Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Приведенный выше пример показывает, что функция й(х), вообще говоря, может сколь угодно сильно отличаться от решения и(х) исходной задачи. Поэтому методом сгущения сетки надо пользоваться с известной осторожностью. Во всяком случае, он не может подменить теоретического исследования хотя бы на модельных примерах.
Можно рекомендовать для проверки сходимости и порядка точности метод пробных функций. Выбирается некоторая функ- з !. схемы для стАционАРного уРАВнецня ция У(х) (она может быть выбрана произвольно, но так, чтобы выполнялись условия сопряжения в точке разрыва коэффициента А(х)).
Подставляя ее в уравнение (1), найдем правую часть ) = (йУ')' — дУ и краевые значения р! = У(0), р» = У(!). Полученная задача (1) решается по схеме (4) и разностное решение у(х) сравнивается с известной функцией У(х) на различных сетках. Второе замечание состоит в том, что, так как не всякаи схема (4), сходящаяся в случае гладких коэффициентов, сходится в случае разрывных коэффициентов, то необходимо выделить семейство схем, сходящихся в классе разрывных коэффициентов, и в дальнейшем иметь дело только с такими схемами. 5. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) построения однородных разиосгныхсхем*). Различные физические процессы (теплопроводности или диффузии, колебаний, газодинамики и т. д.) характеризуются некоторыми интегральными законами сохранения (тепла, массы, количества движения, энергии и т.
д.). При выводе дифференциальных уравнений математической физики обычно исходят из некоторого интегрального соотношения (уравнения баланса), выражающего закон сохранения для малого объема. Дифференциальное уравнение получается из уравнения баланса при стягивании объема к нулю в предположении существования непрерывных производных, входящих в уравнение, Метод конечнйх разностей физически означает переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели. При таком переходе естественно требовать, чтобы основные свойства физического процесса сохранялись.
Такими свойствами, прежде всего, являются законы сохранения. Разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения, называют консервативными (или дивергентными). Законы сохранения для всей сеточной области («интегральные законы сохранения») для консервативных схем должны быть алгебраическим следствием разностных уравнений. Для получения консервативных разностных схем естественно исходить из уравнений баланса, записанных для элементарных объемов (ячеек) сеточной области.
Входящие в эти уравнения баланса интегралы и производные следует заменить приближенными разностными выражениями. В результате получаем однородную разиостную схему. Такой метод получения консервативных однородных разностных схем будем называть интегро-интерполяционным методом (методом баланса). Проиллюстрируем этот интегро-интерполяционный метод на примере уравнения (1), описывающего стационарное распре' См. А.
Н. Тихонов и А. А. Самарский 11]. гл. ш, однояодныв пазностныв схимы Нг деление температуры в однородном стержне 0 ( х 4, 1. Напишем уравнение баланса тепла на отрезке х, с, (х (хс+ч, с+% с+% Юс с,— Я~с+с,+ [ с(х)асх ~ с)(х)и(х)сЬ, )()'= — йи', (20) м !с х с-ч. где )Гс(х) — поток тепла, с)(х) и(х) — мощность стоков тепла (при с) < 0 — источников), пропорциональных температуре, Г(х) — плотность распределения внешних источников (стоков) тепла.
Сток тепла происходит за счет теплообмепа с внешней средой, происходящего на боковой поверхности стержня. Величина ))гсс, дает количество тепла, втекавшее через сечение х = хс с, на отРезок хс с, (х (х;+с„))гс+1с,— количество вытекающего через сечение х = хс+с, тепла; третье слагаемое в левой части (20) дает количество тепла, выделяющегося на отрезке [х; с„хс+ 4 за счет распределенных с плотностью 1(х) источников тепла, интеграл в правой части (20) есть количество тепла, отдаваемое внешней среде за счет теплообмена на боковой поверхности.
Чтобы получить из (20) разностное уравнение, заменим )Р' и интеграл, содержащий и, линейными комбинациями значений и в узлах сетки. Для этого воспользуемся интерполяциями в окрестности узла хь Возьмем простейшую интерполяцию и=сопа1=ис при хс с,<~х<хс+дь "с+'с.
с+и с)(х) и(х) с(х = )с с(си„с(с = — „~ с)(х) ссх, (21) ! х с-Ъ х. 1!з где с(с есть среднее значение с)(х) на отрезке хс с, (х (хс+с, длины Ь. Проинтегрируем равенство и' = — %74 на отрезке х,, 4,.х (х,: и — и = [ — „ссх.
Г %' (х) с (х) хс-! Предполагая, что Я7(х) = Фс с, = сопз1 при хс с (ха,хь имеем: Г кх ис-с — ис = В"с-с, ,[ а(х) ' в !. схемы для стхционхяного хяхвнвння из Отсюда находим приближенное значение Ф! 5 потока — ! »! И. — Я (, ~,ь'~ И7! ~ = — ви ' ' ' = — а!их, 5, а5= — [ —, (22) 5! 5! Нх Отметим что [ — есть тепловое сопротивление отрезка ь (х) "5-! [х. и х5[.
Подставляя (2!) и (22) в (20) и обозначая через у! искомую функцию, получим консервативную разностную схему а ~'+ а '! а 1 (5у! = — 5р„ у!+! ~! у! ~! — ! (23) где "! ! ! (24) 0,5 0,5 д! = ~ Д(Х5+ ЯЬ)дх, 5Р! = ~ 1(Х5+ 5Й) И5. -0,5 -0,5 Разностное уравнение (23) написано в фиксированном узле х = хь Считая узел х! произвольным, получаем уравнение (23) во всех внутренних узлах сетки.
Так как коэффициенты а5, А, !р! во всех узлах х!, ! = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1 определяются по одним и тем же формулам (24), то схема (23) — (24) является однородной консервативной схемой. Поэтому в (23) и (24) индекс ! можно опустить и вместо (23) писать (аУ,) — 55У = — 5Р. В общем случае в формуле для потока коэффициент а! является некоторым функционалом значений й(х) на отрезке [х! 5, х!). Отметим, что закон сохранения во всей сеточной области ыь («интегральный» закон сохранения) для любой (с любыми а, 51, 5р) консервативной схемы вида (23) есть алгебраическое следствие уравнения (23). В самом деле, обозначая через )Р! 5г» = †(у! — у! !)р~ разностное выражение потока тепла при х = х! 555, запишем равенство (23) в виде В'5, — У5+, +й!р5=йа5у!.
Суммируя гл. нь однояодныв вхзностныв схемы 1!4 по ! 1,2, ..., й! — 1, получим разностный закон сохранения телла во всей сеточной области Он является разностной аппроксимацией интегрального закона сохранения для уравнения (1), Интегро-ннтерполяционный метод был использован для решения ряда задач (см., например, Г. И. Марчук [Ц, Б.
Л. Рождественский и Н. Н. Яненко [Ц). 6. Однородные консервативные схемы. Рассмотрим теперь семейство однородных консервативных схем (аУ)„— г(У= — !р, хан!»„, У(0)=и„у(1)=и. (25) Коэффициенты а(х), г((х), гр(х) однородной схемы (25) вычисляются при помощи шаблонных функционалов А[й(з)], ,г [й(з)] по формулам а (х) = А [й (х+ эй)], !((х) = Р [д (х+ зй)], !р (х) = В [! (х + ай)], а (х) > с, > О, д (х) > О, (26) причем область определения А[к(з)] есть О!'! [ — 1, О] (Ж(з) ен ~ Я!О)[ — 1, 0]), область определения г[У(з)] есть О[о)[ — 1/2, 1!2]. Иными словами, А [х(з)] (г" [7(з)]) определен для всех кусочно-непрерывных функций х(з) Д(з)), заданных на отрезке — 1 (з (О ( — 0,5 (з (0,5).
