Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В случае уравнения (97) с постоянными коэффициентами р(х) = ро = сопз! и о)(х) = ()о = сопИ шаблонные функции (х(з, й), ]!(з, 6) находятся в явном виде о<! « 1+ ~) рр) ( ~Ь(х<! — ~) Ь) / Ч ха ' ' х<( ' !' <(о Для коэффициентов а(х) и <((х) получаем постоянные значения а (х) = — ' — <((х) = — 1)1 — .
оь (х<() 2ЧО х<( хЬ <( 2 Из (!12) видно, что а(з, 6) и ])(з, 6) являются аналитическими функциями параметра йз н поэтому разлагаются в ряды а(з, й)= „)'.( ао(з)Ь'о, 5(зр Ь)= ~бо(з)йоо, (115) ь-о о-о где ао(з) и йо(з) определяются по рекуррентным формулам о 1' / 1 ,(1- 1 р(р((~ р ( ),,(о(1(о(ро)]а, о>о. -! — 1 оо(з) = ~ р(1) <(1, — 1 1 !" 7 ! о ( 1=1 р(о((р(11 - (о(оо(ро)]рр, о>о, о 1 ))о(з) = ] Р (1) <11 Если в (115) взять конечное число членов: а "ч(з, Ь) ~ ао(з) Ь ", ]!( (з, Ь) = Х цо(з)Ь" о-о о-о и вычислить по формулам (114) коэффициенты с<< 1, (1< 1, (р<~1, заменяя в этих формулах со и р полиномами со< 1 и р< 1, то мы получим схему (называемую усеченной схемой ранга т), которая имеет точность 0(Ь' +х) в классе кусочно-непрерывных функций й (х), () (х), 1(х) ~ Я<о!(0, !].
>а> 4 >. схимы для стхционяиного квлвнвния !45 При т = 0 получаем схему нулевого ранга. Она имеет точность 0(йв) для й, д, )я Я>о> и отличается от наилучшей схемы (25), (24) выражениями для с( и (р: Г > и>о>= — = [ р(к+за)сЬ, р= —, а ' а ~>о> о Иэ „~ )>(х+ э)>) — 1 Усеченные схемы замечательны тем, что они позволяют получить любой порядок точности для произвольных кусочно-непрерывных функций. Точная схема и усеченные схемы могут быть получены (теми же методами) на произвольной неравномерной сетке йь (см.
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [4]) "). Практическое использование усеченных схем в случае переменных коэффициентов уравнения (1) требует вычисления многократных интегралов на каждом интервале сетки. Заменяя эти интегралы конечными суммами, можно получить весьма простые схемы 0(6') и 0(й'), коэффициенты которых выражаются через значении й, с) и Г в отдельных точках на каждом отрезке [х; ь хо,ч[.
Эти схемы сохраняют свой порядок точности и в случае разрывных й, >), Г на сетках йл(К), когда точки разрыва являются узлами сетки й>,(К). Точную и усеченную схемы можно использовать в качестве эталонных схем для исследования точности схем (25), (26). Это позволяет снизить требования гладкости й, д, Г, которые использовались прн оценке порядка точности схем (25), (26). В работе А. Н. Тихонова, А.
А. Самарского [5[ получены точные и усеченные разностные краевые условия третьего рода. 15. Монотонные схемы для уравнения обшего вида. Рассмотрим краевую задачу Еи = ((ой)' + г (х) и' — д (х) и = — Г (х), 0 < к < 1, и (0) = и„и (1) = и„й (х) ) с, ) О, [ г (х) [ < с„с) ) О. (116) Напишем для нее разностную схему второго порядка аппроксимации, для которой справедлив принцип максимума при любом ") Отметим, что в [41, несмотря на вкравшиеся опечатки — в уравиеииях (3), (28), (33) коэффициент а надо заменить иа >/а — все теоремы вериы.
гл. ~п. одно»одныв ехзностныв схемы нв шаге Ь. Это значит (см. гл. 1, $2), что схема может быть записана в виде Л,у,,— С,у,+ В,у„., = — уь 1=1, 2, ..., Ж вЂ” 1, (!17) где А,)0, В,)0, С,.— Л,— В,=Р,~О. Такие схемы называют монотонными. Это название объясняется тем, что решение задачи (117) при Р, = О, г"; = О, А, > О, В, > 0 является монотонной функцией на всем отрезке 0 < х < 1, т.е. либо у; ~уььь либо у~ >у;+, для всех ! = О, 1, ..., Ж вЂ” 1, Ж. Оператор (.и = (Ьиь)' — ди заменим, как обычно, однородной трехточечной схемой Лу = (ау„-) — ау Лу н (ау„-)„+ Ь»а'+ну, + Ь ау-„— ду = — ф, У» иь У„= из, а'+о = а(х+ Ь), а > с, > О, и=-1/(1+Я), Я 0,5(г)Ь/й.
(119) второго порядка аппроксимации. Естественная замена первой производной и'(х) центральной разностной производной и. дает схему второго порядка аппро« ксимации. Эта схема монотонна лишь при достаточно малых шагах сетки. Формулы прогонки применимы при достаточно малом Ь, когда Ь~г(х) ) < 2й(х). Если воспользоваться односто- ронними разностными производными (правой и, при г) 0 и ле- вой и; при г < 0) для аппроксимации и', то получим монотонную схему, для которой справедлив принцип максимума при любых 6. Однако она имеет первый порядок аппроксимации.
