Главная » Просмотр файлов » Самарский - Введение в теорию разностных схем

Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 27

Файл №947501 Самарский - Введение в теорию разностных схем (Самарский - Введение в теорию разностных схем) 27 страницаСамарский - Введение в теорию разностных схем (947501) страница 272013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

7, удовлетворяющих условиям второго порядка аппроксимации: А[1] = 1, А~ [з]= — О 5, так что а! =й1-1, +0(лх), йеи С~21, Р[1]=1, Р[з]=0, так что Р[!'(х1+зп)]=!1+0(Ь'), [~С!!. Найдем разложения 1р и 2т по степеням 21. Подставляя выражение 1(хс+ з12) =1(хс)+ й4'(х1)+ 05/Рзх(", — 05 «-'а < 05, где Гх значение производной 1"(х) в некоторой средней точке интервала (х, — 0,56, х1 + 0,5й), в формулу для 1р(х), получаем !р(х) = — „Р[(х+ ай)" ~(х+ за)] = (х+„' ~(х)+ + ' 1(х+' ! '1 ['(х)+ — Р[(х+зй)" з7"] (155) Вычислим коэффициенты при 1(х) и Р(х).

При я=1 имеем — Р [х 1- зй] = 1, — Р [зх -!. зхй] = — Р [з ]. ! ! 2 х х х При л = 2 имеем х. [(+ )']= + — Х2 ["], —, Р [з (х + з!2)2] = — Р [зх] + — Р [зх]. ! 26 А' Так как Р[! (з)] — неотрицательный функционал, т. е. Р[[]~)0 прн [)О, то ! — Р[зх(х+И)"["]( с Р[зх(х+056)"]=]][" ]~с[ ' / