Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Условие (23) дает 0)~ )~ 0,5 — Ьз/(4т), т. е. т1ЬЯ ( 0,5. (25) Явная схема устойчива лишь прн условии (25), связывающем шаги Й и т (условно устойчива), 2. Нея вна я схема при о>05 устойчива при любых Й н т, так как ОР' 0,5) Ом Таким обРазом, схема с опеРежением (о = !) и симметричная схема (о = 0,5) устойчивы при любых Ь и т (абсолютно устойчивы), 3. Схема повышенного порядка аппроксимации (о = О„, о„= 0,5 — Йз!(12т)) абсолютно устойчива.
В самом деле, и! Й! Ь2 О,— ое= — — + — = — )0 12т 4т бт при любых Ь и т, ВО ГЛ. И. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (з достаточно для устойчивости схемы (1б) н по правой части при о)~ О. Для этого рассмотрим задачу (1бб). Ее решение ищем в виде А!-1 А1-1 у= ~~.", ТАХ!А', так что )1у1('= ~ ТА. А 1 А ! Правую часть ф разложим по (Х!"!); к-! и-! ф= ~ фАХ!"1, так что 1(ф~(1= ~~.", ф',.
А 1 А-1 (27) Подставляя (26) и (27) в (16б) и учитывая, что ЛХ(А! = — )АХ!А>, найдем А!- ! ~ (ТА, (1+ отать) + 1,АТА — фА) Х'А' = О. Отсюда, в силу ортогональности системы собственных функций следует, что выражение в фигурных скобках равно нулю, т.е. ! — (! — о) ТАА 1+ отхь тфА Т,=у,т, +, (28) Подставим (28) в (26): А1-1 А1-1 А!-1 Т,Х(А! = ~~ г/АТАХ(А>+ т ~)' А Х(А!.
А-1 А 1 А ! 1+отАА 4. Неявные схемы с 0 <о < 05 при о, не зависящем от у = т/йз, условно устойчивы при у (1/(2 — 4о). 5. Схема (16) с о = 0,5+ /гз!х/т, имеющая аппроксимацию О(т'+ /гт), устойчива при любых й и т, если сг > — 1/4. Таким образом, параметр о управляет не только порядком аппроксимации, но и устойчивостью схемы (16). При исследовании устойчивости мы фактически имели дело только с двумя временными слоями Гь 1!чч и шагом т = 1,+! — Г;. Все рассуждения сохраняют силу, если сетка ы, неравномерна, т.е.
шаг т;+, — — Г!+! — 1; зависит от номера слоя. В этом случае параметр о можно считать зависящим от номера /+ 1 слоя, о = о(+'. Тогда вместо (23) получим условие о эо(+'=0,5— — /!'/(4тг+,). ДлЯ схемы О (й'+ тт(Р!),в частности, следУет положить о!+' = 0,5 — Ь'!(12тее!).
Условие о) о!+' достаточно для устойчивости схемы с весами при неравномерной сетке ы,. 5. Устойчивость по правой части. Покажем, что условие (23) А2 о)оо оо= — —— 2 4т е) 4 1. схемы для уРАВнения теплопРОВодности в! Пользуясь неравенством треугольника (!)о + ц1)! < !)о)! + )!Н1)!), находим /»1-1 Л Уг /Аг 1 ЛЧг ))у))(шах! д» ! ~,)~~ Т») +шах ), ~ ~) ф»» ! »-1 » ! или !! у )! ( !пах ! д» )!! у ))+ шах, )! 1р )!. (29) Пусть одновременно выполняются условия ! йг о>е, о = — — — о>0.
