Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Такое множество точек называется сетой. Отдельные точки называют узлалги сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Таким образом, мы заменили область непрерывного изменения аргумента сеткой, т, е, областью дискретного изменения аргумента; иными словами, мы осуществилн аппроксимацию пространства рецгений дифференциального уравнения пространством сеточных функций. Свойства разностиого решения и, в частности, его близость к точному решению зависят от выбора сетки.
Рассмотрим несколько примеров сеток. П р и м е р 1. Р а в н о м е р н а я с е т к а на о т р е з к е. Разобьем единичный отрезок [О, Ц на >У равных час~ей. Расстояние между соседними узлами хг — х,, = й = 1//г> назовем шагом сетки. Точки деления х; = гп — узлы сетки. Множество х'г> йхг хл" аг" хи=/ а всех узлов гвг, = (х, = гп, г = = 1, 2, ..., >У вЂ” Ц и составляет Рис. !.
сетку (рис. 1), в данном случае введенную па отрезке. В это множество можно включить граничные точки х, = О, хн = !. Обозначим йл= (х; = г/г, г = О, 1... /гг — 1, Л>). На отрезке [О, Ц вместо функции непрерывного аргумента у(х) будем рассматривать функцию дискретного аргумента у>,(х,). Зггачеггия этой функции вычисляются в узлах сетки хь а сама функция зависит от шага сетки /г какотпараметра. Пример 2.
Равномерная сетка на плоскости, Рассмотрим множество функций двух аргументов и(х, /). В качестве области определе- л',/~ ния выберем прямоугольник У = (О ( х (!, 0 ~ ! ( Т). Разобьем отрезки [О, Ц оси Рис. 2. х и [О, Т) оси ! соответственно на /уг и Мс частей; пусть /г = 1/Лгг, т = Т/1Чь Через точки деления проведем прямые, параллельные соответствующим осям, В результате пересечения этих прямых получим узлы (хо />), которые и образуют сетку (рис.
2) ь>лт = ((хг /г) ен а)) Эта сетка имеет шаги /г н т соответственно по направлениям х и й Соседними узлами сетки называются узлы, лежащие на од- т ! ООНОвыые пОнятия ной и той же прямой (горизонтальной или вертикальной), расстояние между которыми равно шагу сетки (Й нли т). Пример 3.
Неравномерная сетка на отрезке, Рассмотрим отрезок О 4 х < 1. Вводя произвольные точки 0 < х! < х2 « ... хх ! < 1, разобьем его на Ф частей. М(ножство узлов (хь! = О, ..., М, хс = О, х, = 1) образует неравномерную сетку ео„[0, 1]. Расстояние между соседними узлами — шаг сетки, — равно 12; = х! — х, ! н зависит уже от номера ! узла, т. е. Является сеточной функцией. Шаги сетки удовлетворяют условию нормировки ~ /!!= 1. 2-! Пример 4. Сетка в двумерной области.
Пусть на плоскости х = (хьхе) дана область 6 сложной формы с границеи Г. Проведем прямые х!22а =- 2,12, !', = О, 2-1, ч-2,, й, > 0; х22п = !.,6,„2, = О, ч-!, ч-2, ..., 02) О. Тогда на плоскости (х,,х,) получим сетку (решетку) с узлами (22йь 22й,), 2Н 22 = О, ч-1, -2-2, ... Эта решетка равномерна по ка- -р ждому из направлений Ох, и Охз. Нас интересуют только те узлы, которые принадлежат области 6 = 6 + Г, включая границу Г. Те узлы Е (22й2, 2262), которые попали внутрь 6, назовем внугренниз2и, а их совокупность обозначим сс2, (рис. 3). Рассмотрим точ- Х/ ки пересечения прямых х!'1=! й и х221=!.й, ! ! ! 2 2 2' 2! 22 = 0 ч- 1 ч 2, ... с Рис.
3. границей Г; эти точки назовем граничнь!мн узлами, а множество всех граничных узлов обозначим ум На рис. 3 знаком Х обозначены граничные узлы, а значком .~ — внутренние узлы. Из рис. 3 видно, 2то имеются граничные узлы, которые отстоят от ближайших к ним внутренних узлов на расстоянии, меньшем й, или й2.
Таким образом, хотя сетка на плоскости и равномерна по х, и х2, но сетка гас = ать+ уь для области 6 неравномерна вблизи границы. Более подробно эта сетка будет рассмотрена в гл. !Ч. Итак, область 22 изменения аргумента х мы заменяем сет- кой йм т. е. конечным множеством точек хн принадлежащих 6. ГЛ. Е ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Вместо функций и(х) непрерывного аргумента х ~ 6 будем рассматривать сеточные функции у(х,), т.
е. функции точки хь являющейся узлом сетки йе = (х,). Сеточную функцию у(х;) можно представить в виде вектора. Если перенумеровать все узлы в некотором порядке хь хм ..., хи, то значения сеточной функции в этих узлах можно рассматривать как компоненты вектора р~ Рл рм Если область 6, в которой построена сетка, конечна, то размерность Н вектора У конечна. В случае неограниченной области 6 сетка состоит из бесконечного числа узлов и размерность вектора У также бесконечна. Обычно рассматриваются множества сеток (мь), зависящих от шага.
Й как от параметра, Поэтому и сеточные функции уе(х) зависят от параметра Й (или от числа узлов Н в случае равномерной сетки). Если сетка газ неравномерна, то под Й следует понимать вектор Й = (Йь Йм ., Йм) с компонентами Йь ..., Йи. Это же замечание относится и к случаю, когда область 6 многомерна, х = (хь ..., х„); иногда Й = (Йь Йз, ..., Й„), если сетка аь равномерна по каждому из аргументов хь хм ..., х . Функции и(х) непрерывного аргумента к еи 6 являются элементами некоторого функционального пространства Нм Множество сеточных функций ре(х) образует пространство Не. Таким образом, используя метод конечных разностей, мы заменяем про.
