Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если Ь(х) имеет разрыв первого рода в точке х = $, так что *) Мы пользуемся обозначениями: Сьо]а, Ь] — класс функций, имеющнхп непрерывных на отрезке а ( к( ь производных, Яоч]а,ь] — класс функция. кусочно-непрерывных на ]а, Ь] вместе с производными до л-го порядка включительно, Ч„не~[а, Ь] — нласс кусочно-непрерывных иа ]а, Ь] функций. 106 ГЛ, Н1, ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [л] = и(5 + 0) — Й(е — 0) Ж О, то при х = $ ставятся условия сопряжения: [и]=0, [йи] 0 при х=в (температура и и поток ( — йи') непрерывны).
При х = 0 и х = 1 могут быть заданы краевые условия Ьи' =[!1и- !А1 при х = О, — йи' =[!эи - !Аэ при х = 1. Если, например, р1) О, то это условие третьего рода, при !!1 = = 0 — условие второго рода. Возможны различные комбинации условий первого, второго и третьего рода (например, при х = = 0 — условие третьего рода, при х = ! — условие первого рода и т. д.). Мы проведем основное изложение для первой краевой задачи. 3. Трехточечные схемы. На отрезке [О,!] введем равномерную сетку (3) йь=(х1=1Ь, 1'=О, 1, ..., й') с шагом Ь = 11Ж; обозначим гвь = (х1 = (й, 1 = 1, 2, ..., )У вЂ” 1), у1 — — у(х1) — сеточная функция, заданная на йь. При написании схемы, аппроксимирующей уравнение (1), возьмем трехточечный шаблон (х1 1, хь хьь1).
Любое трехточеч- ное разностное уравнение на этом шаблоне можно записать в виде а,у, , — с1у1 + Ь1у1+1 = — Ьэгр1, 1' = 1, 2, ..., й! — 1, где аь сь Ь1 и 1р1 зависят от шага Ь, или в виде — 1Ь, „— а; „) — г!1у1+ р,=О, "11.1 "1 Ь! ' где г(1 = (с; — Ь1 — аг)/Ь'. Коэффициенты аь Ьь с(1 и правая часть р1 пока не определены. Пусть на шаблоне — 1 < з < 1 (т. е.
т1 = и, = ! ) опреде- лены функционалы АА [у (з)] ВА [й (з)] Ець [у (з)] ул [[(з)] для любых функций Й (э), д(з), ~(з) из ЯН1, зависящие, вообще говоря, от параметра й. Если коэффициенты разностной схемы (2) при любых й(х), д(х), [(х) ~ Я<м во всех узлах х1 произ- вольной сетки ыь вычисляются по одним и тем же формулам а., = А" [Ь(х1+ ай)], Ь, = В" [й(х1+ ай)], г(1 = В" [у (х, + зй)1. 1р1 = Г У (х, + зй)], то схема (2) называется однородной $ ь схемы для стАциОнАРного уРАВнения 107 Отсюда видно, что, если, например, задан функционал АА!Й(з)1, то для вычисления аг надо положить формально Й(з) = Й(хг + зй) и т.
д. Если схема (2) однородна, то индекс ! можно опустить и (2) зависать в виде — „(Ьу„— ауг) — ггу = — ф, у (О) = ин у (1) = и„(4) где а = а (х), Ь = Ь (х), у = у (х), х = гй ен в„, у =(у(х+й) — у(х))/й, у2=(у(х) — у(х — й))/й. Семейство однородных схем задано, если задано семейство ша- блонных функционалов А", В", ОА, ЕА. Требования аппроксима- ции и разрешимости задачи (4) накладывают ограничения на произвол в их выборе. Вычислим локальную погрешность аппроксимации схемы (4): гР(о) = ~ — „(Ьо„— ав„) — гго+ ф) — [(Йв')' — до+)), где о — произвольная достаточно гладкая функция, Й, г), 7 также имеют нужное по ходу изложения число производных. Разлагая в в точке х по формуле Тейлора, найдем Аг ог = в~+ О,бйо + о"'+ 0 (йз) Аг о- = о' — О,бйо" + — о"'+ 0 (йз), 2р(о) =( — „(Ь вЂ” а) — Й') в'+( — — Й) в" + й ~гг ! (( )о ! (ф г) !.
О(йг) Требование гР(о) = 0 (й') будет выполнено, если Йг(.) ! 0(йг) а +а Й(,) 0(йг) г((х) = г)(х) + О (й'), ф(х) = )'(х)+ О (й'). Для разрешимости задачи (4) достаточно (см. гл. 1, 5 2, п. 9), чтобы а)0, Ь)0, г(~)0 для всех хенв„. (6) Приведем два примера разностных схем второго порядка аппроксимации для задачи (!): уг+1 уг уг уг г 1 Ь '!Йг+га а Йг-а й / угуг = 2гг (8) гл. Не ОднОРОдные РАзностные схемы 1ОВ Представим (Ьи')' в виде йи" + Ь'и', Естественно, на первый взгляд, для получения аппроксимации второго порядка прове- сти замену Тогда получим схему Й '+' ' ' ' + '+' ' ' '+', ' ' — 0 «у 2« 2« О < 1 < й!, уз = 1, р„= О.
(1 !) Преобразуя (!1) к виду (4), найдем т. е. схема (11) принадлежит семейству (4). Условия (5) и (6) выполнены, так как на участках гладкости а,= Ь,— 05Ыг',+ 0(йз), Ь, =Ь,+05«Ь',+ 0 (Ьз), 0,5 (а, + Ь )= Ьн Ь,. — а, = 0,5 [Ь,~, — «,,) = Ь«, '+ 0 (Ьз) так что ае ) О, Ь~ ) 0 при достаточно малом Ь.
