ссо 1!«>, ! ~ о>„ (18) выра>кает устойчивость схемы (!6) по начасьньыс данным, Если у(х, 0) = О, то неравенство >)у(!) !!И> (Мо снах !! <р(!') (!<с> (19) о< с'< с означает устойчивость схемьс (!6) по правой части. Оценка (!7) для решения задачи (16) выражает устойчи- вость схемьс (!6) по начальным данным и по правой части.
Решение задачи (16) представим в виде суммы у = у + у, где у — решение однородного уравнения Ус — атЛус=ЛУ У(0, с)=у(1, с)=0, у(х, 0)=ио(х), (1Оа) а у — решение неоднородного уравнения с начальным условием у (х, 0) = 0: ус — отЛУ,=ЛУ+<р, у(0, !)=У(1, !)=О, у(х, 0)=0. (166) Для всследования устойчивости схемы (!6) по начальным данным надо найти оценку для решения задачи (16а). Для этого воспользуемся методом разделения переменных и получим оценку (!8) в сеточной норме Т.о(о>о): н-с !1у(!<с>=1!у!1 где !!у!1='у(у у) (у )=Хусо<Л Будем искать решение уравнения (1ба) в виде произведения функций, одна из которых Т = Т(<<) зависит только от ! = (ь а вторая Х = Х(хс) — только от х = хь полагая у(х, !) = = Х(х)Т(!).
Подставим зто выражение в (16а) и учтем, что Лу = 7'ЛХ, у =Хть 4 !, схимы для гьлвнвння твплопвоводности 77 Тогда получим т = Т (1)ы), т = Т (7!), т- т л)( = — = — л, т(от+(! — а) т) х где Л вЂ” параметр разделения. Отсюда находим ! — (! -и) тх Т=дТ, где д= рассмотренную в гл. 1, 5 2, п. 2. Там было показано, что эта задача имеет нетривиальные решения — собственные функции Х'"! (х) = )~ 2 з)п п)гх, )г = 1, 2, ..., М вЂ” 1, соответствующие собственным значениям Ль=урз1п' р 1 а=1,2,..., У вЂ” 1, 0<Л!«... Лх 1, 4 .з паа 4 яа Л, = — соз2 —. и-! а2 з 4 .зла Л вЂ” —,юп— ти 2' Собственные функции (Х<~!) образуют ортонормированную систему 1, Ф! =Фь (Хиь!,Х )=бам=1 ( О, А!Ф)е.
Имеет место равенство Парсеваля М-! 1Л =Д)' (20) где )ь — коэффициенты разложения любой сеточной функции !'(х), заданной на еэ„и равной нулю при х= О, х= 1: М-! 1(х)= ~ (,Х"!(х), (ь=((, Х!~!). Таким образом, задача (1ба) имеет нетривиальные решения у!ю — — Т,Х' ' Ф О, где Т, определяется из уравнения (й! Т = д Т, ил!в Ть!4! =д,Ть!=...
дь!+!Т', (21) ! — (! — и) тхь ! + атхь Ть — произвольная постоянная. о Для Х получаем разностную задачу на отыскание собственных значений (разностную задачу Штурма — Лиувилля): ЛХ(х)+ЛХ(х)=0, 0<х=й<1, Х(0)=Х(1)=0, гл, 11. уРАВнения с постоянными коэФФИИ14е»!тАмн и гармоника устойчива. Если все !дд)(1 и, следовательно, !!у1~,)(<!)д',,)), то будем говорить, что схема «устойчива на каждой гармонике». Выясним теперь, при каких значениях о выполняется условие )дд~ (1 или — 1 (ц»(1, обеспечивающее устойчивость схемы на каждой гармонике.
Из формулы дд = ! — тЛ»!'(1 + атЛ») видно, что дд (1, если 1+ атЛд ) О, т. е. о > — 1/(тЛ»). Требование уд )~ — 1 или 2+(2е — 1)тЛ» )О 1+ атЛ» выполнено нри 2+(2а — 1)тЛ» )~ 0 или ! 1 с .,Ф вЂ” — —. 2 тЛ»' Условие 1+ отЛ» ) 0 при этом автоматически выполняется. Так как 4 1 1 Ь» Л <Л„, С вЂ” то — — < — — ( —— 1Н ' тЛ - тЛ » и-1 4т и, следовательно, условие 1чд~ (1 будет выполнено для всех 1=1,2...,, )У вЂ” ! при 1 Ь» о — — — =а.
2 4т (23) Таким образом, все гармоники у1»! — — Т»Х1»! устойчивы при одном и том же условии о )~ ом Покажем, что из устойчивости схемы (!ба) на каждой гармонике (из спектральной устойчивости) следует ее устойчивость в сеточной норме Ьз по начальным данным у(х, 0) = и»(х), где Решение уравнения (16а) вида у1»1=Т»Х'»! называют гармоникой номера й. Оно является решением задачи (16а) с начальным условием и (х)= Т',Х!»'(х), Выясним, при каких условиях устойчива каждая из гармоник у1м при й = 1, 2, ..., 1т' — 1. Из формул д1+' =Х1»1Т( ' =д Х1'Т, д1+' =д д1 1»! » !»! » !»1 (22) видно, что прн ~дд!~~ 1+ е, где е = сонэ!> 0 не зависит от й и т, имеем 1! у~+ ! ~ = ( д„~ ~( д(, (! ) (1 .! е) !! у1 (!» (1 ! е)1+ ! ! д» ~~ прп т- О, т.
е, задача неустойчива. Если (!цд) (1, то((у!»,1 нс возрастает с ростом 1(т- 0) при фиксированном ! = 1т: 1 у1+ ' ( < ~~ у! (~ <... < '1 дд ~~ 41 4 !. схемы для уРАВнен1!я теплопРОВОдности 79 ие(х) — любая сеточная функция, заданная при 04;.х (1 и равная нулю при х = О, х = 1. Общее решение задачи (!ба) ищем в виде суммы частных решений вида (22), полагая л-! л-! л ! д=,~~ й!А! = „')~~ тех!~1, так что !!ф(1е '~~ тзы А-! А ! А-! Подставляя сюда ТА = г(АТА и учитывая (20), находим л-! У = Х ЧАТАХ! ' А=! А-! л-! 1! р ~!' = ~ г)'-,'Т' (~ гп ах д' ~~'.~ Т', = шах дзь 11 у !):. А-! А А-! А Если п)ом то шах! дА)~(! и 1)у!!(1)у!) или 11 у!+' 11 (!1 у' 11 (...
< 11 у~ 1! = !! и, 11. Таким образом, для решения задачи (!6а) верна оценка 1(у~!1~(!!но!1 (1=1, 2, ...) при о)о„(24) т, е. схема (!6) устойчива в сеточной норме Ьз(е!А) по начальным данным при ОР'- Оя Разностная схема называется условно устойчивой, если она устойчива лишь при наличии связи между т и Ь и безргловно устойчивой — в противоположном случае. Схема, устойчивая при любых т н Ь, называется абсолютно устойчивой (имеются схемы, устойчивыс при достаточно малых Ь и т, Й (Й,, т ~,. т,; эти схемы не являются абсолютно устойчивыми, хотя могут быть и безусловно устойчивыми). Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Явная схема (о = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
