Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Вместо (50) напишем формально ьлел = Фл. Если оператор т".л линеен и разностная схема корректна, то, в силу (47), будем иметь ))я» 11(, (~М)1»гл 11(, или (1г» 11, (~М (1!ф» 11 » + 11 т» 11 » ) (51) 42 гл. ь певдвлгнтельные сведения Отсюда видно, что если схема устойчива и аппраксимирует исходную задачу, то она сходится (обычно говорят «нз аппроксимации и устойчивости следует сходимость>), причем порядок точности (скорость сходимости) схемы определяется ее порядком аппроксимации (см.
А. Ф. Филиппов (!)). Из сказанного выше следует, что изучение сходимости и порядка точности схемы сводится к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости, т. е, к получению оценок вида (51), называемых шграорнььии оценкалш. Отметим, что решение а„н правая часть фх разностной задачи оцениваются, вообще говоря, в разных нормах (являются элеменгами разных пространств), Ранее уже приводились примеры норм, в которых оцениваются решение и погрешность аппроксимация на сетке ыы К сожалению, мы не можем сейчас же получить оценки устойчивости вида (51) для конкретных разностных задач.
Для этого нам понадобится вспомогательный математический аппарат, а именно: формулы суммирования, разностные формулы Грина, простейшие сегочные аналоги теорем вложения. Такие минимальные средства позволят получить оценки решения разностных аналогов краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. На этом примере мы познакомимся с типичнымп снтуациямн, которые возникают для значительно более сложных задач при изучении устойчивости, аппроксимации и точности разностных схем. 9. Решение разностных уравнений методом прогонки. Одним из наиболее употребительных способов решения разностных уравнений, возникающих при аппроксимации краевых задач для уравнений математической физики, является в настоящее время метод прогонки.
Рассмотрим трехточечное разностное уравнение Л;у;,— С;у,+В,у;~,= — Рь ю'=1, 2, ..., М вЂ” 1 (52) с краевыми условиямн ус = %у1+ ч~ ух = яэул-~ + ч, (53) Здесь А» Вь Сь кь ть им ея — заданные числа. Будем искать решение уравнения (52) в том же виде, в котором заданы краевые условия (53), т. е. в виде у,=нему,~,+р, и (=О, 1, ..., М вЂ” 1, (54) где аьм и 5;+1 — неизвестные пока коэффициенты Г1одставляя (54) и у~, = а;аьыугэ, + ад~, + р~ 43 «!.
Основные понят!ш в уравнение (52), получим (а>+, (а>А, — С!)+ В!) У,е, + ((а>А, — С!) р>>! + р!А!+ Е!) = О. Отсюда видно, что уравнение (52) будет выполнено, если потребовать а>+! (а>А; — С ) + В, = О, (а А, — С ) р!»! + р>А!+ Е! = О. Тем самым, мы получаем рекуррентные соотношения для оп- ределения прогоночных коэффициентов а>+, и р!.>!.
В АР>+ Р С.— А. ' [1!"! С.— а А ! ! "! ! Величины и! н р! находим нз (54) и краевого условия (53) при 1=0: а, =х„ Значение уго необходимое для начала счета по формулам (54), получаем из (54) и краевого условия (53) при ! = А! — 1: Ум = (те+ хФл)/(1 х»ал!). Итак, мы можем получнть точное решение краевой задачи (52) — (53) при помощи следующего алгоритма: В.
А,.Р. + Е С вЂ” а А. ' ~>+! С.— А > > ! ! ! = 1, 2, ..., Аг — 1„ ! (55) а,=х„ у>=а!.>>у!.>>+р>„>, г=О, 1, ..., А> — 1, ум = (те+ хзрн)/(1 — хэая). Этот способ решения разностных уравнений вида (52) и но- сит название метода прогонки. Так как значения у! находятся здесь последовательно, начиная от правой границы, то фор- мулы (55) называют иногда формулами правой прогонки. Ана- логично выводятся формулы левой прогонки: А,.
В,п,„, +В,. с — й в ' "!! с — " в > ! ->+! ! я >! $н =хм т!х =т,, У!>-! й>+>У +Ч!+>, !=О, 1, 2, ..., Аг — 1, Уо = (т! + х>>!!)/(1 — х! в!). Иногда оказывается удобным комбинировать правую и левую прогонки (так называемая «встречная прогонка», см., например, А. А.
Самарский [3[). и 2 2. МЛТВМАТИЧВСКИИ ЛППАРАГ ГВОРИИ РЛЗНОСТНЫХ СХЕМ Ао Пример 2. Третья краевая задача; и"= — 1(х), 0(х(1, и'(0) =пи(0) — !Г„и(1) = !Г„а> О. 1 (59) Введем равномерную сетку оол = (хГ = Гп, !' = О, 1, ..., А!) и построим для (59) разностную схему второго порядка аппроксимации (см.
пример 1, п. 6): и„ = — !',, ! = 1, 2, ..., Аà — 1, (60) Ул,о=про — !2! Гл!=!л!+056[(0) УА=Р2 Записывая систему (60) в виде (52), (53), получим, что для нее А!=В!=!/62, С,=Л!+Вь Р,=[ь ! ЛГИ х =— !+Ао ' ' Г+Гш ' и!=0, у2=!22. Отсюда видно, что при о > 0 условия устойчивости прогонки (56) выполнены. Метод прогонки для решения разностных краевых задач был предложен в начале пятидесятых годов несколькими авторами. Это; И. М. Гельфанд и О. В. Локуциевский (см, С. К. Годунов н В, С. Рябенький [1)), В.
