Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Гиперболическое уравнение вто- рого порядка: —,= —,+7(х, (), 0 х<1, 0<(((о, и (О, () = ггг ((), и (1, () = гг, ((), и(х, 0) - и,(х), дг' = йо(х). ди (х, 01 (41) Очевидно, что при аппроксимации задачи (41) особое внимание следует обратить на запись в разностном виде начального услоди вия для производной дг ' Пусть дана равномерная по х и ( сетка оог„с шагами й и т (см. п. 1). Если мы воспользуемся простейшей аппроксимацией и,(х, 0) = й,(х), то погрешность аппроксимации будет величиной 0(т). Представим и, (х, 0) в виде и (х, х) — и (х, 0) ди (х, 0) + х д'и (х, 01 х дг 2 дн Обратимся теперь к исходному дифференциальному уравнению и найдем д'и (х 0) др дхг +г (х~ 0) = х ио(х) + г (х, 0), г ио = — г дои (х, 0) дгио(х) так как „,' =, —.
Отсюда следует, что и,(х, 0) — 0,5т(йи,+1(х, О)) = ддгиг(х'О) ( 0(то) т, е, выражение, стоящее слева, аппроксимирует производную — при х=О с точностью 0 (Ь'). дх ди 1 и (О, г+ о)-и (О, г) Заменяя — ~ разностной производной иь.= дг),, получим разностное краевое условие нри х = 0: у, о = 0,5йуг, о+ пу„— р„р, = )гг + 0,5Ь( (О, г). (39) Оно имеет аппроксимацию 0(йо + т') на решении задачи (37). В случае неявной схемы 4 ь основныв понятия — ',", = —,"",+)(х, Г), О«. (, О<Г==йл и(х, 0) = и,(х), и(0, г) = и,(г), и(1, г) =и,(Г).
(42) Для решения уравнения теплопроводности (42) часто приме. няются так называемые трехслойные схемы, использующие значения сеточной функции у'-'(х), ув(х), узэ'(х) на трех временных слоях !!-ь !ь Гвен Например, трехслойная симметричная схема на равномерной сетке ыи, с шагами Ь н т выглядит следующим образом: /е| з ' — — Л(пувы+(! — 2о)у!+оу1-~)+ рI, ув = и (х ) у! = и! у! и! (43) где Лу = ух„, а — вещественный параметр, ф = )(хь г;). Так как центральная разностная производная по ! аппроксимирует — ~ со вторым порядком по т, а Ли= —,+0(Ь), ди ! д'и 2 д! ! дхл то схема (43) аппраксимирует уравнение (42) с 0(Ь'+ т').
Нетрудно, однако, заметить, что задача (43) недоопределена. Для применения трехслойной схемы требуется задать еще одно начальное условие, например, задать у(х, г) на первом слое, Естественно потребовать, чтобы введение этого условия сохраняло аппроксимацию 0(тв.+ Ь'). Поэтому разностное начальное условие у,(х, 0) = йв(х), где й,(х) = й,(х)+ 0,5т(й.ив+7(х, 0)), ди (х, О) аппрокснмирует на решении задачи (4!) условие ' =й,(х) со вторым порядком по т. Условие и(х, 0) = и,(х) и краевые условия в данном случае аппроксимируются точно.
В качестве разностной аппроксимации уравнения можно взять, например, одну из схем, рассмотренных в п. 2, Из предыдущего изложения следует, что при повышении порядка аппроксимации краевых и начальных условий мы сушественно использовали существование и непрерывность производных, входящих в уравнение, на границе области (при х = 0 или ! = 0), а также существование и ограниченность третьих производных решения. Пример 4.
Трехслойная разностная схема для у р а в н е н и я т е п л о и р о в о д н о с т и. Рассмотрим первую краевую задачу Гл. !, пгедВАРгстельсгые сведения с"гонгно указать два способа задания у(х, т). Первый способ состоит в том, что мы делаем первый шаг по двухслойной схеме о У У ~ Л(уг сгуо)4, о обеспечивающей определение у(х, т) с точностью 0(т'+ Й'). Второй способ состоит в том, что мы ищем значение у(х, т) в виде у(х, т) = ссо(х) + тр(х) и подбираем р так, чтобы погрешность у(х, т) — и(х, т) не превосходила 0(т'+ Ч).
Подставим в формулу ди т' дси ) и (х, т) — ио(х) = т — + — —,! + 0 (то) дг с=о 2 дм ~с-о ди ~ значение — ~, исходя из дифференциального уравнения дг ~с-о — = с'.ио + с' (х, 0), био = Тогда получим р= био+7(х, 0), и, следовательно, у(х, т) = и (х)+ т(и,",(х)+Г(х, 0)).
7. Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем. Использование разностных схем позволяет свести решение задачи для дифференциального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений. При этом правые части уравнений, краевые и начальные данные, которые мы будем в дальнейшем называть одним общим термином — входные данньсе— задаются с определенной погрешностью. В процессе самого численного решения системы также неизбежны ошибки, связанные с округлением. Естественно потребовать от разностной схемы, чтобы малые ошибки, допущенные во входных данных, не нарастали в процессе вычислений и не приводили к искажению решения.
Схемы, которые в процессе счета усиливают начальные погрешности, именуются неустойчивыми н не могут быть использованы на практике. Прежде чем дать определение устойчивости разностной схемы по входным данным, к понятию которого мы интуитивно подошли, приведем несколько примеров. Пример 1. и'= — аи, х>0, и(0)=и,, а>0, (44) Точным решением задачи (44), как нетрудно видеть, является функция и(х) = иое-" .
