Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1 А ($) ! Л Р ($) Ь ' гл. пь одногодные глзностныа схемы 122 Отсюда, из свойств 3) и формулы (35) находим АЦ)= —, В®= —. В(з) а(1) а(!) ' а(1) ' В результате для 6(х, $) получаем формулу а(к) ВЯ) 0<х<$ 6(' з) =(1 аВ( ) (37) С<к<1. Отсюда видно, что 6(х, $) неотрицательна: 6(х, $))0 при 0 <х< 1, 0<й<1, симметрична: 6(х, $)= 6(С, х) для любых х, йен а„, и удовлетворяет уравнению Л,6 = — (й (., Ц Уй по аргументу $ я в„при фиксированном х ен в„. й.
Априорные оценки. Пользуясь формулой (31), найдем оценку решения задачи (29) через правую часть — ф. Для этого нам понадобятся равномерные оценки 6(х, $) и ее разностных производных 6;(х, $), 61(х, $). Сначала рассмотрим принцип максимума н его следствия для задачи (29). В гл. 1 доказан принцип максимума для разностного уравнения Асу — — С~у-+В ус+ = Рн 1=1, 2, ..., Ф вЂ” 1, ) (38) уо = )ко ун = )кк где А~)0, В;)О, С,— А,— В,=П,)0. (39) Нам потребуются следующие теоремы (см. гл. 1, 9 2, п.
5). Теорема 1. Если Е, ) О, р,) О, рз)~0 и выполнены условия (39), то решение задачи (38) неотридательно, у,)0, 1=0,1,...,Ф вЂ” 1,У. Т е о р е м а 2. Пусть (40) р,=р,-О, Е,=При и выполнены условия (39). Тогда имеет место оценка ((у !(с = шах) у~ ((~1! ~р)!с. (41) Записывая уравнение (29) в виде (38), где аг.ы А1= —, В~= —,ь С~=А~+В1+Ы~ Р~=фи рч=рз=0, А Ь СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ юз получаем, что если д>~ О, то для задачи (29) справедливы теоремы 1 и 2.
Лемма 1. Для функции Грина 6(х, $) задачи (29) справедливы равномерные оценки 6(х, й)( 1/с> для всех х, $ ен Гоо, (42) ~ 6А(х, ~)~(2/сь 16>(х, $)1~(2/с>, х, ~енГАА. (43) Доказательство. 1. Пусть с((х) =О, тогда а(х) и 5(х) находятся в явном виде 1 хо> а > Рч хЙ~ а > хч> а с > > х,1~ а с >-~+~ Так как а(х) (а(1), 5(х)(а(1), то из (37) сразу получаем 6,(а(1) = ~~) — ~ (— > 16о„~ (Гпах(тпах(а„), тпах)Д,1) ( —, ! т, е. Оо(х, К) ( 1/сн ( 6ох(х, К)~ ~( 1/сь 1 Оот(х, К)1 «( 1/сь 2. ПУсть д(х)= О, д(х)ФО.
ПолагаЯ Оо= 6+ О, гДе 6о— функция Грина для случая д=— О, получим Л„О =(а(Х) ОА(Х, $))„— д(Х) О(Х, $) = — С((Х) Оо(Х, Е), О(0, $) = О (1, $) = О. (44) В силу теоремы 1 имеем О(х, $) = Оо(х, $) — 6(х, в)~)0, т. е. 6 (х, В) ( 6о (х, $) (» 1/си Возьмем теперь разностную производную по $ от обеих частей уравнения (44). Тогда для а>(х, ~) = О>(х, ~) получим уравнение Л„тв = — Р (х, $), г (х, ~) = д (х)>р(х, $), 1 ф (х, е) = Оот(х, $), тв (О, в) = тв (1, е) = О.
(45) Пользуясь теоремой 2 для задачи (45), получим (а>(х, $)1( тпах)>р(х, е)! = 1пах! Оо>(х, $)(- 1/с>. х~ао х а ао Отсюда в силу формулы От(х, ь) = Оот(х, ь) — и (х, ь) следует 16>(х, $) ( -.( Оо>(х, $))+) а>(х, $) (~(2/сь Лемма 1, доказана, гл. пь од»»оводныв в»зностные схемы Лемма 2. Для решения задачи (29) с правой частью ф=5„ верна оценка 1]х]~( — (1, 151], где (1„151]=~~15,]й. (46) ! ! Доказательство. Воспользуемся формулой (31), формулой суммирования по частям (гл.
», 3 2, и. 1) и оценкой (43): г(х) =(6(х, ь), ф(ь)) =(6(х, ь), 5»(ь)) = — (6»(х, ь), 5(ь)], ]х(х)1((16»(х, з) 1, 15(ь)1]( — (», 151]. Теорема 3. Для решения задачи (29) справедлива оценка 11 11с ( —, 11 ф 11, и, (47) где и-! ! 1]ф1!ч,>=Х Ь Хйф» (48) либо М-! М-! 11ф]1, п=Хй Дйф.. Если ф(х) ил»еет вид (49) ф=чх+ф', то для решения задачи (29) выполняется неравенство 11 г 1~ ч — ((1, 1 т) 1] + 11 ф* 11! и). (30) и-! ]]г]]ч< —,' 1]ф1],, „, 11ф]~ п=Хй Хйф.
