Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Схемы расщепления как факторизованные схемы (374). 5. Трехслойные факторизованные схемы (376). 6. Схема повышенного порядка точности для уравнения параболического типа с эллиптическим оператором, содержащим смешанные производные (381). 7. Экономичные схемы для систем уравнений параболического и гиперболического типов (387). (~ 3. Метод суммарной аппроксимации 1. Составные схемы. Суммарная аппроксимация (394). 2. Методы построения аддитивных схем (397). 3 Аппроксимация «многомерной» задачи Коши системой «одномерных» задач Коши (400).
4. Методы оценки сходимости аддитивной схемы (407). 5. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности в произвольной области (413). 6. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы (417). 7. Устойчивость локально- одномерной схемы (418). 8.
Равномерная сходимость локально- одномерной схемы (423). 9. Локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами (425). 10. Продольно- поперечная схема как аддитивная схема (427). 11. Локально- одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения второго порядка (429). 12. Аддитивные схемы для систем уравнений (438). Задачи к главе Ч11 Глава У111.
Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений 8 1. Двухслойные итерационные схемы для разностной задачи Дирихле 1. Итерационные схемы (449). 2. Схема простой итерации (явная 351 356 356 367 394 443 449 449 схема) (454). 3. Неявный метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) (457). 4. Выбор итерационных параметров (461). 5.
Итерационная схема для разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности (466). 6. Метод переменных направлений для трехмерной задачи Дирихле (470). 8 2. Теория итерационных двухслойных схем общего вида 1. Итерационная схема с чебышевским набором параметров (475). 2. Основная теорема для стационарных схем (490). 3.
Вычисление нормы оператора перехода двухслойной схемы с весами (491). 4. Неявный метод переменных направлений для случая неперестановочных операторов (492). 5. Факторизованные итерационные схемы (497). 6. Факторизованный оператор В с перестановочными операторами Л~ и Лз (50! ), 8 3. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений 1. Метод переменных направлений в случае несамосопряженных операторов (503).
2. Случай несамосопряженного оператора перехода (505). 3. Оценка ~~5' при увеличении объема информации (506). 4. Неявный метод наискорейшего спуска и метод минимальных поправок (509). 5. Двухступенчатый метод (513). 8 4. Трехслойные итерационные схемы 1. Постановка задачи (518). 2. Выбор итерационных параметров (519). 3. Явная схема (521). 4. Оценка скорости сходимости явной схемы (522). 5. Априорные оценки для неявной схемы в энергетических пространствах Н~ иНв (525). 6.Факторизованные схемы (526). 7.
Двухступенчатый метод (527). Дополнение. Некоторые варианты метода прогонки 8 1. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно меняющимися коэффициентами 8 2. Матричная прогонка 8 3. Циклическая прогонка Литература Предметный указатель 475 503 517 529 529 532 535 538 551 ПРЕДМЕТНЫЙ Аппроксимация оператора 278 — разностная 18 — суммарная 397 Интегро-интерполяционный метод 111 Исходное семейство разностных схем 303, 320 Итерационная схема 449 — — двухслойная 452 УКАЗАТЕЛЬ вЂ” — продольно-поперечная 457 — — Ричардсона 479 — — стационарная 490 — — трехслойная 517 — — факторизованная 497, 526 Итерационный метод двухступенчатый 513, 527 — — двухшаговый 451 — — для квазилинейных уравнений 216 — — одношаговый 451 Каноническая форма двухслойной разностной схемы 294 — — трехслойной разностной схемы 295 Корректность разностной задачи 41, 275, 296 Коши — Буняковского неравенство 48 — — — обобщенное бб Краевая задача первая 226, 230, 235 — — с условиями периодичности 163, 212 — — третья 34, 35, 87, 148, 211, 239, 