Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Очевидно, что в узлах х = х„и х = х„+, функция ф(х) имеет вид фл = — ил+1 + 0 (1), фл+, — — — ""„"' + 0 (1), И„„< = 0 (ц, (64) т. е. в узлах, соседних с точкой разрыва х = $ схема (25) пе аппроксимирует уравнение (1), так как ф„= О(1/й), <)<л+1 = 0 (1!)<) . Из формулы (64) видно, что главные слагаемые в выражениях ф„и <р„+< равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, так что фа+ ф„+1 — — 0(1), й(фл+ фл„) =0(й), т. е.
погрешность аппроксимации в окрестности разрыва коэффициента й(х) имеет дипольиый характер. Именно поэтому, несмотря на отсутствие локальной аппроксимации, консервативная схема (25), (26) имеет первый суммарный порядок аппроксимации: и< >1. Можно указать схемы, отличные от (23), (24) и имеющие второй порядок аппроксимации в случае разрывных коэффициентов. При этом предполагается, что известно положение разрыва на сетке: 5 = х„+ ОЬ, Заменяя интегралы (в 57) их приближенными значениями, например, полагая хл+1 р «х (65) А,) А (х) А (хл) А (ха+2) ал+1 ах+1 к л и аналогично для <)<„и <(„, получаем схему с коэффициентами а, о«, в, которая будет иметь точность 0()<2) для й, <), 1~ 9<2), так как а„+, — а„+, 0(й) и (1, 1и — п1)=0(ь2), (1, 1<( — <(1)=0(йх), (1, 1<9 — <21) =0(й2).
(66) Гл. !!!. одноРодные Ркзностные схемы рз Если разрыв находится в узле х! сетки ыы то условия (66) выполняются для а, = Ь! ~а, а! = 0,5 (Ь (хс-! + 0) + Ь (х, — 0) ), !р, = 0,5 (~ (х! — 0) + ) (х! + 0) ), а', = 0,5 (д (х, — 0) + с) (х! + 0)). ! (67) Если $=х, ь, то можно взять еес-!ь! а,=-, !е! =-)„а!=до Ь! , + И! (68) Прн этом будем иметь !!!р!!! !! — — 0(Ь') для Ь, д, (ее О!'!. 12. О сходимости и точности.
Пусть у — решение задачи (25), (26), и — решение задачи (!), Е=у — и — погрешность схемы (25), (26). Погрешность г является решением задачи (29), где ф = ф(х) определяется формулой (30). Из априорной оценки (47) для решения задачи (29) следует, что если схема (25), (26) аппраксимирует задачу (!) в норме Ц!!! !>, то оиа сходится в норме С, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации. Таким образом, верна Теорема 4. Если выполнены условия Ь(х), д(х), 1(х) е= Са!, то любая исходная схема (25), (26) равномерно сходится со скоростью 0(И') (имеет второй порядок точности), т.
е. (! у — и )!с 0 (Ь~). (69) Любая исходная схема в классе разрывных функций Ь(х), д(х), !'(х) ен Я!з! имеет, по крайней мере, первый порядок точ- ности: !у — и 1~ ' = 0(Ь). (70) Наилучшая схема (23), (24) в классе функций Ь(х) ен 4", д(х), ~(х) ен Яш имеет второй порядок точности, !!у — и')с = 0(ЬЕ), на любойпоследовательности сеток ыы В работе А.
Н. Тихонова и А. А, Самарского Щ показано, что аппроксимация в классе гладких коэффициентов необходима и достаточна для сходимостн однородной схемы (25), (26). 13. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках. Для решения дифференциальных уравнений на практике часто используются разностные схемы на неравномерных сетках. В гл. 1, $ ! для простейшего уравнения и' — ) была рассмотрена схема на неравномерной сетке сьь=(»!, ! 0 ! .. Ф «ь 0 хн=1, Ь!=х! — х !) и проведено изучение погрешности аппроксимации для этой схемы. о !, схемы для стхцнонхвного хгхвнвння 131 !о1 Чтобы получить однородную консервативную схему на неравномерной сетке мо, напишем на интервале (х! !йь х!+!го), где х! !Ь = х! — 0,5йь х!+!го = х; + 0,5асо!, уравнение баланса «! ! ~д «!+1а ))7! !ь — Я7!!.!л — )' д(х) и(х) Ых = — ~ )(х) а!х, (Р'=-ви'.
(7() «! «! По аналогии с п. 5 проведем замену «;о~а «!оч с)иа!х Лсг(оиь г(1= —, ~ д(х)сУх, о!=0,5(й!+й,+,), 1 — ! «! После этого, так же как и в и. 5, получаем разностную схему 1 ! ' он! "! "! ос-! 1 — 1 — с(!у = — Ф ! «! — ! «;во «!эч 1 а = — ) , а!! = — ) 7(х) йх, <р, = — ~ )(х) ах. а,,) о(«) = я! Т!! ! †! «! ч «; !л (72) Эту схему будем называть, как и в случае равномерной сетки, наилучшей схемой.
Коэффициенты ан а)!, !р! очевидно можно записать в виде о -! -! о,о (73) -ол Введем обозначения (см. гл о! у! ! о!.!.! у! я!!.! Уд! а, > У«,1= а., . е«,1= — ~ д (х, + аИ!) оЬ + -0,5 о ч! = о ~ 7(х, +зй!) сЬ+ „'+' ~ !7(х!+за!+!) сЬ, о ол 1" (х, + ай!+!) гЬ. о 1,5)): Гл. н1. ОднОРОдные Р»зностные схемы !22 пз Рассмотрим трехточечную схему (ау»)» — а!у= — 1р, х=х! ЕБ й» у (0) = ин у (1) = им а ) с, ) О, а! ) О. (74) Если заданы /г(х), д(х), ((х) из 111'>[О, Ц и известны точки их разрывов, то всегда можно выбрать неравномерную сетку так, чтобы точки разрыва коэффициентов й, д, ) были бы ее узлами.
