Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В процессе счета надо хранить в оперативной памяти ЭВМ значения у и у для двух предыдущих слоев. В случае двухслойных схем достаточно запоминать лишь один предыдущий слой. Устойчивость трехслойных схем доказывается в гл. Ч1. Приведем лишь достаточные условия устойчивости: о>(/~ для симметричной схемы (63), аЪО для схемы (64). у; Л (ор+(1 — 2о)у+ау)+ф, (=Л(, где + У,-В(у Лу=" ода ух+ рзу ока ф+ /(О 1) + и( О) 0,56 Так же, как и в случае двухслойных схем, можно построить разностные краевые условия повышенного порядка аппроксимации для граничных условий третьего рода (50), (54). Для симметричной схемы (4) краевые условия порядка аппроксимации 0(тх + Ьз) имеют вид у = Ль (ад+ (1 — 2а) у + ау) + ф+, ( = О, Выпишем, далее, разностные краевые условия третьего рода для несимметричной схемы (64): р,(у,+отуп) =А+у+ ф+, !=0, р (у,+ уп)=А у+ф, !=7У', 1 (67) Эти краевые условия имеют аппроксимацюо 0(т+ Ь') при лю- бом о, если положить р, =р! =1, гре =1(0, 1+т)+ !1( +т), ф =)(1,1~-т)+и'( +~).
Если при этом о = 0,5, то краевые условия (67) имеют аппроксимацию 0(т'+ г!!). Наконец, если положить + р!=1+ рг=1+— АР, АР г !гт ' з ' з ' ф'=ф+ о",л, ф- = ф+ —,",„, ф = ((х, 1+ т) + —,' Д" (х, 1+ т) + ((х, (+ т) ), ы т ! = р, (1 + т) + — „(!х ! (1+ т) + 1' (О, 1+ т) ), /д т =и!((+т)+ —,, (р!((+т) — !'(1, 1+т», то получим схему (64), имеющую аппроксимацию 0(т'+ й'): $2. Разиостиые схемы для уравнения колебаний струны 1.
Постановка разностной задачи и вычисление погрешности аппроксимации. Рассмотрим уравнение колебаний однородной струны (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский 16)); —,, =а' — в+)!(х, 1), 0<х,<1, г!>О. д!! дх! Вводя безразмерные переменные х = х!/1, 1 = а(!Д, перепишем это уравнение в виде —,— —,+1(х, 1), 0<х<1, 0<1(Т. (1) В начальный момент заданы условия а (х, 0) а~(х), д! = ао(х), (2) вг гл, н. ТРАвнения с пОстОянными коэФФициентАми и (начальное отклонение ио(х) и начальная скорость йи(х) ).
Концы струны движутся по заданным законам и (О, !) = )»! (!), и (1, 1) = р» (1). (3) Введем в области»» =(О (х (1, 0 (Г ( Т) прямоугольную сетку й!7и (по аналогии с 9 1, и. 2). Так как уравнение (1) содержит вторую производную по 1, то число слоев не может быть меньше трех. Пользуемся, как н выше, обозначениями РР! . !! У вЂ” У У вЂ” й У=У ° У=д У=У У!=' ' т ! У»= ! У=У» у! — у! у — 2у+ у ди т у7-!-у! у у ! у = Заменим производные, входящие в уравнение (1), по формулам д'и д'и д»! Н дх! и, — Ли=и, ! !р. »х' Рассмотрим семейство схем с весами дп —— Л (о!) + (1 — 2о) д+ од) + ф, !р =- ) (х, »!), д! =)»! (1), УА = )»7(() У (х, О) = из(х), д! (х, 0) = и»(х) ) (4) где й,(х) определим ниже. Краевые условия и первое начальное условие и(х, 0) = пи(х) на сетке йи, удовлетворяются точно.
Выберем й,(х) так, чтобы погрешность аппроксимации й(х) — ' =й(х) — йи(х) была ди(х, О) д! величиной 0)т»). Из формулы и,(х, 0) = й(х, 0)+ 0,5тй(х, 0)+ 0(т») й„(х) + 0,5т ( и" (х, О) + ) (х, О) ) + О (т') = = й, (Х) + 0,5т (ии (Х) + ! (Х, 0) ) + О (т7) видно, что й(х) — и,(х, 0) = 0(т'), если положить й,(х) = й,(х)+ 0,5т(ии(х) +1(х, 0)). ' (5) Таким образом, разностная задача (4) — (5) поставлена. Для определения у = у' получаем из (4) краевую задачу !+! оу (У»+, '+У+!) — (1+2оу)д,+'= -У„О<.<Л, д, =рп д,=н„ у = т/Й, Р! = (2у! — д! ') + т' (1 — 2а) Лд! + от»Лу) ' + т»!р, которая решается методом прогонки. Прогонка устойчива при о>0 (см. гл. !; и 1, п.9).