Построим монотонную схему второго порядка точности, со- держащую односторонние производные, учитывающие знак г(х). Покажем, что для этого достаточно написать монотонную схему с односторонними первыми разностными производными для уравнения с возмущенными коэффициентами 7.и = — (, 5и =х(йи')г+ гй — ди, (118) где н = Ц1+ 17), Я = 0,5Ь |г ~/й — «разностное число Рейнольдса».
Представим г(х) в виде суммы г=г++г, г+=0 5(г+(г~)>0, г =05(г — ~г~)(0, и аппроксимируем ги' выражением (ги'), =( — '(Ьй) ' Ь,+а,,и, + Ь, а,и-„,, где Ь;=г(г*(х,+за)~, ге=гЧЙ, а г — шаблонный функцио- нал, используемый для вычисления коэффициентов Н н ф. В результате мы получаем однородную схему $1. схемы для стАционАРного уРАВнения кя (47 Покажем, что схема (1!9) монотонна. Для этого запишем ее в виде А,у(, — С,у, + В,у,(.( = (рн у() = ин уи = и„(120) где А,=У(н,— ЬЬ,), В,= „",'(я,+Ььт), С, = А, + В, + (1(. Отсюда видно, что А() О, В() 0 и О() О, так как Ь,. ~0, Ь,+ )~0, А) О.
Уравнения (120) разрешимы методом прогонки при любых Ь и г, Погрешность аппроксимации схемы (119) (р=н(аи-„)„+ Ь а~~~)и„+ Ь аи„-— а(и+(р — (Ьи+() представим в виде суммы (р=(р~ '+(р' ', ()) (з) (р(') = [(аи-„), — ((и+ (р1 — [(Ьи')' — да+ 1), (р(') = [()( — 1) (аи-)„+ 5+а(( пи„+ Б аи-„[ — ги'.
Для (Р(' имеем оценку ()) (Р~)=0(Ь) при ЬяС~~~, а, [яС(~. Учитывая, что Б' = Р'+ О (Ь'), Ь- =-;+ О (Ь'), Ьг*=г, г +)' =г, г — г =~г1, аи» вЂ” — Ьи' — 0,5Ь (Ьи»)'+ 0 (Ь'), а'+"и„= Ьи + 0,5Ь (Ьи')'+ 0 (Ь'), (аиз)„= (Ьи')'+ 0 (Ь'), получаем Ь+а(+')и„+ Ь аиз = ги + 0,5Ь(Ьи ) — + 0 (Ь ), Ра) = — „'„(Ьи')'+ К(Ьи')'+ О (Ь') = = — (Ьи')'+ 0 (Ь') = 0 (Ь') (+(( так как В =0,5Ь[г [/Ь= 0(Ь). Таким образом, монотонная схема (1!9) имеет второй порядок аппроксимации (р= 0(Ь'). (1.21) 1!о гл. пь одногодныв елзностныв схемы 148 Если д)~ с, ) О, то для решения задачи (!!9) при уо = ун = 0 принцип максимума дает оценку (! у!1~< —,, !!'р(!ш ив которой, в силу (121), следует равномерная сходимость схемы (119) со скоростью 0(йо).
Монотонной схемой (119) целесообразно пользоваться в тех случаях, когда г(х) является быстроменяющейся функцией х и в отдельных точках возможно нарушение условия !т < 1 (что не сказывается существенно на точности схемы). Не представляет труда написать монотонную схему на неравномерных сетках. Методом, изложенным в предыдущем пункте, можно построить точную схему и схемы любого порядка точности.
Они будут монотонными схемами вида (119). 16. Третья краевая задача. Построим однородную разностную схему для краевой задачи третьего рода: Ти =(йи')' — д(х)и= — 1(х), 0 <х<1, й(х)) с, >О, у~~О, й(0) и'(0) =(! и(0) — 14, — й(1) и'(1) =ров(1) — 1ом (122) 5,~0, йо~О, 5,+йз>0.
Уравнение (122) аппроксимнруем обычным образом Лу= — оо(х), Лу=(аух)„— ау, а)с,>0, с()0, (123) где а, И, ч~ удовлетворяют условиям аппроксимации (5). Рассмотрим сначала простейшую аппроксимацию краевого условия при х = 0: а~ух, ~ = ()~уо — р, н вычислим погрешность аппроксимации, подставив в это условие у = г + и: а г„, =йго — тн т, =аих,— ри +пи Учитывая, что а, = до+ О 5ййо+ 0 (й') из ~ = ио+ О 5йио'+ 0 (й') получаем т, = (йои' „— б,ив + 1о,) + 0,5й (йи'),'+ 0 (йо) = 0,5й (йи')о + 0 (йо). Подставим сюда из уравнения (122) (йи')',= дои,— (о. т, = 0 5й(доио !о)+ 0(Ь'). Отсюда видно, что краевое условие а,Уа = (3,Уо — Рн Р, = 5, + 0,5йд„1о, = Р, — 0,5Ь(о (124) имеет второй порядок аппроксимации на решении и(х) задачи (122). Аналогично получается разностное краевое условие второго порядка аппроксимации при х = 1: — а,уд „= (1,ул — ро рг = Ц, + 0,5ЬЧ„, 1оо = 1о, + 0,5Ь(„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
