Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

(125)' 1Г! $ ь схемы для стАциснАРного уРАВнения 14а Таким образом, исходной задаче (122) ставится в ссютветствие разностная краевая задача третьего рода (123) — (!25), имеющая второй порядок аппроксимации на решении исходной задачи. 17. Коэффициентная устойчивость разностных схем.

При решении задачи для дифференциального уравнения может оказаться, что коэффициенты уравнения заданы не точно, а приближенно (находятся при помощи некоторого вычислительного алгоритма, в результате физических измерений и т. п.). Коэффициенты однородной разностной схемы являются функционалами от коэффициентов дифференциального уравнения. Погрешность в определении коэффициентов схемы может быть вызвана несколькими причинами: погрешностшо в вычислении шаблонных функционалов, погрешностью в задании коэффициентов дифференциального уравнения, ошибками округления.

Будем называть схему коэффициентно-устойчивой (ко-устойчивой), если при малом возмущении коэффициентов схемы решение краевой задачи меняется также мало, Пусть задана схема с коэффициентами а, 11, 1р: Лу=(ау )„— йу= — 1р, О<к=И<1, у(0) =и„у(1)=и, (126) Рассмотрим эту же схему с возмущенными коэффициентами а, Ю, ф (для упрощения считаем граничные значения и, и ио невозмущенными): Лу = (ау„)„— с)у = — 1р, 0 < х = И < 1, у (0) = ин у (1) = и.. (127) Будем предполагать, что выполнены условия а(х)= с,>0, а(х)>с1>0, с((х)>0, й(х)>0, с,=сопз1>о, (!28) (агх)х (129) =О, о н где Ч'= 1р — 1р+ ( à — Л)у= ф — 1р+((а — а)у )„— (й — с!)у, (130) Решение задачи (!29) представим в виде г(х) = (6(х й) Ч'(й)) (!3!) где 6 (х, $) — функция Грина разностного оператора Л (см.

п. 8): Оч=б(х, ~)( —, 16„~( —, (6 ~( —, (132) с, не зависит от сетки. Оценим разность г = у — у через величины возмущения коэффициентов. Подставляя у = г + у в (!27) и учитывая (126), получаем гл. щ. одногодныв г»зностныв схемы !о !бо Подставим в (131) выражение для Ч' из (130) и преобразуем каждое слагаемое в отдельности. Полагая Ф вЂ” ц~ 3„, Зн = О, н-1 Я, — ~ Ь(Ф» — ~р»), получаем »=с (6(х Ц) 4» — Ф)=(6, З!)= — (66 З). Отсюда и из (132) следует оценка 1(6, р — Ф)1~ —,(1 181)= — Ц р — ФЦ, » (133) где, как и раньше, М-! н-1 Ц р Ц, » =,Х Ь Х Ьр» .

Пусть 6(х, К) — функция Грина для задачи (126). Тогда у(х) (6(х, К), ~р(Ц)), ЦуЦ ( Ц~рЦ», ул=(6;(х, 0 Е(В)) ~/уДс( —,ЦЧ»Ц«, Здесь Ц<рЦо> —- (1, 1~р1). Введем также обозначение Ц а — а)1«~ =(1, 1а — а1). Из двух последних неравенств и (132) получаем !(6(х, К), ((а — а)у!)»)( = )(6м (а — а)у»1( (~ — Ц~рЦ«>Ца — а)1о,. С, (134) Полагая, наконец, д — с) = 5„, Зн = О, преобразуем выражение (6, (д — Щу) =(бу, 3 ) = — ((6у), Я)- — (6у +у(Ц вЂ” Ь) 6, 3). (135) Отсюда и пз предыдущих оценок имеем 1(6, (с( — с)) у)1~ — ', Ц р Цо, Ц с( — г71Ц „.