Г(ри вычислении а(х) согласно (26) мы полагаем Й(з) = й(х + зй). Это соответствует переходу от шаблона — 1 (з < (О, на котором задана функция а(з), к шаблону х — й <х' ( (х, на котором требуется задать й(х'), чтобы вычислить а(х). Сравним консервативную схему (25) со схемой общего аида (4). Очевидно, что (4) может быть записана в виде (25) только при условии Ь;=а!ы или В[%(з)] = А[1(з + 1И для любых Е(з) ~ фО)[ — 1, ц, Отсюда следует, что для консервативной схемы функционал А[й(з)] не зависит от значений й(з) при 0 <з ~,1, а В[а(з)]— от значений Й(з) при — 1 (з <О. Отметим, что консервативность схемы (4) является необходимым условием ее устойчивости относительно возмущения коэффициентов при й(х) ~ 1,!<и (коэффициентная устойчивость, см.
А, Н..Тихонов и А, А. Самарский [Ц). А 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ Требование консервативности («дивергентностиэ) схемы (4) эквивалентно также требованию самосопряженности разностного оператора. Действительно, рассмотрим оператор (Лу), = а,у;, — с,у, + Ь,у,«„ определенньш на пространстве ЙА сеточных функций у = (у1), заданных на 050 и равных нул!о на границе, у0 = уи = О. Введем А — ! в 5)А скалярное произведение (у, и)= ~ у1О1Ь. Так как для 1=1 любых функций у, и ен ОА справедливо тождество 01-1 51-1 2~~ (а1у; ! — с1у1+ Ь1у1+1) и; = 2~~~ (а1+!О!+1 — сгв1 Ь1-1п! — 1) у1 1 1 1 1 то условие (Лу, о) = (у, ЛО) будет выполнено при любых у, и ~ о, тогда и только тогда, когда Ь1 = аьь1, 1 = 1, ..., 1у' — !.
Условия (5) локальной аппроксимации второго порядка в случае консервативной схемы (Ь! = а1+,) принимают вид (х + А! а (х) = Ь' (х) + О (Ь ) а (х + ") + а (х) = Ь (х) + О (Ь') А 2 1 с((х) = а(х)+ О (Ьз), 1р(х) =1(х)+ О (Ь'). (27) Если эти условия выполнены, то а(х) = Ь(х) — 0,5ЬЬ'(х)+ 0 (Ь') а(х) = Ь(х — 0,5Ь)+ 0 (Ь'). т. е. 0 0,5 А (Ь(з)1= ( ~ ( 1), Р11(5)) = ~ Т(з) с(з. (24') -0,5 Коэффициенты а, а1, 1р при этом вычисляются путем интегрирования функций Ь(х), д(х) и ('(х) (см. (24)). Для практических целей удобно иметь возможно более простые формулы для нахождения а, 5(, 1р, используюшие значения Ь, д, 1 в отдельных точках. Обычно используют шаблон из В п. 5 при помоши интегро-интерполяционного метода была получена однородная консервативная схема (25) с коэффициентами а, 5(„ф специального вида (24), а именно с шаблонными функционалами Гл.
и1, ОднОРОдные РАзностные схемы одной или двух точек, полагая, например, сн = й~ А = й (х1 — О 5Ь) (А[А (з)] = е ( — О 5) ), А=ЧО р;=/1 (Р[/(з)]=7(0)), или (28) а1=0 5(й,+й; 1) (А[и(з)]=05(е( — !)+й(0))), 2/г;А; ~ / ! — 2Я ! — 1) Д (0) ) а, = А (~ [~ (з)] — , „ ( )] . Если й, д, / разрывны, то в формулах (28) следует брать полу- сумму предельных значений слева и справа ай=05(й(х1 1,— 0)+й(х; 1,+0)), д1 = 0,5 (д (х, + О) + 1) (х, — О) ), 1р; = 0,5 (/ (х1 — О) + / (х, + О) ). Отметим, что формулы (28) и ряд других формул для а, а, ~р могут быть получены путем замены интегралов (24) их при- ближенными выражениями х1 У1 х Х 1 — ! 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
