Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 27
Текст из файла (страница 27)
7, удовлетворяющих условиям второго порядка аппроксимации: А[1] = 1, А~ [з]= — О 5, так что а! =й1-1, +0(лх), йеи С~21, Р[1]=1, Р[з]=0, так что Р[!'(х1+зп)]=!1+0(Ь'), [~С!!. Найдем разложения 1р и 2т по степеням 21. Подставляя выражение 1(хс+ з12) =1(хс)+ й4'(х1)+ 05/Рзх(", — 05 «-'а < 05, где Гх значение производной 1"(х) в некоторой средней точке интервала (х, — 0,56, х1 + 0,5й), в формулу для 1р(х), получаем !р(х) = — „Р[(х+ ай)" ~(х+ за)] = (х+„' ~(х)+ + ' 1(х+' ! '1 ['(х)+ — Р[(х+зй)" з7"] (155) Вычислим коэффициенты при 1(х) и Р(х).
При я=1 имеем — Р [х 1- зй] = 1, — Р [зх -!. зхй] = — Р [з ]. ! ! 2 х х х При л = 2 имеем х. [(+ )']= + — Х2 ["], —, Р [з (х + з!2)2] = — Р [зх] + — Р [зх]. ! 26 А' Так как Р[! (з)] — неотрицательный функционал, т. е. Р[[]~)0 прн [)О, то ! — Р[зх(х+И)"["]( с Р[зх(х+056)"]=]][" ]~с[ ' / Р[з], х х 1~ ]!С !х+0,5М" — „' Р[" (.+.й) [х] <(1 + — „") И" П,Р[з']<-',]] [х]],Р[ '].
— „, Р[" ( + й)'1Р]<[1+ — „'+ —,„,)ПП Р["]< —,И[" И РИ. Отсвда и из (155) следует, что для ~р(х) справедливы фор- мулы 1р(х) =1(х)+ — Р [ах]!" (х)+ 0(112), О = 1, (.) -(1+5 Р["]) [( )+ + — „(2Р [ах]+ — Р [за]) ['(х) + 0 (лх), и = 2. (157) гл. нь одноводные давностные схемы пв 156 Для наилучшей схемы 0,5 ~[/())= [/(), Г[~)=4, ГИ=6, -0,5 и, следовательно к+ода '(.) = — ' [ 1/(1)и/=(1 1"-'"')/(,) 5-0,50 + «2 /'(х)+0(й'), и=1, 2. (158) А««алогичные формулы получаются для «1(х) и «((х). Напишем теперь выражение для ф': «Р' =ф — (1+ 1, )/(х) +[«5 — (1+ «2 «й) «/(х)1 "(х) — ф (/ — «/и)'+ 0 (й'). (159) Из формулы (159) видно, что при Ги = '/„ йа ф'= ",2„И -/) +0(й'), (166) В этом случае Г[5'] = '/„.
В дальнейшем будем предполагать, что ф(х) и «1(х) в нашей схеме определяются либо по этим формулам, либо по формулам (!56) и (15?) при условии, что Р[55) = 1/12. Тогда погрешность аппроксимации в классе «),/~ С«п равна «р,'. =ф« — ф,— («2« — ««,) и«+«р," .= 0(йв/х) при и = 1, 2, так как ф« — «р, = 0 (йв/х«) + 0 (й'), 5(« — ««« = 0 (й'/х) + 0 (йв), "«+'а ф" = — 1 «1 (х) х" (и [х) — и(х«)) «(х = — «)и' + 0 (йв), йхо 12к« 55 у т. е. Х«Р*(х) = 0(й') для и= 1, 2. Простейшие формулы для ф(х) и «1(х), очевидно, имеют вид «р(х) =/(х), 5((х)=«)(х) при и=1, (161) «р (х) = (1 + —,„, ) /(х), «2 (х) = (1 + —,, ) «) (х) при и = 2.
(162) (ог о Ь СХЕМЫ дЛЯ СтАНИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ В результате для ф получаем формулу ф= — о(х"о))„+ой', т),=(аих),— (йи'), у (163) причем о) = 0(й'), хф" (х) =0(й') при й, д, 7~6~'>. (164) Перейдем теперь к выводу априорной оценки для решения задачи (!49) с правой частью (163). Нам понадобится разностная функция Грина 6(х, ~), кото- рую определим как решение задачи (ср.
с п. 8) Л,6(х, $)= — „', 0<х<1, 0(~(1, — „, а,х",6„(0, Ь) = дох",6 (О, ~) — '„'., 0 (й < 1, 6 (1, о) = О, х, = 0,5й, й* = 0,5й/(п + 1). функция Грина 6(х, ~) выражается формулой а(х) Р(1) х<~, 6(х, ь) = ер( ) а()) где а(х) и р(х) — решения задач Коши: Ла=О, 0<х<1, а,а,,о=й о)оао, ао=1 ЛО=О, 0<х<1, (ах"Д ) = — 1, р, =8(1)=0. Отсюда видно, что а(х) монотонно возрастает, а 6(х) моно- тонно убывает. Изучение свойств функции 6(х,й) проводится по аналогии с п. 9: сначала устанавливаются оценки для функции 6,(х, $) (и 6оь(х, ь)), соответствующей случаю д(х) = О, а затем приме- няется аналог леммы 1, в силу которого 0 ~( 6 (х, В) ~ (6о(х, $), ! 61(х, $) ! <2 шах ! 6о( (х, Ь) !.
