Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. !!гп !!У»и!!1, — — !! и()ь !»1.»о где )Ь) — норма вектора Ь. Рассмотрим некоторый оператор Л, заданный в Н», н опера- тор Е», преобразуюгций сеточную функци1о о„в сеточную функ- цию Е„ол, заданную на ыл (т. е. действующий из Нл в Н1,). Назовем погрешностью аппроксимации оператора ( разност. ным оператором ср, сеточную функцию Ф» = с1ол (Ь")л где ол = й»о, (Ьо)1, = й.»(со), о — любая функция (вектор, элемент) нз Н», Если !! 1!11, !!»- О при !Ь/ — О, то говорят, что разностный опе- ратор Е» аппроксили1рует дифференциальный оператор Х.. Будем говорить, что разностный оператор Ел аппраксимирует дифференциальный оператор Е с порядком т > О, если !! фл !!л =!! Ь»ол — (Ьо)л (!» = О (! Ь ! ), (18) или !! 1.»ол — (со)л!н(М! Ь !"', где М вЂ” положительная постоянная, не зависящая от )Ь(. 3 а и е ч а и и я. !.
Если Ь = (Ь1, ..., Ь„) — вектор с компонентами Ьь Ь,, ..., Ь„, то под !Ь~ можно понимать длину а !Ь|=(Ь1+ ... +Ь»! . Может оказаться, что аппроксимация по Ь, а = 1, 2, ..., р различна по порядку. Тогда вместо (!8) бу- дем иметь » !! Ело» (Ео)л Ь, ~ (М ~х1~ Ьа', где т„>О, а 1 Выбирая среди т„..., тр наименьшее число и обозначая его через т, получим оценку (18). 2. Если сетка ы1, неравномерна, т.
е, Ь = (Ьь ..., 6п), где )т' — число узлов, то, например, ! Ь != гпах Ь, или (Ь( есть 1~1~и среднее квадратичное значение. Гл. 1 пигдВлиительиые сВедения 26 Оператору йо„согласно примеру 6 предыд~шего пункта, поставим в соответствие разностный оператор ! ) О,.„! — О, О,— О!'!"! (!'.„о)! = —, ! ' — — „з!, о; = о (х,), л! = 0,5 (й! + и!+1), определенный в узле х! на нерегулярном трехточечном шаблоне (х! 1, хо, хы 1). Вводя обозначения о.
— и. ! — 1 о. — о 1-1.1 ! ! 1 ! о — о. Ох 1 ! ОХ ! ОХ,!1-1 „. ! Ох ! „! л! 1! ! .1., В п. 2 была найдена локальная погрешность аппроксимации хР1=(ьхо) — ()о)1= ' 'з ' о;"+0(Л!), !'=1, 2...,, йг — 1, Отсюда видно, что оператор Ь1,о имеет в сеточной норме С первый порядок аппроксимации 11ф11С = гпах 1ч!!1= 0(л), л = п!ах Ли !ж1~м-! 1~ <и В сеточной норме йа также получаем первый порядок: 11ф~~=Я Я,.ф,-'.) =О(й). (19) Рассмотрим примеры. Пример 1.
Разностная аппроксимация ра вномерной сетке. Рассмотрим оператор в пространстве Но = С!'! функций, заданных на 0 (х (1, Выберем на отрезке 0 < х ~ 1 произвольную мерную сетку оэ„=(ти ! = О, 1, ..., М, хо — — О, х, =!). оператор Е1,о можно записать в виде ((.Во)! = охе ! = охх. Однако в норме ~1Э~~, „= Хй, Хлф, ф имеет второй порядок, так что 1~ !)! 1(,! = 0(/г'), где й = гпах /ги 1«1и О Докажем это утверждение. Перепишем !)! в виде на пел!и Во=в !гх! отрезке неравно- 2 Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Принимая во внимание, что О'," = и>'„', + 0(Л>,), находим где >р',= 0(ло) в любой норме.
Главный член 2)>,. в разложении >р, = 2)>, + 2)>," имеет «дивергентный видон Поэтому 5, = ~~'.> Ь >р = ~ (Ь-о„,о"~, — Ь'-О"') >б =(Ь; '2, О",„', — I>>п',"))Б. Отсюда видно, что ! 5, (((Мйо, и, следовательно, Так как !12)> !!> 2> (!12)> !!> > +!! )> !!> 2> и !12)> !1 = 0 (/22) то !!>р!!,,>(Мло, т. е. погрешность аппроксимации в норме )! !!, и имеет второй порядок. Отметим, что норма !! !!> „согласована с нормой !!и!!о- Г! /я 'Й = ~ ~ >>х~ ) иапо ), так что !)ио!!, 2>-+(!и!!, при Ь- (>.
о то Разобранный пример показывает, что исследование локальной аппроксимации может оказаться недостаточным для суждения о порядке разностной аппроксимации и тем самым для суждения о качестве разностного оператора. Выбор подходящей нормы для оценки погрешности аппроксимации связан со структурой оператора и в каждом конкретном случае должен быть предметом изучения, Связь между оператором и нормой для оценки погрешности аппроксимации в общем виде установлена в гл. Ч.