Вычислим погрешность аппроксимации схемы(4)приф=)(х,(»). Пусть у — решение задачи (4), (5), и = и(х, ») — решение задачи Ц $7. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ СТРУНЫ 93 24 ГЛ, !!. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ н (1) — (3). Подставляя у »+и в (4), получим аи Л (ой+ (1 — 2о) е+ ой) + рр, ар —— »„=О, х(х, О)=О, х!(», О) т(х), где (6) т. е.
рр = Ли+ отрЛии + ф — и, = Е и 4 отрйй + ! — й + 0 (тр + Ь'), (7) ф = 0(т'+ Ьр) прн любом значении постоянной о (о не зависит оттий). Выписывая в (7) члены 0(Ь!), получим А! !Р =(!р — !)+ От!Ей+ — ЕРи+ 0(Ь'+ т') = !2 А! 1 !2! =(!р — Е)+ (от'+ — 1Ери+ от Ц+ 0 (Ь'+ т ). Отсюда видно, что при о = — — + д, ф = ( — ОТЕЛ( А! !2!' (8) схема (4) имеет повышенный порядок аппроксимации, 0(ЬР + т'). Здесь д — постоянная, не зависящая от т и Ь, которая должна выбираться так, чтобы схема была устойчивой (достаточно потребовать о ) О, см. п. 2).
Краевые условия третьего рода — ()!и(О,1) — р!(1), — — йри(1, 1) — р,(1) аппроксимируются следующими разностными уравнениями р,уп Л+ (оу+ (1 — 2о)у+ оу)+ !р+, ! = О, рруп = Л (ОУ!" + (1 — 2о) у+ оу) + ф, ! = д!, где рх+ рру 0,56 Л 05А рр = Л (ой + (1 — 2о) и + ой) + !р — ип — погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении и = и(х,(), у = йр(х) — и!(х, О) — погрешность аппроксимации для второго начального условия у! й,(х). Из предыдущего ясно, что у = 0(т'). Учитывая, что й = и + ти!, й = и — ти!, имеем ой + (1 — 2о) й + ой = и + о с'ии, 2! 4 2. РАЗНОСТ!!ЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ.УРАВНЕНИЯ КОЛЕВАНИН СТРУНЫ 95 При этом погрешность аппроксимации краевых условий есть ве- личина 0(т'+ йз), если ф=)(х, !) р,' рз 1, т!=р,(!), Тз=рз(!).
Ь» Если же о — —, + о, о сонэ!, и р, 1+ — ', рз !+ — ', ф !(х, !) — Т»о!" (х, !), »2 л Р! (!) + Е (!А! (Р)+ ! (О !)) У2 !22(~) + Г! (!»2(') ! (1 !) )~ то погрешность аппроксимации есть величина 0(т'+ Й»). 2. Исследование устойчивости. Перейдем к изучению устой- чивости схемы (4) по начальным данным (при однородных краевых условиях и нулевой правой части уравнения).
Для это- го рассмотрим задачу уя = Л (ау + (1 — 2о) у+ оу) = Лу!'!, (4а) у» = уу = О, у (х, 0) = и, (х), у, (х„О) = й, (х). ! Ее решение будем искать методом разделения переменных. Для этого, по аналогии с 5 1, п. 4, ищем частные решения вида у(х, !) = Х(х)Т(!) Ф О. После подстановки у = ХТ в уравнение (4а) получим лк т — = — = — Л. к т!Р! (9) Отсюда и нз краевых условий у» = ун = 0 получаем для Х(х) задачу на собственные значения ЛХ + ЛХ = О, Х (0) = Х (1) = О, Х (х) Ф О.
Она имеет решения Л» —,, 92п2 — > Х (х) 72 зш нйх. 4 . 2 я»А !»! Из (9) для Т»(!) получим разностное уравнение второго порядка (Т )и+ Л»Т1'! = О, илн (1+о22Л») Т» — 2(1+(о — 0,5) ТЛ») Т, +(!+от»Л») Т» — -О, которое перепишем в виде Т» — 2(1 — а»)Т»+Т» О, а»= (! 0) Решения этого уравнения ищем в виде Т» Т»(!!)=д»!. Для о из (10) найдем квадратное уравнение д2 — 2 (1-а) у+1=0 (индекс й временно опускаем). Его корин равны о!,2 1 — а л- ~ )'а~2а.
Если 0<а<2, то корни дь2 1 — а ~ ! '2/а(2-а) 96 ГЛ, П. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ !в Пь!'1.В В жв Ввт 1 В, мв -1 —,. 1»п" 1 !в — ъ!. Тогда получим д~ !=е!Фй, д~,!= в !Фй. Общее решение уравнения (10) имеет вид Т,(1 ) — Сй(д!!й!) + 0 (д!й!) — Айсоз йф + В ып/фй, где А„н Вй — произвольные постоянные. Решение задачи (4а) ищем в виде суммы частных решений А1-1 у' = ~ (Ай соз/фй+ Вйз!п/фй)Х' !(х). (11) й=1 Пусть ирй и йвй — коэффициенты разложений и,(х) и й,(х): и-1 !В-1 и,(х) =,«! и,йХ' !(х), й,(х) = ~в йвйХ!й'(х). (12) й-! й-! Потребуем, чтобы сумма (11) удовлетворяла начальным усло- виям ур=и,, у',=(у' — уо)/т=й,(х).