2 4т' (30) ТОГда ! 11»)(1, 1+ОтЛ»~>1 И )! у )! ()! у ))+ т)! 1р )! или )! у)ын )! ()! уп ))+ т!! 1р' )!. Суммируя по /'= О, 1, 2, ..., /', приходим к оценке ! ))у!» )!( Х .)!ф')!. ! -о (31) так как ))уе)! = 0 для решения задачи (1бб). Оценка (3!) получена при условии (30). Откажемся теперь от требования о)~0 и вместо (30) потребуем о>~о„о,= 2 — ет гг', 0<а<1, ! ! — е (32) где е = соне! > 0 не зависит от й, т. Тогда 1+ отЛ» = 1+ (о — о,) тЛ» + о,тЛ» ) 1 + о,тл» = (! — е) агл = 1+ О,бтЛ» — " > 1— ! ! — е) й»Л (! — е) йг 4 4 Аг-1 > 1 4 Ь' ° — =е ! 4» )(1, т.
е. 1+отЛ„>е для всех /» =1, 2, ..., г!/ — !. Поэтому из (29) следует оценка !! у )! ()! у ))+ т)! 1р !!/е и )! у! ы )1( —,,уа т )! ф' )! и-о (зз) Если о = а», то условие о» < 0 означает, что т (Ь»/6. В этом случае можно выбрать е = 2/3, так как (1 — е)/4 =1/12 при е = 2/3. Объединяя оценки (24) и (31), (ЗЗ), видим, что верно следующее утверждение, а2 гл, н. уРлвне44ия с пОстОянными коэФФициег!ткми !6 Если выполнены условия Ь4 о) — — — =оы о)0 2 4т то схема (16) устойчива по начальным данным и по правой части, так что для решения задачи (16) справедлива оценка ! !!у!+'!)(!!и,!!+ ~ т!!ф'!!.
(34) т-о Если о( О, то для устойчивости схемы (16) по правой части достаточно, чтобы выполнялось условие ! (! — Э) ь' о) —— 2 лт =и, 0<в<1, (35) о=0,5, иеиС4 о=о., ив=-Сь оь=-0,5, ОФо„и е= С,' До сих пор всюду шла речь об устойчивости и сходимости в среднем, т. е. в сеточной норме Ез(гьь). Между тем, для практики важно иметь равномерную, т. е. в норме !!у! — и4!!с = =шах !у4 — и~1, оценку для погрешности решения.
Хаьь Для получения равномерной оценки решения разностной задачи (16) можно воспользоваться одним нз трех методов: где еен (О, 1) — произвольная постоянная, не зависящая от й и т. При этом для решения задачи (16) имеет место оценка ! !! у!+' !!(!! и !! Ф вЂ”, ~~~~ ~т!1ф'!!. !"-о Для схемы 0(Й4+ т') постоянная е = 2/3, а о, 0 при т(йз/6. 6. Сходимость и точность. Сходимость схемы (11) следует из ее устойчивости н аппроксимации. Погрешность г = у — и является решением задачи (П1).
Пользуясь априорной оценкой (31), получаем ! !!Еге'!!~( ~ т!!4Р!'!! прн о)оы о)0. (36) !'-о Отсюда видно, что верна теорема; Если схема (П) устойчива по правой части и аппраксими- рует задачу (!), то она сходится, причем порядок ее точности совпадает с порядком аппроксимации. Подставляя в (36) оценки нз п. 3 для погрешности аппро- ксимации, получаем, что 0 (/4'+ т'), !! у! — 44! !! = 0(й4.~ тэ) 0(Ь'+ т), и е схемы для уРАВнения теплОпРОВОДИОсти 83 1) принципом максимума, 2) энергетическим методом, который позволяет установить (при помаши теорем вложения) устойчивость в С по правой части, 3) представлением решения в «интегральнойь форме через сеточную функцию мгновенного точечного источника (функцию Грина).
Принцип максимума позволяет доказать равномерную устойчивость при дополнительном условии ао а) 1 — —, 0(О(1. Отсюда видно, что схема с опережением (о=!) равномерно устойчива при любых т и й. Методом функции Грина С. И. Сердюковой [2[, [3[ доказана равномерная устойчивость по начальным данным симметричной схемы (О = О,б) и схемы повышенного порядка точности (о = = '/о — Ьо( (! 2т) ) .