Такую сетку, зависящую от конкретных функций й, а, 7, будем обозначать й»(К). Простейшие выражения для аь а!1, 1р! на й„(К), как следует из (73), имеют вид "1Ч! +" Ч1~ "111 + "11-1(1+ а1= и1- », 1(! = 2д, 1Р! = ' 2а, (75) 2 ! где !1~ =!(х! + 0) и т. д. Впрочем, можно пользоваться и другими формулами, например: а;= — (й! !+Й,), а,= ! „2»т 1А! г * ' ' »+1+А;.' 1»1- !1+ 1+!э!1-»»111-1, + "11111+~а и. а 2Й! ' Р! 2Г!! В случае непрерывных коэффициентов из (75) следует а! = и1- а, 1(! = д1, 121- (1. Если разрывы совпадают с потоковыми точками (х = х» !!1) сетки й», то коэффициенты аь 1(ь 1р! выберем следующим образом: 2»!»! а!=а! %=71 (75') либо возьмем 2ьт» .
» +». 1-Ч~ 1-'Л ° ' 1-1!э11-Ч~+ 1ч1-Ч 2 »! 2+»;Ч 2а! »1+Г+Ч, +»1(!"-и !Р! = Перейдем к изучению погрешности аппроксимации схемы (74) на неравномерной сетке »1»(К). Напишем уравнение для ошибки 2 = у — и: (а2»)» — а!2 = — ф(Х), Х Х! ~ й»~ Хо ал (76) где ф(х) = (аиэ)» — Фи+ 1р(х) — погрешность аппроксимации. сз! $ !. схемы для стАционАРного уРАВнения сзз Пользуясь уравнением баланса (71) по аналогии с п. 11 представим погрешность аппроксимации ф в виде фс=тгс, с+ рс, 21,=(иих)с — (йи') хс+М фс = — ~ д(х)(и(х) — и) ссх+(ср, — ср) — (с(с — ссс) ии ! (77) хс ~/ Для наилучшей схемы (72), в частности, имеем хсе С, '* ! ф; = фс = —, ~ д (х) (и (х) — и,) асх, хс х а, р 2! =2! = — ' ) *асх, ис=йи'.
йс .) А (х) с †! Для простоты изложения рассмотрим сейчас погрешность аппроксимации ф для наилучшей схемы (72). Предположим, что й, д, с имеют разрыв первого рода в узле хс ее с00, а при х;, <х<х„хс <х <хеы являются гладкими функциями. Выражение для ср* перепишем в виде 0 ф; = —,' ~ д(хс+зйс)(и(хс+зй,) — и(х,))ссз+ -ц5 находим 4 = —,' (й'(ди') )„, + О(йс). (78) Для тй будем иметь Чс - исссхч с — (йи')с, = 0(йс), н так как ас —— йс с, + О (йс), 0,0 + с+ ' ~ с) (х; + Ис ы) (и (х, + зйс ы) — и (хс) ) с(з. а Учитывая, что для любой функции !2(х) ы Я~а, имеющей разрыв первого рода в точке х = х„верны формулы сс(хс+И)=ссс +зйс(сх)с +0(йс), — 05<а<0, ссс =!с(х,— О), Сс (х, + И,с с) = !с се + зйс+, (Сс )с+ + О (йс, с), 0 < з < О 5, схс+ = сс (хс + 0), (р )с' = 0");„+ О (й,+,), нз гл.
ш, одноеодныв ехзностные схемы Погрешность аппроксимации ч! для схемы (74), (75) определяется по формулам (77). Воспользуемся формулами для е !р, и !»!! ю, = ' ',„'" ' + —, (й'Я )„.!+ 0 (а)!, ) = ь" + ""' + ! (ЙЯ( ') ) +0(й') Отсюда и из (75), (77) находим (!р! !р!) (я(! А) и, = — '(Й'(9') ), — — (Й'() ) )„,.
+ 0(а',). Преобразуем выражение и!(й (Ч ) )» ! = Ы!(я и) )„, — Й;!.! (Ч )!», ия. ! = =(й'(д и) ), + 0(й!~н). Учитывая затем формулу для !)!', получим яр! — — (й ( (ди) — ) ) ), + 0 (Ь!) . Таким образом, погрешность аппроксимации для схемы (74), (75) на специальной последовательности сеток й„(К) имеет вид ф=ря+ф"', ф'"=0(Й~), и=(аия)! — (Йи')!-'ь+ в Ьи)' Л! 0(й') Можно показать, что погрешность аппроксимации наилучшей схемы (72) на произвольной неравномерной сетке при любом положении точки разрыва коэффициентов К: хя~~$~~хл+н хл~ хи+! ~ !вя представима в виде (79), где и! = 0(й!)+ бь„„о(й„„), ф!'= 0(а)).
(80) Введем обозначения и-! л (У, о). = Х У!вА, (У в) = Х Угв!Йи !-! ! и-! и-! ~ л-! 3ф))! !.! = с~ й!+! ~ 2~ Ляф»1 или !) ф!~ !.! = с~ Й! ~ Х Ьяф„. Щ $ ь схемы для стАционАРного уРАВнения 135 Из (79), (80) следует, что для погрешности аппроксимации схемы (74), (75) на специальной последовательности сеток вь(К) и наилучшей схемы (72) на произвольной неравномерной сетке при любом положении точки разрыва справедлива оценка ( Мй' й = (1 /г') А (81) где М = сопз! > 0 не зависит от сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