ке Если д(х)= — О, то а(х) и 8(х) находятся в явном виде ! а (х) — 1, 8(х) = ~) „, Г = 1 — 0,5й, х.-. О. (165) Отсюда следует, что ( й($), х(~$, ( ()1(5), х<$, Покажем, что справедливы следующие оценки $6(х,' ф) ~МИ $"! 61(х, $) )~(Мго (6(х, ф), 1) ~~Ма, (167) гл. пь одноводные гьзностные схимы !1В 155 где Мо Мв, Мв — положительные постоянные, зависящие только от со Из сказанного выше следует, что достаточно установить эти оценки для функции бь(х, 5). Рассмотрим сначала функцкю 1 1 1=»+Ь 1-»ЬЬ Пользуясь известным неравенством ь ь ~~)~~/(х) < ) /(х)1(х, а)1, а-1 где /(х) — положительная убывающая функция, а и Ь вЂ” целые числа, суммирование ведется по целым х, получаем ! Ь ! Г 1!а Р(х1)( — +— + 0 5Ь)» а Ь» ! а» 1-10,5 Р(х1) < — ~2+ 1п +055~ при в=1, х,) О, 1 1 ! ! ) (168) Р (хв) < .
+ 0,5Ь с, х+05Ь при п=2, х,)0, 1 ') так как 1/(х,+0,6Ь) (2//ь при х,)0. Если х,) О, то р(х1) < < — 1п — при п=!, Р(х,)<1/(с,х,) при о=2 (хв й). ! 1 Рассмотрим теперь выражение ( 'г',р (с), х (~ ~, $~(х, 5)(5~~(х, $) =~ ( ) Так как р(х) монотонно убывающая функция, то р(х) (~()($) при х) ~ и, в силу (168), получим ~6в(~)Яр($) <М„М, =6/со и=1, 2. Далее, из определения ()(х) следует, что ! 1 ! ! 1Рь®1=! (В) Г 1 < В" т. е $ ~() ф)~ (~1/с1.
Из формулы для 6!я(х, ~) находим $" ~ !)о! ~ (~В 1(1 ($)1(~1/с„ т. е, Мз . 2/с1. 1В! $1, СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ 159 Оценим скалярное произведение (6 (х, $), 1) следующим образом: к 1-Л (6(.,а), 1)<(6.(,и, 1)-,ХМ()+,Х МВ= 1-А = хр(х) + ~1 Ьб ($). $-к+А Подставляя сюда оценки для р(х), пользуясь неравенством (168), получаем (6(х, 5), 1)<4/с, при п=!. (169) В самом деле, 1-Л (6е(х, е) 1)~< —, ~2х+х(п +о-А ) + —,~~~ (2+ !и о-А )Ь. Е= ее ! функция 1!и — принимает при !=е ' наибольшее значение, равное е ', а сумма оценивается так 1-А Х-1 М-1 Х Ь!" Озз =" Х '" ч"о- <Ь ~ '" — оз "и< Е- 1+и ' 1-1+1 < Ь ~ !и — 1/а = Ьа !и — ~ = 1 — (х + 0 5Ь)!и < 1, АГ еА1 1х е к+ 0,5Ь 1+ОЛ е так как 0<(х+0,5Ь)!и о „<~!. В результате получаем (6е (х, ~), 1) < — ~ ~2х + — ) + 2 (1 — х) + 1 ~ = — (3 + — ) < — .
Решение задачи (149) при помощи функции Грина 6(х, й) выражается формулой х(х) =(6(х, $), 4"ф(5))+ 6(х, 0)хк1у. (170) В этом можно убедиться непосредственно путем подстановки выражения (!70) в уравнение (149). Подставим в (170) выражение (!63) для ф и воспользуемся формулой суммирования по частям: е(х) = — (6 (х, 5)~', к!($)]+(6(х, $), ~"ф'(~))+ 6(х, 0)х1У. Учитывая (155)-(167), получим: !!а!(О~Ма(! !т!!1+!У(/с1+Ме(!Еф ($)!(с при л 1 !! а !!с ~ Ме (1. ! Г) 1) + ! У !/с, + М, !! $ф' Ц) !!„.
