Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Это неравенство имеет место и в том случае, когда А — неотрипательный оператор. Если А — самосопряженный положительный оператор и Ал существует, то можно ввести «негативную» норму ЦфЦ,- =(А 'ф, ф)'*. Покажем, что ЦфЦ вЂ” -зп 1(ф, х)1 л „ ЦхЦ Действительно, из неравенства (9) имеем !(ф. х)1-1(Л 'ф Лх)1(ЦфЦ,- ЦхЦА Следовательно, !(ф, х) 1 ЦфЦ, Ц«Ц ««о Ц" Цл ««о Цх(л зпр ф' ~знр " =ЦфЦл-ь С другой стороны, если х = А 'ф, то )(ф, х)1 (ф, А ~ф) Цл (АА ~,А ~ )' ф ф что и доказывает наше утверждение.
Для нас в дальнейшем важную роль будут играть достаточные условия существования ограниченного обратного операто. ра А-', определенного во всем пространстве Н, Ю(А-~) = Н. 21 А э. Некотоеые сведения из ФунКциОиАльнОГО АнАлизА ат Заметим, что лемма 1 и теорема 1 гарантируют существование обратного оператора, определенного лишь на Я(А) — множестве значений оператора А, которое может не совпадать с Н. Если известно, что множество значений оператора А совпадает со всем пространством Н, Я(А) = Н, то выполнение условий леммы 1 или теоремы 1 обеспечивает существование оператора А ' с л!(А-1) = Н.
В частности, положительный оператор А с Я(А) = Н имеет обратный А ' с Ы)(А-1) = Л, так как из условия (Ах, х) > О для всех х чь О следует, что Ах чь О при х еь О и потому применима лемма 1. Теорем а 4(см. Ф. Рисс н Б. Секефальви-Надь 1!)).
Пусть А — линейнь1й ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, ус!(А) = Н. Для того, чтобы оператор А имел обратный А ' с областью определения 1У!(А ') = Н, необходимо и достаточно существование постоянной 6 > О такой, что при всех х~ Л выполняются неравенства 1!Ах~!' «611х11, 1!А"х11 61)х!1. (10) При этом справедлива оценка 11А Ч! ( 1/6. Следствие.
Пусть А — положительно определенный линейнь1й ограниченный оператор с областью определения йб(А) = Н. Тогда существует ограниченный обратный оператор А ' с '-е1(А 1) = !!. В самом деле, из А ) 6Е, 6 ) О следует 11 Ах 11 !; х 11 ~> (Ах, х) ~~ 6 11 х 1(г, 11А'х)111х1!)1(Ах, х)1=1(х, Ах) ~=(Ах, х)>6!х1Р, т. е. ~1Ах11)~6!1х11, 1!А*к!1)~611х1~ и выполнены условия теоремы 4.
Для нормы обратного оператора имеем оценку 1!А-111-<1/6. 3 а м е ч а н н е. В конечномерном гильбертовом пространстве для существования обратного оператора А ' достаточно требовать положительности оператора А, так как из условия А > О следует существование постоянной 6 > О такой, что (Ах, х))~ )~ 61(х!1г для всех х. Действительно, (Ах, х) = (А,х, х), где Аь = = (А + А*)/2 — самосопряженный оператор. Поэтому (Ах, х) )~ )~ 611хР, где 6 — наименьшее собственное значение оператора А,. Число 6 не может равняться нулю в силу положительности оператора А.
Напомним, что норма оператора А определяется так: 11 А 1! = Зц р 11 Ах 11, 1х1-1 Если А — самосопряженный оператор, то имеет место формула 1!А|1= зцр 1(Ах, х)1= ецр (11) их! ! ' ПА!АЗ 1х 112 3 ГЛ. !. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Л е м м а 3. Если 5 = 5' — линейный ограниченный оператор, и) 0 — целое число, то (12) !! 5" 11 = 11 5 !!". Доказательство. Пусть а=2. Тогда !15»!1=- Енр (5»х, х) = зпр !15х!!» !15!!», !!к!!-! !!к!!=! т. е, !15»!1=-1!5!!!. Пусть формула (12) верна для и=й — 1 и и=й. Покажем, что она верна для и = й+ 1, и ) 1. В самом деле, !! 5»» !! = Енр (5»»х, х) = знр (5""'х, 5» 'х) ( !!х!!=.! !!к!!=! ч- зи р 1! 5»+ х !! !! 5» 'х !! ( !1 5»+' !! !! 5» ' !1, !! х !! ! т. е.