Ее конкретизация для данного случая естественно приводит к норме !! !!> 2>. Аналогичная ситуация встречается и при изучении разностных аппроксимаций для оператора Ьи = (йи')', где л(х) — кусочно-непрерывная функция (см. гл. П)). Если ишется решение и(х, г) нестационарного уравнения (например, уравнения теплопроводности), то пере>яенная (время) выделяется. Функция и(х, 1) как функция аргумента х является элементом пространства Но. Пусть о»,— сетка в области б пространства (х =(х>, ..., хр)), о>,— сетка на отрезке гл. 1.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 0 <Е (Ео. Сеточная функция у(х, Е) = ул,(х, Е) определена на сетке колк = кол Х кок = ((х, Е), хе= мь Е ~ кок). Как функция аргумента х ~ окл она является вектором пространства Нл с нормой !! !!ю Для оценки у(х, Е) на сетке окл, обычно используется норма !! уЦ(л, = Кпах!(у(Е) !!л, (20) Кео нлн одна из норм !!у!!л, = Х т!!у(Е)!!л, !!у!!л,=~ Х т!!у(Е)!!лк1л (2!) Пусть Е.л,о„, — разностная аппроксимация оператора Еи, и = и(х, е). Оператор Е,лк определен на сеточных функциях ол,(х, Е), заданных на сетке кол,. Пусть о(х, Е) как функция х принадлежит Но. Тогда ол(х, Е) = уоли(х, Е) принадлежит Нл для любого Е ее (О, Ео] Если о(х, Е) непрерывна по Е, то можно положить олк(х, Е) = ол(х, Е) для всех Е ее Ко,, Таким образом, ол,(х, Е) задана на сетке ыю и можно определить погрешность аппроксимации кРА,(х, Е) =Ел,ол (х, Е) — (Е.о)л (х, Е), (х, Е)~кол,.
Будем говорить, что Е.к„апкгроксимирует Е с порядком кп ) 0 по х и с порядком и ) 0 по Е, если в классе достаточно гладких функций о(х, Е) выполняется оценка !(чк„(х, Е)!!л,=О(! Л ! +т") или !!1Р„!!л <М(! и ! +т"), где М вЂ” положительная постоянная, не зависящая от (й! и т. кко кЗКР П ример 2. Тл = —, — ~,, 0 < х <!, 0 < Е ~ ~Ео Е-Лка = ОК Оял Оператор Е.л, пишется во всех внутренних узлах сетки ел,=((хь Ее), х,=Ей, ЕК=Ет, 0<Е<йЕ, 0<Е Ео, Ео=ЕоЕт).
Если о(х, Е) имеет две производных по Е и четыре производных по х(о ееСК), непрерывных в прямоугольнике (О <х < (, 0<Е <Ел), то в каждом внутреннем узле сетки ыл„согласно п. 2, имеем Рл,(х, Е) =Е-л ол — (Е.о)л„= О(ЕК'+ т).. 4 !. ОснОВные понятня Отс4ода следует, что ~», аппроксимирует Е со вторым порядком по х и с первым порядком по ! в любой из норм г20) и (21), ГДЕ ~,'4Р!!»= и!ах~»Г'! либо ~~4Г!!»=~~ »Р4Ь) и т.
д. Таким обрая» ! зом, в этом случае из локальной аппроксимации следует аппрок- симация на сетке. До сих пор мы рассматривали погрешность разностной аппроксимации на функциях и, принадлежащих некоторому классу Г. В частности, в наших примерах в качестве Г выби- рался класс достаточно гладких функций. Пусть теперь О является решением некоторого дифференци- ального уравнения: и = и; например, 1и=и"= — !. В качестве разностной аппроксимации оператора, стоящего слева, йп = и" выберем У.»п = пе,. Выше было показано, что на равномерной сетке 6' »4 с»" =" + !2" + зво и гх+О") Подставим сюда и = и, и" = — !, и!'! = — !" и предположим, что !" = О, а следовательно, и г4»! — = 0 для А ) 2. Тогда 1„и = = и" = !'.и, т.
е. погрешность аппроксимации в классе решений уравнения ~и = — ), где ! — линейная функция, тождественно равна нулю, ф = О. В этом случае говорят, что аппроксимация точная. Если же Г" Ф О, то раэностный оператор можно подправить, вводя оператор 6' с»О =с»П + !2 и для этого оператора имеем 4Р = !'»и — ~и = О(Ь4), Таким образом, рассмотрение погрешности разностной аппроксимации на решении дифференциального уравнения может использоваться для повышения порядка аппроксимации. 4. Постановка разностной задачи. До сих пор мы занимались приближенной заменой дифференциальных операторов разностными. Однако задачи магематической физики помимо дифференциального уравнения вкл4очают и дополнительные условия— краевые и начальные, которые обеспечивают выделение единственного решения из всей совокупности возможных решений.
Поэтому при формулировке разностной задачи, помимо аппроксимации дифференциального уравнения, необходимо эффективно описывать в разностном виде эти дополнительные условия, Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение и дополнительные условия (краевые и начальные), называют давностной схемой. зо Гл.
с пРЕДВАРителъные сведения Сначала проиллюстрируем сказанное на примерах. Пример 1. Задача Коши для обыкновенного д и ф фере нциал ьного ур а в пения. и'=)(х), х)0, и(0)=.и,. (22) Выберем простейшую равномерную сетку ы„=(х;=й, 1=1, 2, ...) и поставим в соответствие задаче (22) разностную задачу: ух=ф у. или '"' ' =-срн с=О, 1, ...; Уо— - и,. уо = ио л При атом правую часть ф; можно задавать различными спосо- бами, например, ср,=!(хс), ф;=05(1(х)+)(хсс,)), лишь бы выполнялось условие фс — )с = 0(гс). Для нахождения решения получаем рекуррентную формулу уе,=у,+йфи 1=0, 1, 2, ..., где уо=ио Пример 2, Краевая задача. и" (х) = — с'(х), 0 < х < 1, и(0) = рсн и(1) = рс,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