287 Липшица условие 195, 320 Метод баланса 111 — выделения стационарных неоднородностей 199 — итерационный одношаговый, двухшаговый 451 минимальных поправок 503 — наискорейшего спуска 509 Метод переменных направлений 359 — — — итерационный 457, 492 — приближенной факторизации 3 70 — прогонки 42 — — матричной 532 — — потоковой 529 — — циклической 535 — простой итерации 454 — разделения переменных 76, 309 — расщепления 374 — расщепляющегося оператора 370 — суммарной аппроксимации 397 — установления 450 — энергетических неравенств 56, 83, 101 Норма негативная 26, бб — оператора 63 — сеточная 16 Окрестность узла сетки 239 Оператор Лапласа разностный 227, 252 — линейный 63 — обратный 63 — перехода 295 — положительный 64 — постоянный 302 разрешающий 298 — сопряженный 65 — треугольный 347 — факторизованный 367 Операторы энергетически эквивалентные 263 Оценка априорная 42 Параметры итерационные 452, 461, — — «по Жордану» 462 — — циклические 463 Погрешность аппроксимации 19, 277 — — на решении дифференциальной задачи 29 — — оператора 25 Принцип максимума 60, 239 — суперпозиции 98, 336 Пространство сеточных функций 16 — энергетическое бб Разностная производная 18, 19 — схема 29, 275 — — аддитивная 395 — — двухслойная 72 — — Дюфорта — Франкела 89, 337 — — консервативная 110, 111 — — локально-одномерная 407, 413 — — монотонная 146, 206 — — наилучшая 119, 131 — — неявная 31, 73 — — однородная 103, 105, 106, 201, 219 — — Писмена — Рекфорда 360 — — повышенного порядка точности 71, 249 — — предиктор-корректор 217 — — Ричардсона 89 — — Саульева 323 — — с весами 71, 220 — — с расщепляющимся оператором 368 — — сквозного счета 218 — — составная 395 — — точная 140 — — трехслойная 37 — †усеченн 144 — — факторизованная 368 — — шеститочечная симметричная 73, 188 — — экономичная 358 — — явная 31, 72, 188 Регуляризатор 345 Регуляризация разностных схем 345 Сетка 14 — квадратная 231 — неравномерная 15, 24 Сетка прямоугольная 231 — равномерная 14 — - связная 234, 239 Скорость сходимости 33, 277 Слой 72 Стефана задача 218 Схема разностная см.
Разностная схема Сходимость итераций 455 — разностной схемы 33, 277 Теорема вложения разностная 53, 257 Точность разностной схемы 277 Узел сетки 14, 230, 232 — — внутренний 15, 230, 232, 233 — — граничный 15, 230, 232 — — нерегулярный 233 — — приграничный 233 Устойчивость абсолютная 79 — абстрактной задачи Коши 293 — безусловная 79 — двухслойной разностной схемы 296, 305, 309 — коэффициентная 149, 289 — по начальным данным 76, 298 — разностной схемы 33, 41, 275 — трехслойной разностной схемы 325 — условная 79 Формула Грина разностная 47, 255 — разностного дифференцирования 45 — суммирования по частям 46 Функционал шаблонный 105, 116 Функция Грина разностная 119, 120 — сеточная 14 Шаблон 18 — нерегулярный 24 — пятиточечный нерегулярный 228 — регулярный 227 Шаг сетки 14 ПРЕДИСЛОВИЕ Значительное число задач физики и техники приводит к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнениям математической физики).
Уииверсальным и чрезвычайно эффективным методом решения задач математической физики является метод конечных разностей или метод сеток. Он позволяет сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений.
Настоящая книга представляет собой введение в теорию разностных схем. В ней дается по-возможности злементарное и систематическое изложение основных принципиальных вопросов теории, иллюстрируемых на простейших задачах математической физики для уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов. При этом рассматриваются прежде всего те схемы, которые представляют практический интерес, т. е. пригодны для решения конкретных задач на ЭВМ. Это — однородные разностные схемы, устойчивые на любых допустимых сетках и пригодные для решения классов задач при помощи одних и тех же вычислительных алгоритмов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