Задачу (44) на равномерной а 1. Основпыь понятия 39 сетке ыо = (х, = Й, )' = О, 1, ...) аппроксимирует разностная задача (у) — у) ))/Ь+ау)=О, уо — — ио, 1=1, 2, ... (45) Задачу (45) можно переписать в виде у;=зу; „э=1Е(1+аЕ)), 1=1, 2, ..., Уо — — ио. Отсюда следует У) = з Уо. Рассмотрим фиксированную точку х и выберем такую последовательность шагов Ь, чтобы х все время оставалось узловой точкой, х = Еой. Тогда при измельчении сетки, й- О, номер Ем соответствующий выбранной вами точке х, неограниченно возрастает.
Вычислим значение у в этой точке — — еи )а ау и ' о о. В силу разложения !па = — !п(1+ай) = — йа(1+ 0(й)), имеем у е-ьа)л)ао )ы) у е — аз))оо(й) у е-аз (! .! 0(й) ) о а о Из последнего равенства видно, что решение разностной задачи (45) непрерывно зависит от начальных данных. В таких случаях будем говорить, что разностиая схема устойчива по начальным данным.
Пример 2. Неустойчивая схема, Для задачи (44) рассмотрим схему о а -!-(1 — о) ' а -(-ау) = О уо = ио у, = ио, (46) ") -) уьь) 1=1,2,..., где о ) 1 — числовой параметр, Так как схема трехточечная (разностное уравнение имеет второй порядок), то помимо уо, следует задать уь При любом о схема (46) имеет, по крайней мере, первый порядок аппроксимации. Вели положить йо = = (1 — ссй)ио, то й, — и(й) = 0(йа), Частные решения разност. ного уравнения (46) ищем в виде у; = з', Подставляя у; = з' в (46), получим для з квадратное уравнение (о — 1) зз — (2о — 1 + ай) з + о = О, которое имеет два различных корня 2о -! + аа ва 1' ) + 2 (2а — ! ) аз+ ада 2 (о — )) 40 гл.
ь пеедвлеительныв сведения Общее решение уравнения (46) имеет вид у, - Лз', + Вз,'. Полагая 1 = О и ! = 1 и учитывая, что уз = ио, у1 = ие, найдем постоянные Л и В; А= но — яри0 з1 юг Предполозким, что аЬ « 1. Тогда получим з1 = — ! (1+ аЬ+ 0(Ь )), з, = 1 — аЬ + О (Ь'). Как н в рассмотренном выше примере, зафиксируем точку х и выберем последовательность сеток ак таких, чтобы х = 14Ь. Нетрудно видеть, что з" = ( ) ' е" (1 + О (Ь)), з,' = е-" (1 + О (Ь)), т.
е нк — Л ~ ~ ) еях(! ! О(Ь)) ! Ве-ах(1.! О(Ь)) Так как о ) (о — 1), то при Ь- О первое слагаемое неограниченно возрастает. Не спасает положение и выбор из=из(1 — аЬ), при котором Л = (о — 1)0(Ьз), поскольку функция Ь"ехм- оо при любом конечном показателе и > О. Можно, наконец, выбрать из так, что А = О. Для этого достаточно положить йз = = из з,. Однако в процессе вычислений из-за ошибок округления, решение з', неизбежно появляется, что приводит к неустойчивости указанного типа.
При фиксированном Ь эта схема приводит к нарастанию решения с ростом х, = 1Ь. Сгущение сетки (уменьшение Ь) приводит к нарастанию ошибок. Малое изменение начальных данных приводит при Ь- О к неограниченному возрастанию решения задачи в любой фиксированной точке х. Разобранные примеры позволяют сделать вывод, что понятие устойчивости по входным данным совпадает с понятием непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных при Ь- О. 8.
О понятии корректности разностной задачи. Применительно к задачам математической физики принято говорить (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6)), что задача поставлена корректно, если выполнены два условия: 1) задача однозначно разрешима при любых входных данных из некоторого класса, 2) решение задачи непрерывно зависит от входных данных. л ь основныв понятия Аналогично определяют понятие корректности разностной задачи, Пусть ул — решение, а фл — входные данные некоторой разностной задачи.
Они зависят от параметра Ь (шага сетки). Меняя й, мы получим последовательности решений (ул) и входных данных (фл). Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра Ь. Понятие корректности вводится для семейства разностных задач (схем) при (Ь( - О. Будем говорить, что разностная задача (схема) корректна, если при всех достаточно малых ~6) 4 Ьл. 1) решение у» разностной задачи существует и единственно для всех входных данных фл из некоторого допустимого семейства, 2) решение ул непрерывно зависит от фгн причем эта зависимость равномерна относительно Ь.
Более точно, второе условие означает, что существует такая постоянная М ) О, не зависящая от Ь, что при достаточно малом )6) ( 11» выполняется неравенство "" ('л) ~ Р» Рл (»»1' (47) где ул — решение задачи с входными даннымн ф», а 11 1(, 1 и )1 ° 11(, — нормы на множестве сеточных функций, заданных на сетке ы» Свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных, выраженное неравенством (47), называется устойчивостью схемы по входным данным или просто устойчивостью. Пусть дана непрерывная задача (см, (25) — (26)) йи =1(х) при х я 6, 1и = 1»(х) прн х ~ 1', (48) и пусть на сетке й»= ил+ ул ее аппраксимирует разностная задача йлу» = фл при х ~ ал, 1»у» = 1»» при х еп у». (49) Задача для погрешности гл = ул — ию где ил — значение (проекцня) решения и задачи (48) на сетке ол, имеет вид Т.»г» =- ф» при х еп гл», 1»гл — — тл при х еи ул, (50) где ф», т» — погрешности аппроксимации уравнения и дополнительного условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
