Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поскольку мы рассматриваем лишь простейшие схемы для уравнений второго порядка, то при решении разностных уравнений используется лишь алгоритм одномерной прогонки (для систем алгебраических уравнений с трехдиагональиой матрицей). Для теории разностлых схем типично предположение о том, что решение исходной задачи для дифференциального уравнения существует и имеет нужное по ходу изложения число производных, обеспечивающее максимальный порядок аппроксимации. Мы не останавливаемся на перечне условий, обеспечивающих требуемую гладкость решения, отсылая читателя к книгам по пгедисловнв общей теории дифференциальных уравнений.
Предполагается, что читатель знаком с основами университетского курса теории уравнений в частных производных и элементами функционального анализа. Перечень некоторых сведений из функционального анализа в форме, удобной для дальнейшего использования, дан в главе 1. Понятия аппроксимации, устойчивости и сходпмости поясняются в главах 1, П на примерах разностных схем для стацно. парных и нсстационарных задач теплопроводности (диффузнн).
В главе 1!1 излагается теория однородных разностных схем для стационарных и нестационарных одномерных задач теплопроводности с разрывными коэффициентами, а также для одномерного уравнения колебаний. При помощи разностной функции Грина, принципа максимума и энергетического метода проводится исследование порядка точности однородных схем в различных классах коэффициентов дифференциального уравнения В главе 1Ч изучается разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области, а также разностные аппроксимации для эллиптических операторов с переменными коэффициентами. В главах Ч, Ч! дается изложение теории разностных схем на языке функционального анализа.
Характерной чертой излагаемой теории разностных схем является то, что она позволяет не только дать обоснование имеющихся разностных схем (доказать их устойчивость, сходнмость, получить оценку порядка точности и т. д.), но и позволяет сформулировать общие принципы построения разностных схем заданного качества для решения различных классов задач математической физики. Разностные схемы трактуются как операторные нлн опера- торно-разностные уравнения с линейными операторами„зависящими от параметра л (аналога шага сетки) н заданными на абстрактном линейном нормированном пространстве любого числа измерений. Ключевым понятием теории разностных схем является устойчивость. Поэтому основное внимание в главе ч'1 уделяется изучению устойчивости двухслойных и трехслойных разностных схем в гильбертовом пространстве. Найдены эффективные до- ПРЕДИСЛОВИЕ статочные условия и получены априорные оценки, выражающие устойчивость двухслойных и трехслойных схем.
Сформулированы в проиллюстрированы на ряде примеров правила проверки устойчивости конкретных разностных схем. Достаточные условия устойчивости позволяют формулировать общий принцип регулярнзацнн схем для получения разностных схем заданного качества. В главе Р'11 суммированы результаты многочисленных исследований, посвященных экономичным методам решения многомерных задач математической физики. Экономичные схемы для нестапионарных задач делятся на две группы: !) факторизованные схемы, обладающие аппроксимацией в обычном смысле, 2) аддитивные схемы, которые представляют собой систему.
простых промежуточных схем, осуществляющую переход со слоя! на слой 1+ 1, н аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение в суммарном смысле. Для каждого типа схем указаны методы исследования аппроксимации и устойчивости. В главе Р'1П дано изложение итерационных методов решения уравнений Аи = 1, где А — линейный (не обязательно самосопряженный) оператор в гильбертовом пространстве.
Теория итерационных методов трактуется как раздел общей теории устойчивости операторно-разностных схем (двухслойных н трехслойных). Основное внимание уделяется получению эффективных оценок скорости сходимости итераций и выбору оптимальных параметров. В 5 1 гл. Р'111 дано изложение методов переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле и указаны оптимальные наборы итерационных параметров. Мы ограничились, в основном, изложением теории разностных схем для линейных уравнений.
В этом случае теоретическое исследование можно провести с достаточной полнотой. В тексте приведены некоторые схемы для квазилинейных уравнений параболического типа. В конце книги дан список литературы, не претендующий на полноту, но позволяющий читателю получить более полное представление об объектах и методах исследований, проводившнхоя большим числом авторов. !о пРедислОВие В основу книги положены лекции, читавшпеся автором в 1960 — 1970 гг. в Московском государственном университете им.
М. В. Ломоносова для студентов физического и механико- математического факультетов. Прп написании текста использовался также конспект лекций в Летней школе по численным методам в г. Киеве (1966). Этн лекции были изданы на ротапринте в !969 г. (А. А.
Самарский, Лекции по теории разиостных схем, издание Вычислительного центра АН СССР, Москва, 1969 г.). Считаю приятным долгом выразить благодарностьмоемуучителю Андре1о Николаевичу Тихонову, многолетняя совместная работа с которым способствовала определению содержания и характера изложения теории разностных схем. С признательностью отмечаю помощь, которую оказали при оформлении конспекта лекций в Летней школе В. Б.