при и = 2. гл. ш. однояодныв вхзностныв схимы по 1бо Выберем наибольшую из постоянных М!, Мо н М, н обозначим ее Мо. Тогда обе оценки можно объединить: ! ! з ! ! с ~™ о ( ( ! ! Ч ! ) + ! ! В Ф Й ) ! ! с + ! т ! ) ( 1 7 1 ) Так как о) (4) = 0 (Ь'), Цо[о* (4) = 0 (Ь'), т = 0 (Ьо) при й, а, ~~С!'1, то схема (143) — (146) сходится со скоростью 0(й') при и= 1, 2. Пусть теперь й(х), г)(х) и )(х) — разрывные функции. Выберем неравномерную сетку о!о(К) так, чтобы точки разрыва функций п(х), д(х) и )(х) были узловыми точками сетки. Разностх ная схема для задачи (139) — (!41) будет иметь вид — „(х аух) — о(у= — ор(х), х=хь 1=1, 2, ..., ))) — 1, (172) и!ух, о Л )(2 (и+ 1)) ЧОУО !О УП )ХО Коэффициент а, = А [й(х, + ай!)), а ор, и г)! определяются по формуле а, )' па, п(п — 1)Ь»о!! 2оо! 4х; 24х; Ьо+! )' па,+! и (п — 1) Ьо!,! о) 2Л~ [, 4х! 24х! (173) где )! 4=7(х! ~- 0). При и = 0 отсюда следует известная формула (см.
п. 13) Изложенным выше методом можно получить априорную оценку для г= у — и через погрешность аппроксимации ф= - — „(х"о))х+ ![!*; из этой оценки следует, что схема (172) — (!73) имеет второй порядок точности на сетке ооь(К) в классе разрывных коэффициентов й(х), д(х), )(х)~ я!о!. Рассмотрим схему второго зипа — «схему на потоковой сетке». Разобьем отрезок [О, ![ на ))) частей, введя узлы (потоковые точки): хо=О, х, =056, х,=1,5)1, ..., х; =(! — 0,5))1, ...
..., хя ! — — (й) — 1,5)6, хя —— (Л! — 0,5)Ь=! Пусть у! = У(х!) — значения искомой сеточной функции в этих узлах, З и схемы для стхционлгного угавнвния 16! Для получения разностной схемы воспользуемся уравнением баланса для (139). Рассматривая уравнение баланса для интервала х,, хг ь4.:х <хг+ч,= хо г> 1, получаем «з-(х"ау„) — г(у+ф(х)-0, х=хг, 1<г'<!У, (174) Из уравнения баланса для интервала 0 (х(х, =(г и ' + — „! (1 (х) — д (х) и (х)) х" г(х = О, и (х) = х" lг (х) и' (х) и условия гас = 0 следует разностное уравнение при х =х, = 0,5Ь а х,агу» 1 — — йд,+ р,=О, х",Ь (176) где ам г(ь ф, определяются по формулам (!75'.
При х 1 ставится обычное условие (! 77) В результате получаем разностное уравнение (!74) с краевыми условиями (176) н (177). Пусть у = у(х) — решение этой задачи. Для погрешности х =р — и получим следующую задачу: =„(х"ахх), — г(а+ ф(х) = О, х = (г' — 0,5) Ь, 1=2,3,...,У вЂ” 1, хх — — О, и х~ агх хх,л — г(1х, +ф! =О, (178) где ф — погрешность аппроксимации, равная фг=$(хг) — „(х айх) .г — г(гиг+фг, г=2, 3, „М вЂ” 1, х", ха ! фг = — пзих,1 4и1 + фг х'~Ъ где х, = (л, а(х) = А(lг(х+ за)), г((х) = — „г Ц(х+ з!г)), ! (! 75) ф(х) = =„г" (1(х+ за)], д(х) = х"г!(х), !'(х) = х"!(х).
Гл. Ые ОднОРОдные РАзностные схемы !!В Отсюда и из уравнения баланса для интервала х,, -х~х! следует, что ФВ- — „'„(х"Ч), !+ Ф;* 4! т1,. = а,.й„, - ЬВии !' = 2, 3, ..., ЬВ, х1, = О, й (х!) = и! .. х! ф! = !р, — <р! — (й! — й,.) и,. + — а ~ х" д (х) (и (х) — й (х!)) В(х, х ! — ! где х! !р, = — „~ х")(х) В!х.
! †! ВР = =„(х"В!)„+ ф', (179) где В! = 6 (Ь'), хВр'(х) = 0(Ь') при Ь, и, ! ее С!В!. Вводя разностную функцию Грина при помощи условий =,(х"абх(х, е))„— с16(х, е)- —,' Е) ! х)05Ь, х",аа Е(х, е) †' „~ 6„(х„ ~) - В(! 6 (х!, ~) = — „ , 6 (хВ!, ~) = О, Иха! х! получим для г = у — и следующее выражение: е(х)=(6(х, 1), е $(е)) где А!-! (йф о ф) =,')~~ р(~, ) о ф, ) Ь, е!, =(! — 0,5)Ь. Подставляя сюда выражение для ф находим: Е(х) — (61(х Е)Е" В!(Е))+(6(х Е)Е -' ЕВр*($)) В силу ограниченности ~ 61е" ~ и (6(х, е)е" ', 1) получаем !! х !!с «» Мо ((1 ! Ч ! 1+ !! ЬФ (М). И' Полагая !р! =!!, В1! = д! при и=! и !Р! = 1+ — В~~„ !ех2 !' И2 и!= ! + —,1д! при и=2, получаем для Вр! следующую фор!2х! ) мулу: А 1.