странство Н, пространством Н„ сеточных функций уь(х). Рассматривая множество сеток (ве), получаем множество (Н„) пространств сеточных функций, зависящих от параметра Й. Е(а линейном пространстве Н„вводится норма (! !!ж являющаяся сеточным аналогом нормы !! !1, в исходном пространстве Нв Укажем простейшие типы норм в Не для случая сеток ыь = = (х; = И) на отрезке 0 (х < 1 (индекс Й у уь опускаем). 1) Сеточный аналог нормы в С: (!у!!с= птах ! р(х) ! или (!у!!с= шах !у, !. х е а» ожгли 2) Сеточные аналоги нормы в Ем (в-~ ~'д !! р (!= ~~ у',.Й ! или (! р)! = ~~~з„у';.Й~ В дальнейшем будем, как правило, пользоваться нормами, индуцированными скалярными произведениями на Нк (сеточными аналогами норм в Т.м Ч~'з и др.), о с. основные понятия 17 Пусть сс(х) — решение исходной непрерывной задачи, и ~ Но, ул — решение приближенной (разностной) задачи, улан Нл.
Основной интерес для теории. приближенных методов представляет оценка близости ус, к и. Однако ул и и являются векторами из разных пространств, Имеются две возможности: Е Сеточная функция ус„заданная в узлах осс,(6) доонределяется (например, при помощи линейной интерполяции) во всех остальных точках х области 6. В результате потучаем функцию у(х, сс) непрерывного аргумента х ен 6.
Разность у(х, й) — и(х) принадлежит Н,. Близость ул к и характеризуется числом !! у(х, )с) — и(х) !!о, где !! !)о — норма на Но. 2. Пространство Но отображается на пространство Нл. Каждой функции и(х) ен Н, ставится в соответствие сеточная функция ис,(х), ха мы так что ил = уолсс он Нл, где Ул — линейный оператор из Н, в Нл. Это соответствие можно осуществить различными способами (выбирая разные операторы Ус,). Если и(х) — непрерывная функция, то полагаем ил(х) = и(х), где х ен сос,. Иногда определяют ил(х;) в узле хс я свл как интегральное среднее значение и(х) по некоторой окрестности (например, диаметра 0(й)) данного узла х; ен сол.
В дальнейшем всюду будем предполагать, что и(х) непрерывная функция и ил(хс) = = и(хс) для всех хс ен осл. Имея сеточную функцию им образуем разность ул — ис„являющуюся вектором пространства Нл. Близость ул к и характеризуется числом !!ул — ил!)л, где !! !!л — норма на Нм При этом естественно требовать, чтобы норма !!.!!л аппроксимировала норму !! !!о в следующем смысле: (с щ (! ил !!л = !! и !!о л -+о для любого вектора и из Но. Это условие будем называть условием согласования норм в Нл и Но. Мы всюду используем второй путь, исследуем погрешность разностных методов в пространстве сеточных функций. В большинстве случаев эти пространства являются конечномерными.
Как будет показано в дальнейшем, оказывается возможным провести изложение основных вопросов теории разностных схем, трактуя Нл как абстрактные линейные пространства любой размерности. После того, как мы познакомились на простейших примерах со способами построения сеток и тем самым пространств Нл сеточных функций, перейдем к вопросу о разностной аппроксимации дифференциальных операторов. 2.
Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Пусть дан дифференциальный оператор Л, действующий на функцию и = и(х). Заменяя входящие в Ьо ГЛ. >. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ (в производные разностными отношениями, мы получим вместо Т.о разностное выражение ь>,о>„являющееся линейной комбинацией значений сеточной функции о« на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном: Т.«о«(х)= ~ А„(х, «)о>,(«) $~Ш(х> или (й«о«) = 1 АА(х> х()о«(х() х м В> (х>) с (х) — Р (х — Ь) (.А О вы л = ох (2) Выра>кение (1) есть правая разностная производная (ее мы бУдем обозначать ох), а (2) — леваЯ РазностнаЯ пРоизводнаЯ (обозначение ох). Разностные вых х п ю ражения у.«ео и (.Ао определены на двух точках (имеют двухточечные шаблоны х, х+ («и х — й, х соответственно, см.
рис. 4). Кроме того, в качестве разностной аппроксимации производ>(с иой — можно взять линейную комбинацию выражений (1) лх и (2) Й)мо — = аох+ (1 — о) ох, Рис. 4 где А>,(х, 2) — коэффициенты, й — шаг сетки, Ш(х) — шаблон в точке х. Такая приближенная замена с.о на Т.«о« называется аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором (или разностной аппроксимацие>! оператора (), Изучение разностных аппроксимаций оператора Е обычно проводят локально, т. е.
в любой фиксированной точке х про странства. Если о(х) непрерывная функция, то оь(х) = о(х). Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора (., необходимо выбрать шаблон, т. е. указать множество соседних с узлом х узлов, в которых значения сеточной функции о(х) могут быть использованы для аппроксимации оператора 1.. В этом пункте рассматриваются примеры разностной аппроксимации для простейших дифференциальных операторов. ЛР Пример 1. 1.о = — . лх ' Фиксируем некоторую точку х оси Ох и возьмем точки х — й и х+ й, где й ) О. Для аппроксимации (.о можно воспользоваться любым нз следующих выражений (1) з 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
