Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(23) Выберем опять равномерную сетку йь=(х =й, 1=0, 1, ..., М, !с)1='!). Разностную задачу запишем в виде: у = — ср, ) ! у,, — рус+ у ух =. !со ! 1 = 1, 2, ..., Лс — !. с-и = с с — ~, = ! (х, 1), О < х < 1, О < т ~( ро, и(0, !)=!с~(1), и(1, !)=!с,(!), и (х, 0) = ио (х).
(24) Выбрав равномерную сетку м„т=((хс=!й, 1! — — )т), 1=0, 1, „Л'н 1=0, 1, ..., стя) (23„) В результате получим систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Такую систему можно решать, например, методом прогонки (см. п. 9). Пример 3. Первая краевая задача для уравн е ни я теплоп ро води ости. э !.
основные понятия з! н простейший четырехточечнь>й шаблон (см. и. 2, пример 4), по- лучим разностную задачу у! = ух» + 'р или в индексной форме: у,!' — у! гй ! — 2>>,. -!- у! ». Ч>! 1<!<~А>! 1, 0% /<Л>, — 1, уг = и, (г;) у>ь = рэ(г;), Ф= () (24») Правую часть !р можно задавать различными способами <р,'=/(хп г,.), <р>=/(хп г>„! ), и т.
д. Разностная задача (24») является примером использования так называемой явной схемы; значения решения на верхнем времен- ном слое у>+! определяется через значение на предыдущем слое по явным формулам у'+' = у' + т (у' + !р'). Рассмотрим неявную схему у,= ух„+!р, у(х, 0)=и»(х), у(0, г)=!»,(1), у(1, У)=р»(г), ! я ь>„х ен ь>».
Для определения значений у = уеь! на (/+ 1)-м слое получаем систему алгебраических уравнений у'+'/т — у,'„+' = г >, г"! = у>/т+ !р! с трехдиагональной матрицей, Эту систему можно решать ме- тодом прогонки (см. п. 9). До сих пор мы рассматривали краевые условия первого рода, которые на разностной сетке аппроксимировались точно. В слу- чае краевых условий третьего рода вопрос об их аппроксимации требует специального исследования. На этом вопросе мы оста- новимся позже, 5.
О сходимости и точности схем. При решении некоторой задачи приближенным методом в конечном счете надо иметь предварительное суждение о том, с какой точностью можно при- близить при помощи этого метода точное решение задачи. Поэтому следует рассмотреть вопрос о сходимости и точно- сти разностных схем. Пусть в области 6 с границей Г требуется найти решение ли- нейного дифференциального уравнения Еи=/(х), х еи 6, (25) гл. (, НРедВАРнтельные сВедения удовлетворяющее дополнительным (краевым илп начальным) условиям 1и (л(х), х ек Г, (26) где 1(х) и р(х) заданные функции (входные данные задачи), 1 — некоторый линейный дифференциальный оператор.
Предположим, что решение задачи (25) — (26) существует и единственно. Область 6 + Г непрерывного изменения аргумента (гочки) заменяется дискретным множеством точек (узлов) х, — сеткой. Пусть й — векторный параметр, характеризующий плотность расположения узлов, ыл — множество внутренних узлов сетки, ул — множество граничных узлов. Задаче (25) — (26) поставим в соответствие разностную задачу 1-аул =(р„, х~ (лл, 1луа = Хл при х е= у„, (27) где ~рл(х) и т(,(х) — известные сеточные функции. Здесь 1л и 1л -- операторы, действующие на сеточные функции, заданные для х ~ йл = ыл + у(,. Ре(пение ул задачи (27) есть сеточная функция, определяемая в узлах сетки йл.
Меняя Ь, т. е. выбирая различные сетки йы мы получаем множество решений (ул), зависящих от параметра Ь. Таким образом, следует рассматривать семейство схем (27), соответствующих различным значениям параметра й. Основной целью всякого приближенного метода является получение решения исходной (непрерывной) задачи с заданной точностью в ) О за конечное число действий. Чтобы выяснить принципиальную возможность приближения решения и задачи (25) — (26) решением ул задачи (27) с любой заданной точностью е > О в зависимости от выбора шага й(в), мы должны сравнить ул и и(х), Это сравнение будем проводить в пространстве Нл сеточных функций. Пусть иа — значение и(х) на сетке гзл, так что пл е= Нл, Рассмотрим погрешность разностной схемы (27); гл = ул ил.
Напишем условие для гы Подставив ул = га +'ил в (27), получим для гл задачу того же типа, что и (27); 1.ага=фа хек(лл; 1лгле ял, хек уз, (28) где фл = $л — 1-лиа та = Кл — 1лил. Правые части фл и тл задачи (28) называются погрешностью аппроксимации уравнения (25) разностным уравнением (27) и соответственно погрешностью аппроксимации условия (26) разностным условием 1лул = 1(а на решении задачи (25) — (26). з ь основные понятия зз Обычно говорят короче: фь — погрешность аппроксимации для схемы 5ьуь = фь на решении и(х) уравнения (25), чь — погрешность аппроксимации для условия (ьуь = уь на решении задачи (25) — (26) . Для оценки погрешности схемы гь и погрешности аппроксимации фы»„введем на множестве сеточных функций нормы )!.)(, р (! )(, ) и ) )(, ) соответственно. Будем говорить, что решение разностной задач.
(27) сходится к решению задачи (25) — -(26) (схема (27) сходится), если /(гав, =!(уь — иьН, — О прн ~ Ь ~ — О, или (/гь 11, ) =р(~ Ь !), .где р(~ Ы) — >О при ~ Ь ~-+О. Разностная схема (27) сходится со скоростью О ()Ь(") или имеет и-й порядок точности (имеет точность О ()Ь/")), если при достаточно малом ~Ь( ( Ьь выполняется неравенство ~ М ~ Ь ~л где М > Π— постоянная, не зависяшая от (Ь(, и > О.
