Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 5
Текст из файла (страница 5)
ОснОВные пОнятия 19 где о — любое вещественное число. В частности, при и = О, 5 получаем так называемую центральную (двухсторонн1ою) разностную производную о — — (о, + ох) —— ь (х + Ь) — ь (х — а) х (4) Таким образом, оказывается, что можно написать бесчисленное множество разностных выражений, аппроксимирующих ьо = и'. Возникает вопрос: какую ошибку мы допускаем, используя ту или иную разностную аппроксимацию, и как ведет себя разность ф(х) = сч,о(х) — Т.о(х) в точке х при й- О.
Ве личина ф(х) = 1.ьо(х) — со(х) называется погрешностью разностной аппроксилгации (.о в точке х. Разложим о(х) по формуле Тейлора о(х ь й) = о(х) ~ (1О (х) + — о" (х)+ 0(й') (предполагая при этом, что функция о(х) — достаточно гладкая в некоторой окрестности (х — йь, х + Ьь) точки х и Ь ( йь, Ьь— фиксированное число). Подставляя это разложение в ()), (2) и (4), получим о, = ) = о'(х)+ — о" (х)+ 0(пт), ох = „= о'(х) — — о" (х) + 0 (пт) ь (х) — ь (х — Ь) , Ь ,,= ч1*тК." — '="~ —. 1,1~ОЬЧ х 26 Отсюда видно, что ф = ох — и'(т) = 0 ((1), ф = о- — о'(х) = 0(Ь), ф = о. — о'(х) = 0 (йз), Таким образом, левая и правая разностные производные аппроксимируют ьо = о' с первым порядком, а центральная разностная производная — со вторым порядком. 1РЬ Пример 2.
1'.о = о" = — „„, . Чтобы написать разностную аппроксимацию второй производной, надо использовать три точки (х — п,х, х+ 6), т. е. взять Пусть )т — класс достаточно гладких функций и ~ (т, заданных в окрестности Ш(х, Йь) точки х, содержащей при Й ( йь шаблон Ш(х,(г) разностного оператора х.л Будем говорить, что х.ь аппроксилшрует дифференциальный оператор (. с порядком и ) 0 в точке х, если ф (х) = Б„о (х) — 1'.о (х) = 0 (й ). гл. / пеелвлш!тельные сведг/ния 20 трехточечный шаблон. В этом случае о (х + ») — 2о (х) + о (х — Ь) Е„о= Ь' (6) Замечая, что правая разностная производная в точке х совпадает с левой разностной производной в точке х + Ь, т.
е. о„(х) = оэ(х + й), перепишем (6) в виде ох (х) — ох (х) ! Е„О =- " Ь " — — — (ОХ(Х+ Ь) — ОХ(Х)) = О;х(Х). (/) Пользуясь разложением функции о(х) по формуле Тейлора, не- трудно показать, что порядок аппроксимации в этом случае ра- вен двум, т, е. охх — о" (х) = 0 (Ь') так как Ь» о х = о" ! —, о«/ -! 0 ((/4) х. (8) П р и м е р 3, Ео = о/4/, Выберем пятиточечный шаблон, состоящий из точек (х — 2Ь, х — Ь, х, х+ Ь, х+ 2Ь) н определим Е/го = охххх Нетрудно проверить, что Е» аппроксимнрует Е со вторым порядком, причем Ьх ох„х, — о"/ = — ом> + 0(Ь4) 6 Разложение погрешности аппроксимации ф = Е/,о — Ео по степеням Ь можно использовать для повышения порядка аппроксимации. В самом деле, имеем охх о о + 0(Ь) 2 охххх+ 0(Ь ) хх !2 !2 хххх Отсюда следует, что оператор Ьх Е»о — хх !2 охххх, определенный на шаблоне (х — 2Ь, х — Ь, х, х + Ь, х + 2Ь) аппрокснмирует Ео = о" с четвертым порядком.