Андреев, А. В. Гулин, Л М, Дегтярев, Т. С. Иванова, И. Н. Молчанов, Ю. П. Попов, В, Г Приказчиков, А. П. Фаворский, И. В. Фрязинов. Глубокую благодарность выражаю А. В. Гулину н И. В. Фрязинову за большую помощь, оказанную ими при подготовке к печати этой книги, А. Самарский ОСНОВНЪ|Е ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЪ|Е В КНИГЕ юа =-(х =1л, Ь>0, 1=1, 2, . „!т' — 1, ЬМ 1) — равномерная сетка на интервале (О, 1), й =(х.
= !А Ь>0, ! =О, 1,..., Л!, лЖ=1) — равномерная сетка на а ! отрезке (О, 1), Л вЂ” шаг сетки ы, а х =.т,. — узел сетки ез, а у = у; = у (х!)- Функция, заданная на ы», Ух =(Узт! — У!)/1! — пуаван Разиостнаа пРоиэводнаЯ в точке х., ух=(у, — у, !)/Ь вЂ” левая разностная производиаи в точке хн ух„ = (у,.„, — 2У,. + у! !)/Из — вторая разиостпая производная в точке х! йа = (хе!и (О, 1), 1 = 1, 2, ..., !т' — !) — неравномерная сетка на интервале (О, 1), сов =(х,.зы(0, 1), т-О, 1,..., У, хо О, х, 1) — неравномерная сетка на отрезке [О, 1), 1! =х — х.
— шаг сетки й, з-! а О! = 0,0 (лз+ ьз„,), у„=. (Уе„, — у!)/а „, ух = (у! - у! !)/От, Скалярные произведения н нормы на сетке: %-! (у, о) ~ ур,.а, !!у!! =р (у, у), ! ! и (у, о] = ~ у!о!А !!У)!-)' (у, у), !!у!!с= "!У(')! х! нь и-! ! ! !!Ф!! - ~Р, а ~ ~ч', дфа з-! а-! !1„!!,„= ~Ь ~др, ОСНОВНЫВ ОБОЗНАЧЕ1Н!Я, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ в (1)-)т, т>О, )-О, (,...) — временная сетка, т — шаг сетки вт, у у) у(!)) — функция, заданная на в, Ф-у)+'-д(()+ ), у'-д '-д(г)- ), ут - (у — у)т'т, дт - (у — И)т, уз - (у — у'»(2т), д 1 (д — 2у+ ут")ттз, х х - (х(т '), ..., х( а), ..., х( Р)х~ — узел р-мерной сетки ва, х(та) Ь вЂ” шаг сетки та по направлению и, а з Х( а)=(Х(') ...
Х(а) ШЬ,... Х(Р)), ( а) у(.( а)) д,. - (у('") — у)~(1„. дя -(д — д( ))/В„ + а ) 2 д + д ( ) ) / (з — множество функций, заданных на некоторой сетке шихся в нуль па ее границе, Н вЂ” гильбертово пространство, (у, о) — скалярное произведение элементов у,пен Н, ЯР(А) — область определения оператора А, йс(А) — множество значений операторз А, Š— единичный оператор, А: Н-+Н вЂ” оператор А с йт (А) = Н и ат (А) ен Н, А" — оператор, сопряженный оператору А, А ' — оператор, обратный оператору А, Š— оператор перехода, Т вЂ” разрешающий оператор, А > Π— положительный оператор, А > Π— неотрицательный оператор, А > ЬЕ, д > Π— положительно определенный оператор, ))У((А )' (АУ, у), У™Н, ))ф(( 1 )т (А 'ф, ф), фшН. прнмоугольиой ва и обращаю- ()д() ) (у, д), Глава 1 ПРЕДВДРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕ11ИЯ Настоящая г.чана носит вводный характер.
В Я 3, 2 ва простейших примерах поясни~отса основные понятия теории разиостпых схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость и дается представление о некоторых методах исследования усгойчявостн и сходимости, таких как метод разделения переменных, принцип максимума, метод энергетических неравенств.
В й 3 изложены необходимые для дальнейшего вспомогательные сведения из функционального анализа. 5 1. Основные понятия 1. Сетки и сеточные функции. Для того, чтооы написать разностную схему, приолиженно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно совершить следующие два шага. 1. Необходимо заменить область непрерывного изменения аргумента областью дискретного его изменения. 2. Необходимо заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором, а также сформулировать разностный аналог для краевых условий и для начальных данных. После осуществления такой процедуры мы приходим к алгебраической системе уравнений.
Таким образом, задача о численном решении исходного (линейного) дифференциального уравнения сводится к вопросу о нахождении решештя полученной алгебраической системы. Остановимся на этих вопросах несколько подробнее. При численном решении той или иной математической задачи мы, очевгтдно, не можем воспроизвести разностное решение для всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой области евклидова пространства. Естественно поэтому выбрать в этойобластинекотороеконечное множество точек и приближенное решение искать только гл, г. певдвхшгтьльпые сведшгия в этих тогках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