»ю! Д о к а з а т ел ь с т в о. 1. Представим ф(х) в виде ф(х) - 5„ или 5ьы — 5, = Ьфп Функция 5(х) определена с точностью до аддитивной постоянной. В силу леммы 2 имеем 11г]1с< а 2(1, 151]/с!. Рассмотрим два случая. а) 5! — — О, 5!+! = ~~~ йф», »-! и У-! и-! |1,!я!|-~!л,! -д!л„,! -да1да„~, <25 и> Ф <, схимы для стлционленого >!елвнания и-! б) 5н = О, 5,= — лл йф„, т.
е. !! г !1~ ( — !!ф !1, „, !! ф !1, „= ~ Ь ~ й<рь 2. Если <Р=т>„+ <]>', то функцию з представим в виде суммы а = гп>+ а<и, где з<>> — решение задачи (29) с правой частью — <р = — »„, а г„> — решение задачи (29) с правой частью — <р = — ф". В силу (46) и (47) имеем !!а<>> !!с~» с (1 ! т<!] !! г<» !!с «» г !!ф !>< и. 2 2 Отсюда и следует оценка (50). Замечания. 1.
Если ф=т>„, то !!Ф!!<,>=!!и.!!<,>~(1 !ч — ч !]((1, !ч!]+!ч ! 2. Из формулы (31) и леммы 1 следуют оценки !!а!!с» ~— „, (1 !<р!] !!г!!с» —,!!Ф!! !!г!!с» ~—,, !]<р!!с где ]!ф!1= '>>(ф, <]>) . Нетрудно убедиться в том, что !!Ф!!< <>((1, ! ф !)(!]ф!!(!!ф!!с 10. Погрешность аппроксимации в классе непрерывных козффициентов. Рассмотрим погрешность аппроксимации для схемы (25), (26): ф = (аил)„— а<и+ <р. (51) В п, 6 были получены условия (27) второго порядка локальной аппроксимации для консервативной схемы (25). Эти условия выполнены, если й(х) я С<а>, о, [я Са>, шаблонный функционал А[й(з)] имеет третий дифференциал и имеют место равенства А [1] 1э А<[а] = -0,5~ Аз[а] = Аз[1 + з]. Из априорной оценки теоремы 3 видно, что порядок точности консервативной схемы определяется порядком не локальной, а суммарной (интегральной) аппронсрма<(ии и иеиоторой специальиой норме !1<]>!!1 >у ГЛ.
Н). ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ио Ниже будет показано, что для суммарной аппроксимации 0(Ь') достаточно, чтобы вместо (27) выполнялись требования а (х) = Ь (х — 0,5Ь)+ 0(ЬТ), о((х) =)>(х)+ 0(Ь'), )р(х) => (х)+ 0(ЬТ). Покажем сначала, что погрешность аппроксимации = (аих)х — о(и+)р можно представить в виде >р=цх+ ф, т>= аи„— Ьи', ол ')*) - ( 1 . )* "0 )" .5)" -.)*) Е).)> . -0,5 0,5 .о(х)*) — 1))*+ л)л), -0,5 (53) где Ьи' = Ь(х — 0,5Ь) и'(х — 0,5Ь). Воспользуемся уравнением баланса (20), которое запишем в виде л-)-0,56 (Ьи')х — — „~ д (х') и (х') о(х'+ — ~ 1(х') ах' = О. х-озм х-0,50 Полагая х' = х + ЕЬ, получим отсюда: 0,5 О,о 0 =(Ьй) — ~ )>(х+ ЕЬ) и(х+ ЕЬ) о(5+ ) 7(х+ ЕЬ) а)ж (54) -0,5 -0,5 их = й'+ 0 (Ь') т>(х) = (а — Ь) й'+ 0 (Ьо) = 0 (Ь') 0,5 так как а=й+0(Ь).
Замечая затем, что ~ о(х+ЕЬ)о(з -0,5 = о(х)+ 0(ЬТ) для О(х) ен С~-'>, получаем >р' = д (х) и (х) — а) (х) и (х) + ()р (х) — >л (х) ) + 0 (Ьт) = 0 (Ьо) в силу (52). Вычитая это тождество из формулы (51), получаем (53). Предположим теперь, что Ь(х), д(х), >'(х)ен С<'> и выполнены условия (52).
Покажем, что т>(х)=0(Ь'), ф'(х)=0(ЬЕ) для всех х =1Ь ~(0, 1), и, следовательно, Ц>Р>1 о — — 0(Ь'). Учитывая, что и(х) ев С<5> н и(х) = и+ О 5Ьй'+ — Ь й" + 0(Ь5), 8 Ал и(х — Ь) = й — — й'+ — й" + 0(Ь5), находим 5и 5 !. схимы для стационарного ррхвнвния 127 11. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов. Вычислим погрешность аппроксимации (51) схемы (25), (26) в случае, когда коэффициенты уравнения (1) разрывны. Без ограничения общности можно считать, что тт(х), д(х) и Г(х) имеют разрывы только в одной точке х = 5 ен (О, !).