Тогда для определения А и Вй получим условия: В1П фй В,— =й„, сов ф — ! А" — ирй Ай + й Отсюда находим й ! сов ф Ай=ивы Вй= мп фй т ой+ мпф ой' й (13) Подставив Ай и Вй в (11), после очевидных преобразований имеем и-! ~в / сов (! — О,З) 1р„тип)фй сов О,вф Ой ' Мп ф Вй/ й ! й й Получим сначала оценку !!у~(! для схемы (4а) при о = О, т. е. для схемы уи Лу, у, у, О, у(х, 0)=и,(х), у,(х, 0)=й,(х). (15) При О=О имеем ай=0,5тв1вй Ры созвРй=! — Рй, з(пфй='У'Рй(2 — Рй).
(14) (17) Потребуем, чтобы шаги сетки сойв удовлетворяли соотношению т' ! (16) где е>0 — любое число. Тогда рвй< й+в /в-1> 2, ° °, Л! — 1, и, следовательно, сов 0,5!рв = )у1 — 15„/2 ) 1/ -;,+е (18) Далее, 5!и !р 2 вЬ 0,5!р„ 251п 0,5!р„ / е т т "соз0,5фв) т у' !+е ' н, так как у' 2Р )! 2(! — сов !рв) 2 5!п 0,5!РЕ то справедлива оценка 5!и!р / е — ) )/ Ав —. -) в,.„.. Из (14) следует неравенство З-1 ! А!-1 205 (/ 0,5) фв !м ест т 5!и /фв !м ~ 5-1 Ф-1 (19) подставляя в которое оценки (18) н (19)), имеем !!'!«У —.'(!.
~~+(2,~~!') ). Заметим теперь, что выражение (~ !д.в)в есть не что иное, как «негативная» норма (норма в НА !) !!йо!!А-! —— (А 'йо йо) ' где Ау = — Лу = — ув„. Действительно, З-1 21 йо =,~> йоАА '!('" = 5-1 н, следовательно, (йов)2 А (.4 'йо йо)= ~ А ! 21 $2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 97 да гл. и. жглвпвния с постоянными коэеенцивнтями ьо Итак, если выполнено условие (16), то для схемы (!5) справед- лива оценка !! у/|!» ~/' — ",' (!1 по 1!+!! йоЦ- ). (20) Эта же оценка имеет место и для схемы (4а), если потребовать, чтобы параметр о удовлетворял условию /+е /ь' (21) (22) краевым условиям Уо' =Ух/ =О, (24) начальным условиям уг+ь/' у/',/', у/'+ь /' У ' =О, У/' — У вЂ” У Ф, (25) т т где Ф/ выбирается так, чтобы удовлетворялось неоднородное уравнение (46).
Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция Ф/. Из определения У/'/следует, что /-! у/// = — У ' + х тУ// /+/. / %' /. г /-о /-/ Лу/+ь/ ~ Л(,/,/1/оь /-о где е ) 0 — любое число, Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше до- казательстве заменить всюду !ь» на О,вт'х не ь ьоееа Для исследования устойчивости схемы (4) по правой части применим при/шип суперпозиции.
Рассмотрим задачу дч=Лдь ь+ р, уо = уя = О, у(х, 0) = О, р/(х, 0) = О. Ее решение будем искать в виде / у/ ~я~~~ У/ /' /-о где У/'/ как функция ! прн фиксированном /' удовлетворяет однородному уравнению 1// =Л(аУ ' +(1 — 2о) У ' +оУ' ' ), 0-../'</, (23) 21 4 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕННЯ КОЛЕЕ»НИН СТРУНЫ Зз Подставим эти выражения в (23) и найдем у!»К1-отЛу!»к!=,р1, (26) откуда получаем уравнение для Ф=Ф = Усе ' ~/т Ф вЂ” от".ЛФ = ф, 612 = Фу — — О.
(27) Перейдем теперь к получению оценки реп!ения у! задачи (4б) через правую часть ф. Пусть выполнено условие устойчивости (21). Тогда для решения задачи (23) справедлива оценка (20), которая в данном случае имеет вид Поэтому из (22), используя неравенство треугольника, получаем 1-1 ~~р ~~~у' — '.",'~~~ул" '1,—. ! -о Оценку для 1У1+'! '1 -~ получим из уравнения (27). Разложим Ф и ф по собственным функциям (Х1Ч Л-1 Л-1 Ф= Х Ф,Х'", ф'= Х ф,Х!".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