!! 5»" !! !! 5» ' !1> !! 5'» !! = !! 5» !!» = !! 5 !!з». Так как !! 5» =!!5!!' ', то отсюда следует!!5»е'!!)1!5!!»+!, С другой стороны, 115»е! !!(!!511»+'. Таким образом !15*+'!1=!15!!»+'. Так как формула (12) верна при и= 1 и и = 2, то она верна для любого п. Л е м м а 4. Если Л вЂ” самосопряженный положительный и ограниченный оператор, то справедлива оценка 1! Лу !!тЮ! А !ИЛу, у). (13) Так как А*=А>О, то существует оператор А~'.
Полагая о = Ану, получим (Лу, Ау) = (Ао, о) (!! Л !! !! о !(т = !! А !! (Ау, у). 3. Линейные операторы в пространстве конечного числа измерений. Рассмотрим и-мерное линейное пространство )к„со скалярным произведением (, ) и нормой 11х11= )~т(т, х) По определению конечномерного пространства любои вектор хек)к„можно единственным образом представить в виде линейной комбинации х = с!»! + ... + с $ линейно независимых векторов $» ..., Е„, образующих базис пространства )г„.
Числа с» называются координатами вектора х. В качестве базиса всегда можно выбрать ортогональную и нормированную систему векторов $!, ..., Е„, т. е, такую, что ( О, »ФФ, (ь! е») = бы = ! \ Отсюда следует, что с» = (х, $»), Пусть А — линейный оператор, заданный на )к . Каждому оператору А в базисе $„..., $ соответствует матрица а = = (аих) размером п Х и, где ак» вЂ” »-я компонента вектора А$». 3) $3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Вз Обратно, всякая матрица и = (ам), ), й = 1, „, и определяет линейный оператор. Матрица самосопряжениого оператора в любом ортонормированном базисе есть симметричная матрица.
Остановимся на свойствах собственных значений и векторов линейного самосопряженного оператора А. Собственнь(м значениел( оператора А называется такое число Л, что существует вектор Е зь О, обладающий свойством Ас = ЛЕ. Этот вектор называется собсгвеннь(м вектором, принадлежащим (соответствую щим) данному собственному значению Л. 1. Самосопряженный оператор А в (Г„имеет п взаимно ортогональных собственных векторов $(, ..., Е„. Будем считать, что все $ь нормированы к единице. Тогда Д(, ",А) = бм.
Соответствующие собственные значения расположим в порядке возрастания их абсолютных величин: [Л, [([Лз[(... ([Л„[. 2. Если линейный оператор А, заданный на й, имеет и взаимно ортогональных собственных векторов, то А — самосопряженный оператор, А = А*. 3. Если Л" =.4 ~~0, то все собственные значения оператора А неотрицательны.
4. Произвольный вектор хев(Г, можнО разлО)кить по соб. ственным векторам оператора А = Л': х= ~ ГДА, сь =(х, '„А), причем 5. Пусть А" = Л >~0 (А самосопря>кен и иеотрицателен). Тогда Л(~[х~~' ((Лх. х) .-" Л„!)х(Р и Л, 11 х [1 ~( ~[ Ах [1 ( Л„[1 х 11 для всех х ен Н, где Л) )~0, Л„)~0 — наименыпее и наибольшее собственные значения оператора Л. Норма самосопряжениого неотрицательного оператора в В„ равна его наибольшему собственному значению, [~А~~ = Л . 6.
Если самосопряженные операторы А и В перестановочны, т. е. ЛВ = ВА, то они имеют общую систему собственных функций (доказательство см., например, И. М. Гельфанд [Ц). 7, Пусть А и В перестановочные (ЛВ = ВА), самосопряженные операторы. Тогда оператор АВ имеет ту же систему собственных функций, что и операторы Л и В, и собственные значения ЛАЗ = ЛА ЛВ ° (и м) м) й = 1, 2, ..., и, где ЛА, Лв и ЛАв — собственные значения номера й операто- (А) (А) (А) ров А, В и АВ=ВА соответственно.
Имеют место также раВенства ЛА+в = ЛА + Лв ' (М (А) ПЧ Глава П РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В этой главе изучаются разностные схемы для простейших нестацианар. ных >равнений: одиомернага уравнения теплопроводнасти и уравнения колебаний струны. Построены двухслойные и трехслойиые схемы с погрешностью аппроксимации 0(т Ч- )Н), 0(т' + й') и 0(тт + й') для первой, второй и третьей краевых задач. Излагаются два способа исследования устойчивости разиастных схем: метод разделения переменных и метод энергетических не. равенств, й 1.
Уравнение теплопроводиостн с постоянными коэффициентами Для выяснения методов построения разностных схем в случае нестационарных задач, а также методов их исследования рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами. 1. Исходная задача.