Говорят, что разносгная схема (27) обладает и-м порядком аппроксимации, если И ф. И(, ) = О (1Ь ~"), И, И„,) = О (~ Ь ~"). Обозначая 7ь и (7и)ь значения 7(х) и 7 и(х) на сетке ыь и учитывая, что (7 — 1и)ь = О, запишем фь в виде ф„= (ф„— Б„и„) — (7„— (Би)„) = (ф„— 7„) + ((( и)„— 7.„и„) = фа~ + ф~<1. Таким образом, погрешность аппроксимации схемы фь складывается из погрешности аппроксимации фн = ф„— (ь правой части и погрешности аппроксимации фи =(1и)ь — ).ди„дифференциального оператора. Так как фь есть погрешность аппроксимации в классе решений дифференциального уравнения, то условие!1 фь 1~ ) = О (! Ы ) (гь) может быть выполнено, если ф'„н и фь~ не имеют по отдельности и-го порядка.
Иллюстрируюший это утверждение пример был рассмотрен в п. 3, Возникает вопрос: как зависит порядок точности схемы от порядка аппроксимации на решении? Погрешность гь = уь — иь есть решение задачи (28) с правой частью фь (и тк). Поэтому вопрос о связи порядка точности с порядком аппроксимации сводится к вопросу о характере зависимости решения разностной задачи от правой части. Если гь непрерывно (и притом равномерно по Ь) зависит от фь и ть (схема устойчива), то порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.
гл. ! пРедВАРителы!ые сВедения Определение устойчивости разностиой схемы будет дано в п. 8. Остановимся сначала на связанном с постановкой разностных задач вопросе об аппроксимации краевых и начальных условий на решении исходной задачи. 6. Метод аппроксимации краевых и начальных условий. Из предыдущего пункта следует, что точность схемы зависит от порядка аппроксимации на решении исходной задачи не только уравнения, но и дополнительных условий (краевых илп начальных).
В этом пункте мы рассмотрим ряд примеров повышения порядка аппроксимации краевых н начальных условий без увеличения числа узлов сетки, участвующих в аппроксимации. Пример 1. Третья краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения вто. рого порядка: хи и — „, — пи — 1(х), и=сопз1, — = пи(0) — ри и(1) = 92. ои (О) 0<х<1, 1 (29) Выбрав равномерную сетку оо„= (х, = 2й, 0 <!'-(й(), запишем разностное уравнение в виде (30) Ухх где !р! =1(х!), если)(х) — непрерывная функция, Краевое условие при х = 1 удовлетворяется точно У (1) Уи !хо (31) Первую производную и'(0) заменим правой разиостной производной Ух, о = (У! — Уа)!'й и краевое условие при х = 0 напишем в виде Ух,о = пУо — Р! нли (хУ= 9! (32) причем оператор 1ь определен на двухточечном шаблоне (О, й).
Подставляя сюда у = е + и, где и — решение задачи (29), по- лучим для погрешности г условие ех. о = пео — ч! Разлагая и(х) в окрестности узла х = 0 по формуле Тейлора: ио+ Ьио+ — ио + 0(Ь') где ч! — погрешность аппроксимации для краевого условия на решении, равная ч! =-Р!+ гт~,о — пио В Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ находим и„, = и'+ 0,5Ьи" + 0(Ь'), (33) т, = (р, + и' (О) — он (0)] + О 5йии (О) + 0 (Ь ) О 5йии (О) + 0 (Ь ), так как )х~ + и'(0) — ои(0) = О.
Отсюда видно, что т1 — — 0(й). Подправим условие (32) так, чтобы порядок аппроксимации составлял 0(йо). Используем для этого тот факт, что и(х) есть решение исходной задачи (29). Выразим из дифференциального уравнения и"(0); и" (0) = ди (0) — ) (0). (34) Подставляя (34) в (33), получим и„,о — 0,5Ь(ди(0) — 7(0))=и'(0)+0(йо), (35) т, е, выражение в левой части (35) аппроксимирует производную и'(х) в точке х = 0 на решении уравнения и" — Уи = — 1 со вторым порядком.
Отсюда и из (32) следует, что краевое условие у.,о=ауо рн 5=о+0,5йд, р,=)х,+0,5Ь1(0) (36) имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи (29). Отметим, что нам удалось повысить порядок аппроксимации, не увеличивая числа узлов сетки, которые использовались для аппроксимации краевого условия. Пример 2. Третья краевая задача для уравнения теплопроводности: д~ дх'+~(х~ (), 0<к<1, 0<)~<Го, и(х, 0)=ио(х), д„' =о«(0, т) — рч()), и(1, т) =ро(т). На сетке оои„описанной в п.
1, напишем явную схему У~ = У,х+%, У(х, 0) = ио(х), У(1, т) =Ро(т), (38) где ~р =~р,'=) (хн (,). Эта схема имеет аппроксимацию 0(й'+ т). Построим разностную аппроксимацию того же порядка для краевого условия при х = О. Для этого рассмотрим ди(О, г) + ь д'и (О, 0 + 0(йо х о= дх 2 дхо Пользуясь уравнением теплопроводности при х = О, найдем дои(О, () ди(О, 0 дх' д( — ((О, (). Отсюда следует, что их(0, 1) — — ( дг — ~(0, ~)) = д„,' +0(ЬВ), гл. г, пяядвляительныв сведения уг ух +р вместо (39) следует взять условие г)х, о = 05(гуг, о+ оуо (хг (гг = (гг+ 05(г((0, (). (40) Пример 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