С. Владимиров (см. Г. И. Марчук [1)), А. С. Кронрод (см. А. Д. Галанин [!)). Ссылки па зарубежных авторов имеются в книге Р. Д. Рихтмайера [1) и И. Бабушки, Э. Витасека, М. Прагера [1). В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных методу прогонки. Некоторые варианты метода прогонки приведены в дополнении к данной книге.
й 2. Некоторые сведения о математическом аппарате теории разностных схем 1. Некоторые разиостные формулы. В дальнейшелГ для преобразования различных разностных выражений нам потребуются формулы разностного дифференцирования произведения, формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина, В этом пункте мы получим эти формулы, проводя аналогию с соответствующими формулами дифференциального исчисления. 1) Формулы разностного дифференцирования п р о и з в е д е н и я.
Как известно, в дифференциальном исчислении имеет место следующая формула дифференцирования произведения функций и(х), п(х); (ио)' и'о + ио'. Гл. !. пгедвхяительные сведения Выше, в $1, п. 2 для сеточных функций были введены два типа разностных производных — левые и правые.
Соответ- ственно этому имеется и две формулы разностного дифферен- цирования произведения: (ио)„= и„о+ и<е'>о„= и„о<+'!+ ио„, (ио) =и о+ и! но =и о' о+ио . х х х х' Здесь введены обозначения ! .!. н (-о =1(х.+. Ь), (1) (2) Обратим внимание па то, что в этих формулах происходит сдвиг индекса. Докагкем, например, первое из этих равенств. Записывая равенство (1) в индексно!! фора!е и,.,о!,, — и,.о,. и,,о,, — !!р,, и!о,, ! — а,.о,. л л + а непосредственно убеждаемся в его справедливости.
2) Формулы суммирования по частям. В интегральном исчислении справедлива формула интегрирования по частям Докажем, например, (3). На основании формулы (1) имеем; и-! и-! И-! ,~', (ио„), Ь = У~ (ио)„!Ь вЂ” ~ (и„о'+и), Ь = ! ! !-! = (ио)н — (ио), — ~'; (ихо), Ь = 2 =(ио)„— и,о, — 2~ ив;о!Ь+(ихо), Ь вЂ” и!о!. ! ! Очевидно далее, что Ь (ихо), = и,о, — иоо!. (6) ! ! ) ио' Ых = ио ~з — ) и'о г(х. о о Для сеточных функций, как и в предыдущем случае, имеют место формулы двух типов (и, о„) = и,о„— ир, — (и„, о1, (и, о„) = и„ои ! — и,оа — |и„, о). Здесь использованы следующие обозначения М-! н (и, о)= ~ цо!Ь, (и, о) =,~! ир!Ь, (и, о)= ~! и!о!Ь.
(5) !-! ! О и А Е А!АТЕМАТР!ЧЕСКИИ ЛППЛРЛТ ТЕОРИИ РАЗНОСТИЫХ СХЕМ 47 Подставляя последнее выражение в (6) и учитывая (5), получим (3). В дальнейшем мы будем часто использовать неравномерную сетку, которую, как уже говорилось в 3 1, п. 1, в отличие от равномерной будем обозначать через ам На этой сетке формулы скалярного произведения и разностные формулы суммирования по частям выглядят несколько иначе и-! (и, о)„= 2~ исо!7!! (д,, о) = 2~ и!о!6!х!, (и, о) = 2.
"ир,йь !=! ~=! ! (и, оя) = инн — ир, — (о, и,1, (7) где Ь! = 0,5 (1!,. + 1!!х,). Здесь введено также обозначение для разностной производной на неравномерной сетке ои; —— (о ! х ! — о!)/Ь! и для скалярного произведения на неравномерной сетке (,)в. Для доказательства формулы (7) заметим, что Ь, 0 = — о х х х ! Подставляя это выражение в скалярное произведение и — ! (и, оэ)„=(и, о,), где (и, ги)= Х и!щ!1!!+„ ю-! и повторяя доказательство тождества (3), приходим к (7). 3) Первая формула Грин а.
Равенство ! ) и(йо')'!(х = — ', йи'о' г(х+ lгио' 1,' е о и=-г, о=ау, х' получаем первую разностную формулу Грини; (г, (ау„) )= — (ауе, е„.!+аеух) — а,у х,. (8) Если ге — — ен —— О, то подстановки обращаются в нуль и первая формула Грина имеет вид (, Лу) = — ( у„,,|, Лу = (ау„), (8') обычно называют первой формулой Грина. Для сеточных фуякцнй аналог формулы Грина можно получить, пользуясь формулами суммирования по частям. Подставляя в (3) гл, с, пгедвлгительные сведения В частности, при г = д получаем (Лу, у)= — (а, (ух)'), у,=у =О.
(8") Аналогичный результат справедлив и в случае неравномерной сетки: (г, (пу„) ) =- — (аух, г,.1+ агу„) — а,у„г, (г, (ау,) ) = — (ау„, г,1 при гь —- г„=О. 4) В т о р а я фа р и у л а Г р и и а, В интегральном исчислении вторая формула Грина имеет вид с ) и (ссо')' с(х — ) о (сси')' йх = !с (ио' — осс') 1,. О о Подставив в (3) ы = д, о = агх, получим (у, (аг ) )= — (ау„, г ]+ ауг„! — а,уьг„, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