Процесс распространения тепла на прямой описывается уравнением теплопроводности (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский (6)) где и = и(х, () — температура, с — теплоемкость единицы массы, р — плотность, й — коэффициент теплопроводности, у — плотность тепловых источников, т.е. количество тепла, выделяющегося в единицу времени на единице длины. Коэффициенты теплопроводности и теплоемкости могут зависеть не только от х, А но и от температуры и (в этом случае уравнение называется ква- з ь схимы для тпхвнвния твплопповодности 7! зилинейным). Если Й и ср постоянны, то уравнение (1) записывают в виде ди з д'и - з а У вЂ” =а' — + у, а'= —, ду дк' ' ср ' ср ' (2) где ат — коэффициент температуропроводности. Без ограничения общности можно считать а = 1 и записывать уравнение (2) в виде ди д~и (3) В самом деле, вводя х' = х/а и вновь обозначая х' через х, получим (3).
Если ищется решение уравнения (2) на отрезке 0 <х ~У, то обычно пользуются безразмерными переменными х' = х/у, у' = а'у/уз. В зтнх переменных уравнение (2) записывается в виде (3), причем 0 <х' <1, а / = У'у/а'. Мы будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения (3) в прямоугольнике УУ=(0 <х< 1, 0 < / < Т). Требуется найти непрерывное в 5 решение и = и(х, У) задачи — = —,~-У(х, У), 0<х<1, 0<У<Т, и (х, 0) = из(х), О < х < 1, и(0, У)=и,(У), и(1, У)=и,(У), 0</ <Т.
2. Семейство шеститочечных схем. Введем сетки й„=(х;=Уй, 1=0, 1, ..., М), ге„=(Уу — — ут, у-О, 1, ..., у,) и сетку в Б: й„,=йа Х о,=((/й, ут), У=О, 1, ..., М, у=О, 1, ..., /з) с шагами Ь = 1/М и т =Т/у;. Обозначим через рУ значение в узле (хп у,) сеточной функции у, определенной на йь и Замеди д~я няя производную — первой разностной производной, а — ,— второй разностной производной их, и вводя произвольный вещественный параметр о, рассмотрим однопараметрическое семейство разностных схем и!+~ иу = Л (оуу+'+ (1 — о) уу~) + <ру, 0 < у < М, 0 (~ у < ум (4) Схему (4) будем называть иногда схемой с весами.
72 Гл, и. уРАВпепыя с постоянными коэ~ьФициептхми м Краевые н начальные условия аппроксимируеы точно уУ = иУ„уУ =иУ, у7 = у (хп О) = и, (х,). (5) (6) Здесь я~У вЂ” сеточная функция, аппроксимирующая правую часгь У уравнения (3), например, (Р,' = У (х1 УУ+о ь) У ео; = УУ+ 015т, а Лу,=у . =-(у,,-2у, „. ),УУ,ь. РазностЯУю задачУ, опРеделиемУю УсловиЯми (4) — (6) буде называть задачей (П). Разностная схема (4) написана на шестнточечном шаблоне, состоящем нз узлов ( УР„) (, УУ+,), (, „У,), (х„УУ) (см. рис. 5,в) с центром в точке (хь УУ+,). Уравнение (4) пишется в узлах (х„Уу+~), У = 1, 2, ..., УУ вЂ” 1, у'+ 1 = 1, 2, ..., Ум называемых внутренними узлами. Множество всех внутренних узлов сетки йх, будем обозначать ььь =((хь Уу) 1~~(~пУ 1 1~!~!о).
Краевые и начальные условия (5) и (6) пишутся в гранич'- ных узлах сетки йА,. Множество узлов сетки йь„лежащих на прямой У = У,, обычно называют слоем. Схема (4) содержит значения искомой функции у на двух слоях и поэтому называется двухслойной схемой. От выбора параметра а, как мы убедимся в дальнейшем, зависят точность и устойчивость схемы (4). Рассмотрим схемы, соответствующие частным значениям и. При о = О получаем четырехточечную схему (рис. 5,а) УУь! У = ЛуУ+ ч>~У, или у +' = (1 — 2у) уУ+ у(уУ, + уУ,) + прУ, у = тУУьь, (7) определенную на шаблоне (хь Уу+,), (хи У,), (хсьи У;). Значение уУ+' в каждой точке слоя У = Уу+, (нового слоя) выражается по явной формуле (7) через значения уУ на слое У Уу (на старом слое).
Так как при У = 0 задано начальное значение уь и,(х,), то формула (7) позволяет последовательно определить значения у на любом слое, Схема (7) называется явной. 1. схемы для уРАВнения теплопРОВОдности тз Если ОФО, то схема (4) называется неявной двухслойной схемой. При оФ 0 для определения у!+' На новом слое получаем систему алгебраических уравнений ОЛу,'+' — — у(+! = — Е,', Р,' = — у! + (! — о) Лу! + ф!, (8) ! +! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