где 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, у,=иь ул,-— и„й~ «=Ь(х, ч-0,5«), ЬРА~ = Ь (х( .ь Ь). Нетрудно видеть, что для каждой из этих схем выполнены условия (5), если Ь, д, 1 — достаточно гладкие функции. В дальнейшем для упрощения изложения, будем предпола- гать, что шаблонные функционалы не зависят от параметра «и 1)[1 (з)] = г[[(з)], так что а (х) = А [й (х + зй)], Ь (х) = В [«(х+ з«)], И(х) = Е[4(х+ ЕЬ)], ф(х) = Е [1(х+ з«)], (9) где зее [ — 1, !]. Будем рассматривать семейство схем, для которых выпол- нены условия (5), (6), (9).
Нас интересуют схемы, сходящиеся в случае разрывных Ь(х), д(х), )(х). Ниже приводится пример, показывающий, что не всякая однородная схема вида (4), удов- летворяющая условиям аппроксимации (5) (в случае гладких коэффициентов) и условиям разрешимости (6), сходится в клас- се разрывных Ь(х). 4. Пример схемы, расходящейся в случае разрывных коэф- фициентов.
Рассмотрим задачу (1) при д = О, 1= 0: (Ьи')'=О, 0<х< 1, и(0) =1, и(1) =О. (10) 4 ь схемы для стлционлоного оглвнвння 109 Покажем, что схема (11) расходится даже в классе кусочно-постоянных коэффициентов /оь 0 <х <5, й(х) = йо, $<х<1, (13) где 5 — иррациональное число, 5 = х + 06, х„ = пй, 0 ( 0 ( !. Точное решение задачи (10), (13), удовлетворяющее условиям сопряжения, имеет внд ~ ~ ~ | ~ | ~ ~ о ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ! П 4 > 1 — а,х, О » (х ( «$, ао = (н + (1 — х) 5) и(х) = 5о (! — х), $ » (х 1, [)о = хао, х = /о,//оо. Найдем решение разностной задачи (11), (!3).
Так как а; = = Ь; = й, при 0(1(п, по = Ь~ =/оо прн и+1(1</о, то уравнение (11) принимает вид у; о — 2у; + уо+о = 0 при (Ф л и 1 чь и + 1, Отсюда находим 1 — ахо 0 «(х («х„, ~-У(')- 5(1 х~), х„„(х(!. (15) Коэффициенты а и 5 определим из уравнений при 1= и, 1= =и+1: Ь„[5 (1 — х„э,) — (! — ах„)) + аоай = О, Ь„+ 85+а„+, [5(! — х„+,) — (1 — ах„)) =О.
1 (16) Из (!2) и (!3) находим а = (5/о,— /оо)/4, а +~ = (/о, + 3/оо)/4, Ь„= (3/о~ + йо)/4, Ь +о = (5/оо — йо)/4. Решая уравнения (!6) от- носительно а, 5 и учитывая, что х„= $ — ОЬ, х„+, — — 5+ (1 — О)/о, определим 5 = 1ла, а— 1 3+я вн — 1 н+(!-и)4+л(л-е-(1-е)и) 5-и =зя+! 1л= /о, Х= —. (17 Предельный переход при Ь вЂ” оО дает !ппа ао 1!го 5=!Зо л-оо л.оо где а, = (!л+ (1 — 1о) 5), <9о = 1лао, (! 8) Функции (!5) доопределим на всем отрезке 0 'х ='1 (при помощи линейной интерполяции), получим функцию у(х,й), х~ ы [О, 1), совпадающую с у» в узлах хо 1Ь.
Найдем предел пй гл. ш. одноиодныв елзностныв схимы р(х,й) при И-+О: ( 1 — й,х, 0(х(~, и(х) = 1!гну(х, й)=~ ' (19) о-оо ' ро(! — х), $ ( х ( 1. Сравним предельную функцию и(х) с точным решением и(х), определяемым формулой (14). Из (!4), (18) и (!9) видно, что й(х) = и(х) при ао = ао, ро = ро, а это возможно лишь при оо = ! или Й, = йь Итак, решение (!5) разностной задачи (!!), (!4) при й- 0 стремится к функции и(х), которая в случае й, Ф йо отлична от точного решения и(х) задачи (!0).
Следовательно, схема (1!) расходится. Нетрудно установить физический смысл функции й(х). Функция й(х) есть решение задачи (10), удовлетворяющее при х = й условиям [и) = О, [йи'[ = — (р — к)йо = д, где д есть мощность сосредоточенного источника (стока) тепла в точке х = $. Величина д меняется в широких пределах в зависимости от х (в частности, д-о. ч-ее при я- 5+. 0).
Таким образом, физическая причина расходимости схемы (!1) в том, что она нарушает баланс (закон сохранения) тепла, приводя к появлению дополнительного источника (при д ( 0) или стока (при в ) 0) тепла в точке х = $. Схемы, нарушающие законы сохранения, называют нсконссрвативными или дисбалапспыми. Рассмотренный пример показывает, что при написании разностных схем следует добиваться, чтобы эти схемы выражали на сетке соответствующий закон сохранения. Такие схемы мы будем называть консервагивиооии.
В следующем пункте дается общий метод получения консервативных схем, сходящихся в классе разрывных коэффициентов. Прежде, чем переходить к его изложению, сделаем два замечания, связанные с рассмотренным выше примером. Критерий экспериментальной проверки сходимости схемы путем сгущения сетки, применяемый часто на практике в тех случаях, когда нет теоретических оценок качества схемы, может иногда привести к ошибочному выводу о сходимости схемы на том основании, что прн сгущении сетки обнаруживается стремление решения разностной задачи к некоторой предельной функции й(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