7. Метод энергетических неравенств. Используем описанный в гл.! метод энергетических неравенств для исследования устойчивости схемы с весами (П). Проиллюстрируем этот метод сначала на примере дифференциального уравнения. Рассмотрим задачу (1) с однородными краевыми условиями: — = —, ч-)(х, 1), О<х< 1, 0<1(Т, ) дг дх' (37) и (О, 1) = и (1, 1) = О, и (х, 0) = и, (х). Введем скалярное произведение и норму ! (и, О)= ) и(х)О(х)Нх, [[и[[ Яи, и), о где и(х) и О(х) — функции, заданные при 0 = х«1 и равные ди нулю при х = О, х = 1.
Умножим уравнение на — и проинте- дГ грируем по х от 0 до 1: В~~.(-Ф й)=( Ф) Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая равенство ди ди0 — — ~ = О, находим дГ дх [о В~~ ы~~О=~ м) Для оценки правой части воспользуемся неравенством Коши— Буняковского и е-неравенством: [ ай [~ (Вао + — Во В1 гл. и. гглвнвния с постоянными коэфенцивнтлмп д при а=1 (г. ф) <~(~, — ',",) ~<~ф~~!л<ф~+-,')л. Используя зту оценку, получим — '~~ — '"!!' '-'!!и ()!г откуда, после интегрирования по й следует - г у ! — ","' ~!! — '","' ! +~)но>го1 с =~~ — ",."'~~.
Я-- « Учитывая затем, что !!и)!с= гпах ! и(х)!<0,5!! — (!, получим ди о~х<~ дх !! и(() !!с~< 2 1 д ) ! 2 $l 2 1пах !!)(Г) !!. Получим теперь аналогичную оценку для разностной задачи (16). Введем, как обычно, скалярные произведения и нормы х-1 (д, о)= Х уооА ))Н!! Инй, (у, о) = $ уооА !! и) ! = )~(, Ш Пользуясь тождествами 2(у Р) 2уь Р 2(У У) 2уь ау + (1 — о) у = (о — 05) туо + О 5 (у + у), перепишем (1бб) в виде у, — (о — 0,5) тЛуо — 0,5Л (у + у) = ф, у(х, 0)=О, у(О, Г)=у(1, г)=0. Умножим уравнение (38) на 2ту~Ь = 2(у — у)Ь и просуммнруем полученное равенство по внутренним узлам х = й сетки гоьх 2т!!по!)о — 2(п — 0,5)то(Луь ус) — (Л(4+у), у — у)=2т(ф, у,).
(39) Пользуясь разностной формулой Грина (см. гл. 1, 2 2) (Ло, га)=(охх, оа)= — (ом газ), оо=шо — — О, ох=ган=О, е! 4 !. схемы для уРАВнения теплопэоводностн ве при о =у„н! =у, и о= о+у, !о =у — у соответственно, учитывая затем, что у,=ун =О, будем иметь (Луо у,) = — ] у,э]], (Л Ы+ у) Π— у) = — А+ уе, дэ — у;1 = — (]! уэ]]' - ]! уя]]'). Подставив эти выражения в (39), получим энергетическое тоясдество 2т(]]у!!]!+(а — 0,5)т!]у!Я]]!)+!/уэ]]'=]!уэ]]!+2т(ф, у). (40) Оно справедливо при любых а. Предположим, что а) ач Рассмотрим выражение У = 1! о 1!-'+ (а — 0,5) т]1 ОД', где о = у„ (41) и покажем, что У ) 0 при а ) аа Нам понадобится оценка (см.
гл, 1, ~ 2, п. 3) 11 оэ]Р« — !!о 1Р. (42) Итак, пусть а ) аа Тогда У =!1 о ]Р+ (а — ао)'с11 оэ]!е+ (ао 0,5) т!1 ОД~)11 о !Р— — !1 ох]1~)~ 0 в силу (42). Отсюда и из (40) следует энергетическое неравен- ство ]!Це«]]уя]]-'+2т(ф, у) при а)а,. Если ф = О, у — решение задачи (16а), то ]]уьь!]] ... «]уй]], т. е. схема (16) при а) ае устойчива по начальным данным в норме !!у]1!о = 11 уД, являющейся сеточным аналогов! нормы Во *1 Однако нас интересует устойчивость по правой части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