С! Из оценок (133) — (135) следует Теорема 7. Пусть у(х) и у(х) — решения задач (126), (127) и выполнено условие (128). Тогда имеет место оценка Цу — у1~» —,, )11'р — ФЦ, ~+ —,, Ц р11»(Ц" — Ю1~ ~+Ц вЂ” й) 1, ~)~ (136) выражающая коэффициентную устойчивость задачи (126). 1и з ь схемы для сткционквного уРАВнения Оценку (136) можно заменить более грубой !! У У Пс е ~ ~П ~Р ~РПп> + ~ П ~РПш(П т( дПп)+По в)1~п) ~' (137) Если Па — аИп,=р(й), Пу — фП, „=р(й), ()г( — сХП, п=р(Ь), где р(й)- О при й- О, то схемы (!26) и (127) ко-эквивалентнлР и при р(й) = 0(й ) имеют гп-й порядок ко-эквивалентности.

Если схемы (!26) и (127) ко-эквивалентны и схема (126) сходится, то и схема (!27) сходится. Это следует из неравенства 1!У "Пс~<ПУ УПс+!!у — и!!с-+О при Ь вЂ” «О. о -1 Р-'-()„"'„,), ~=~~-ЦГ|„, а-!~ЧО„ 0,5 0,5 т(= ( д(х+вй)г(в, ср = ( 7(к+ай)с(в, -о,з о 1 о Я д = ~ „,"; „, ~',(. + (Ь) д(,,* = ~' „'~ „, ~'~(. + (Ь) д(. -кз Подставляя эти выражении в (!36), получаем Пу — УПс( —," )П Р вЂ” Р1~ и+ —,ПЯ~Пп>(Пд — Й1~ и+По — а!!<и) (+ + —, ~ (1, ! сР' ! ) + ! <Р,' ! + — !! ср П,п ((1, ! гр 1) + ! д„' ~ ) ~. (138) Коэффициенты д' и ~Р*, как нетрудно заметить, являются величинами 0(Ь): д =0(Ь) при У~Со'(О, 1), ~Р 0(Ь) при 7енСп'(О, Ц.

Свойство ко-эквивалентности однородных схем (126) позволяет оценивать порядок точности данной конкретной схемы путем сравнения, согласно (!36) или (!37), ее коэффициентов а, Ы, ~Р с коэффициентами а, д, ф некоторой эталонной схемы, порядок точности которой известен. Особенно удобно использовать в качестве эталонных схем усеченные схемы 2т-го ранга и в частности схему нулевого ранга, имеюшую второй порядок точности в классе кусочно- непрерывных коэффициентов: Ь, д, ! ~ Я~еПО, Ц (см.

п. 14), Эта схема записывается в виде уравнения (!26) с коэффициентами ГЛ, Н!, ОДНОРОДНЫЕ РАЭНОСТНЫЕ СХЕМЫ пг 152 Если же й, д, [ — кусочно-непрерывны и кусочно-дифференцируемы и точка $ разрыва коэффициентов находится вне отрезка [1 — й, ![, то (1, !6Г!)=0(й), (1, !!р !)=0(й), гр =0(й), г(" = 0(й).

Если 1 — й < $ < 1, то незначительные изменения в предыдуших рассуждениях приводят к оценке (138), где !!(„'!, [!р„'! следует заменить на )г(;[, !!р!(, а норму !!1г!!! !! выражением л — 1 !!и!!1- =,2~ й Ъйр Тогда ! !р', ! = 0 (й), ! г(, ( = 0 (й). Таким образом, неравенство (138) принимает вид !!р — у!!,< —,[![!р — !р![, и+ —,!!!р![,и([!с(-!(!!, н+!! — 4!,и)[+ + Мйг, М =сопз!. Отсюда следует, что наилучшая схема (23), (24) имеет второй порядок точности в классе коэффициентов й, д, [ ~ О!!![О, 1[. 18. Однородные схемы для уравнения в цилиндрической и сферической системах координат. Рассмотрим уравнение более общего вида, чем (!): — „— (х"й(х) — ) — д(х) и = — [(х), 0<х<1, л> О, (139) 0 < с, <» й (х) » (сг, д (х) ) О.