В принципе такой процесс повышения порядка аппроксимации можно продолжить дальше и получить любой порядок аппроксимации в классе достаточно гладких функций о ен )/. При этом шаблон, т. е. число используемых узлов, возрастает. Однако указанный прием повьцпения порядка разностной аппроксимации не всегда можно рекомендовать для практического З ь основные понятия 21 применения, так как качество получающихся прн этом операторов ухудшается (в смысле монотонности, условий существования обратного оператора, устойчивости и т.
д,). до д'о П Р и м е Р 4. Ло = д( — д и, о = о (х, г). Пусть (х, () — фиксированная точка плоскости (х, (), й ) О и 1 > Π— два числа (шаги). Чтобы написать разностную ап. проксимацию Е„для оператора Е, мы должны прежде всего определить шаблон. (. ') /( Иу (т -,Ц) ф г) (щ () и) Ряс. о. Остановимся сначала на аппроксимациях простейшего типа. Пусть шаблон состоит из четырех точек (рис. 5, а). Определим Еи так: (-ахо— <о> о(х, (+т) — о(х, г) о(х+Ь, )) — 2о (х, г)+ о(х — Ь, х) (9) Для упрощения записи разностных выражений весьма важным является вопрос о введении рациональной символики. Условимся о следующих обозначениях: о=о(х, (), б=о(х, 1+т), б=о(х, и — т).
В этих обозначениях, например, разностная производная по ( может быть записана следующим образом: о (х, (+ т) — п (х, Г) д — о (10) о, Учитывая (7) и (1О), .запишем (9) в виде ()и)о о (9') ГЛ. !, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [2 Прн построении Еит мы взяли значение ох„в момент ( (на [о) нижнем слое). Используя шаблон, изображенный на рис. 5, б, можно взять охх в момент /+ т (на верхнем слое), что дает Елто = о) бхх.
(11) Взяв линейную комбинацию (9') и (!1), получим однопара. метрическое семейство разностных операторов Е[,')о = о, — (ад „+ (1 — о) о„х), (12) т. е. )()[ л = Е)л) о — Е (х, /) = 0 (Ь2+ т), до(х, /Ч-т) д'о(х, /жт) д/ дх' = /.о (х, / + т) + 0 (Ь2 + т) 2) Ело о) т. е. [)) ()) )рп) =Ел)о — Ео(х, /+т) = 0(Ь +т), [охя до (х, /-Ь т/2) д'о (х, /-Л т/2),,Ь2 2, 3) Еит' Π— д/ дхл -)- - Ео (х, 1 + т/2) + 0 (Ьл + т2), т. е. )р[ол) = Е)итл)о — Ео (х / ) т/2) = 0 (Ь + т ).
Таким образом, оператор Е);) аппроксимирует Е со вторым порядком по Ь при любом о, с первым порядком по т при о — 0 о=1 и со вторым порядком по т при о=0,5. определенных при оФО и оФ1 на шеститочечнол) шаблоне, указанном на рис. 5, в. для оценки порядка разностной аппроксимации воспользуемся формулами до(х,/), т д и(х, /), до(. [ Рт/2) д/ ' 2 ди ' т д[ дио (х, [) Л2 дио (х, /) д'о (х / + т/2) т д)о (х / ж т/2) дх' д'о (х, /ж т/2) т д'о (х, / ж т/2) дх2 2 д,, д/ , (Ьл + т- . [о) [и ),) Подставляя эти выражения в формулы для Ел,о получим ') Е)то= д/' ' — — 'д„' — 2' О+0(/)'+т)=Ее(х,()+0(Ь2+т), 23 Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТНЯ д'о д'ю ПримеР 5.