Решение и = и(х) уравнения (!) при х = 5 удовлетворяет условиям непрерывности и, тти'. и„,=и„„„, Яи')х„=(!ти')„р„=яр при х=а, (55) где о„,= о($ — О), о„р,„, —— о(5+ 0). Будем предполагать, что й(х), д(х), Г(х) ен 1 !!5! и, следовательно, и(х) ~ Я!5). Рассмотрим наилучшую схему (23), (24). Для иее формула (53) принимает вид тр = т)„+ ф", т! = аи, — lги', 0,5 ф*= < д(х+5Ь)(и(х+И) — и(х))5Ь, -0,5 (56) где < 0 -! 0,5 -! -0,5 ) Г(хт+ 5") '(5.
а!= (57) -0,5 Нетрудно видеть, что х. и! Г Ь(х)и'(х)-ти! ч Ч= — ' ь й (х) 5(Х. (58) х В самом деле х! х; 5(х = — ) и'(х) т(х— Г тит- а Г йх =л 3 А .) а(х) х(х) и'(х)-ти! ь,) а (х) х т-! т-! и! ит-! 'От- /, ! Ч! — = — (а ик ! — ш! 0) и! и! и! Отсюда и из формулы (51) следует, что погрешность аппроксимации ф любой из схем (25), (26) можно записать в форме: х ф=т)„+ф', т)-т)+(а — а)их, ф'=ф — (5( — 5()и+!р — 5р. (59) гл.
ш. одногодныв елзностныв схемы и! 128 Учитывая ограниченность и и их, получаем (1, !т11! ( (1, ~ т1~! + М (1, ! а — а )[, (60) 11ф'~[, о(»[~1*11< О+!~р- р1~<,+м(1, !«-«1). Предположим, что точка разрыва х=5 функций Ь(х), д(х) и )(х) находится на отрезке [х„, х„ю! сетки атл, так что 8 = „+ ОЬ, . „= и (Ь, 8) Ь, О = О (Ь, 8), 0 < О < 1.
При х<$ и х>$ функции Ь(х), д(х) и 1(х) являются достаточно гладкими. Поэтому для любой схемы (25), (26) т1, = 0(Ь') при 1~ п+ 1, ф,'=0(Ь') при (Фл, если 0<0,5, т[т,'=0(Ьт) при (Ф и+1, если О >0,5. (61) Рассмотрим наилучшую схему (23), (24). Для оценки т1„т, воспользуемся формулой (58). Так как поток Ьи' непрерывей, то Ьй= ш„+ч, + 0(Ь) и из (58) следует, что ты+, — — 0 (Ь).
В силу йепрерьтвности и кусочной дифференцируемости функции и(х) имеем и(х+ зй) — и(х) = 0(Ь) и тр„" = 0(Ь) при О < 0,5, тэ„'т, = 0 (Ь) при О > 0,5. Отсюда и из (56), (61) следует, что (1, ! т1 ~! =~ т1„т, 1Ь+ + 0 (Ьт) = 0 (Ьт), 1ф* Ц<, » ((1, ! тр* ~ ) = Ь / тр„" ! + 0 (Ьт) =- 0 (Ьт) при 0<05, Пф'~й о(Ь[ф„'~, /+ 0(Ь) = 0(Ь) при О>05 и =Ь| т(„„— („„~+ О(Ьт) = О(Ь) при О>0,5, так как в общем случае а„+, — а„+, = О (1), д„+, — т(„+~ О (1) И Ф ~~ и <(1, ! Ч 1!+ ! тп 1+ П [т' !< „— — 0 (Ь'), (62) т. е. наилучшая схема (23)„(24) в классе разрывных коэффициентов Ь(х) ен Я', д(х), 1(х) я Я~ имеет второй порядок аппроксимации в негативной норме Ц ° //, Для произвольной схемы (25), (26) погрешность аппроксимации оценивается по формулам (60).
Нетрудно заметить, что (1, [а — а ~[=Ь~ а„+, — а„+, ~+ 0(Ь')-0(Ь), (1, 1й — т( ~) = = Ь ! т(„— т(„! + 0 (Ь') = 0 (Ь) при 0 < 0,5, (1, ! Ы вЂ” т( ! ) $1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ 129 В результате приходим к оценке !1Ф!!< И~~(1, ! ) !)+! )11+!!ф'!1<,+!!~у-9 1!< и+ + М((1, 1а — а !]+(1, 1<1 — «<11) = 0 (й), (63) т. е. любая исходная схема в классе разрывных коэффициентов имеет первый порядок аппроксимации в норме 11 11< 1). Остановимся более подробно на вопросе о локальной структуре погрешности аппроксимации <)<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