К такому уравнению приводятся стационарные задачи диффузии с осевой симметрией (п = 1) и с центральной симметрией (а = 2). При х = 0 ставится условие ограниченности [и(0) [< ОО (см. Добавление П в книге А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [6[), которое эквивалентно условию 1!гп х"й (х) — = О. (140) х Лх При х =! ставится обычное краевое условие, например, и(1) = р,. (14! ) Пусть и,(х) и иг(х) — линейно независимые решения уравнения (139) при п >! и иг(х) ограничено при хан[0, ![.

Тогда справедливы свойства; 1) Если д(0) и [(0) конечны, то и! (0) чь О, и!(0) = О. 4 ь схемы для стхционлнного звлвнения !вз 2) Если д(х), 1(х) ен Сии[0, 11, й(х) ~ Сои[0, ![, то производ- ные иц и"„и<в~, и",' ограничены при 0(~х(1. 3) Второе, линейно независимое с и,(х) решение ив(х) урав- нения (!39) имеет при х = 0 логарифмическую особенность. Условия (140) и (!4!) выделяют единственное решение урав- нения (139). В силу свойства 1) условие (!40) можно заменить требованием и' (0) = О. (! 42) Разиостную схему для уравнения (!39) напишем так, чтобы при и = 0 она формально переходила в схему (25): Ь<ь му = Лу = — „(х"а (х) у„(х))„— в((х) у = — ф (х), (!43) О < х = уй < 1, где х=х — 0,5Ь или х; =(! — 0,5) Ь н а (х) = А [Ь (х + зй)1, — 1 ( з (~ О, а(х) = — „Р[(х+зй)" а(х+зй)), ф(х) = — „Р[(х+зй)"!(х+зй)), (144) А [й(з)) и Р[7(з)) — шаблонные функционалы, рассмотренные в п.

7. Краевое условие при х = ! имеет вид у(1) =!к. (145) Покажем, что разностное краевое условие а (й) у„(0) = +, (д (0) у(0) — 1(0) ) (146) аппроксимирует условие (!40) с порядком йв на решении урав- нения (139), удовлетворяюшем условию (!40). В самом деле, погрешность аппроксимации условия (!46), очевидно, равна а(й) и,(0) — („,! (д(О) и(0) — [(0) ). Подставляя сюда а(Ь) = й(0)+ О 5ЬЬ'(О) + 0(йв), и,(0) и'(0)+0,5йи" (0)+О(йв), получаем т=(йи')в+0,5Ь(йи')' — 2 + (д(0)и(0) — )(0))+0(й'). (147) Из уравнения (139) имеем: (йи')' = ди — 1 — —.

к 1!о гл. Оь одноеодные елзностные схемы !54 Так как йи'-эО при х- О, то —" — „--х(йй)' и (йй)о=(уи-й,— л(йй)о= — ', (уи-~)о. Отсюда и из формулы (!47) следует, что = О (йо) Разностное краевое условие (146) будем записывать в виде о1ух о , а ( й/4, л = 1, ь чоуо = 1о й 2(л + 1) ( й~б 2 (148) Напишем условие для разности е = у — и, где у — решение задачи (143) — (146), и — решение задачи (139) — (141). Подставляя у = х+ и в (143) — (!46), получаем Лх= — „(ах"ех) — Ж= — ф(х), 0(х=(й(1, а1«, о а (! 49) г(!) =О, —,"' — д = — — й*= о Ч о 21«+!) 1 где (! 50) ф(х) = — „(ах"и«)„— г(и+ ф(х) погрешность аппроксимации схемы в классе решений и=а(х) исходной задачи.

Напишем уравнение баланса для (139): х~еу 0= — (в~+ч,— в~ ь) — — ~! а(х)и(х)х Нх+ ! ! Г х а.«7 «Е-Ч, и+у, + — „~ Г(х) х" дх, в, =хо,й(х,) и'(х,). (15!) ~! с-а Вычитая это тождество из (150), будем иметь: Ф= хх Чх+ор ! (152) т1(х) = х" (аих — й (х) й (х)), (153) с+и «~+'а х:=(х — — 1 л«х* — х — — ) нх.о~*«.). 1 Г ! Ахх х «! — ч 'х! /, (! 54) $ !. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ По условию, при я=О схема (143) принадлежит исходному семейству схем из п.

Характеристики

Список файлов книги