1о= — „,, — дх,. В атом случае для записи разностного оператора (.ю надо использовать значения сеточной функции в три момента времени ( — т, 6 Г + т. Минимальным является пятиточечный шаблон (рис. 6, а, 6, б, б,в) (х-д Г г) (",г г1 (х"й Г.~~ (х Аг) (хьт 1-ту (хг-т) !() Рис. б. Одна из возможных аппроксимаций (на шаблоне 6, и), используюШая значение охх на среднем слое (, имеет вид (.ххо = ои — охх, (13) где оп(х, () =(о(х, (+т) — 2о(х, !)+ о(х, ( — т))(т'. Аналогично можно написать оператор (14) (.Вхо = он — охх (на шаблоне 6, а), На девятнточечном шаблоне (рис, 6, г) можно написать двухпараметрическое семейство разностных операторов ~ахх 'о = оп (О1бхх+ ( о~ оз) охх+ охбхх)' ( При ог —— ох — — 0 отсюда следует (13), и при от = О, О1 = 1 сле- д'о(х, г! х д'о(х, !! дует (14).
Замечая, что оп= д!,' +0(т'), охх= д,' + + 0(йз), видим, что оператор (13) имеет аппроксимацию 0(йт + тх). Этот же порядок аппроксимации имеет и оператор (15) при Ог — — от = о, где о — любое число, гл. !. пРедВАРптельные сведения 24 и определим /.Ап по формуле ! !" х (х -~- Ь„) — Р (х) (.Ап= Ь ) и(х) — х(х — Ь ) ! Рх — и — (16) Если Ь = Ь+ — — Ь, то (.Ап совпадает с выражением (7) (см. пример 2). Вычислим локальную погрешность аппроксимации (в точке х): Ф (х) = (Ап (х) — Еп (х). гладкой функции п(х) Учитывая разложение достаточно в окрестности узла х: +-',— ' и"'(х)+ 0(Ь',), — — и "(х)+ 0(Ь'), 2 п(х+ Ь+) = п(х)+ Ьчп (х)+ — "и (х) Ьз п(х-Ь )= п(х) — Ь н (х)+ — и (х) получаем и (х)+ — и (х)+ —,, и (х)+0(Ь„).
Х Ь- 222 ( ) —:О (х)+ —, "(х)+ 0(Ь'), Рх — Сх Ь вЂ” Ь 2 2 ", ' =и" (х)+ 'ЕЬ и"'(х)+0(ЬР) (пользуемся тем, что Ь~ ( 2Ь). Выражение для 2)г(х) примет вид 2Р = (.Аи — Еп = е и"'+ 0 (Ьг) = 0 (Ь). (17) Таким образом, оператор (!6) на нерегулярном шаблоне (Ь+ + Ь ) имеет первый локальный порядок аппроксимации. Отметим, что параметры и! и оь так же, как и параметр о в предыдущем примере, управляют не только порядком аппроксимации, но, как будет показано ниже, и таким важным свойством, как устойчивость соответствующей разностной схемы. П р и и е р 6.
А.п = и". Н е р е г у л я р и ы й ш а б л о н (н еравномерн ая сетка), Пусть Ь >О и!г+) Π— два числа. Возьмем трехточечный шаблон (х — Ь,х, х+ Ь+), Если Ь ва/гх, то шаблон будем называть нерегрлярныи (сетка, построенная из таких шаблонов, неравнохиерна).
Введем обозначения ь=05'l +Ь ' ПХ Ь 2 "Х Ьч л 1. ОснОВные понятия 3. Погрешность аппроксимации на сетке. До сих пор мы рас- сматривали локальную разностную аппроксимацию (аппрокси- мацию в точке). Именно в этом смысле и шла речь о порядке аппроксимации в предыдущем пункте. Обычно требуется оценка порядка разностной аппроксимации на всей сетке. Г!усть ыл — сетка в некоторой области 6 евклидова про- странства (х = (х1, ..., хн)), Нл — линейное пространство сеточ- ных функций, заданных на 1»1„Н» — пространство гладких функ- ций о(х), ~! 1!,— норма на Нм !! !!1, — норма на Н~,. Предпола- гается, что 1) существует оператор У1, такой, что У1,и = =- и»я Н» для любого и~ Но, 2) нормы !! !!» и !! !!ь согласова- ны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
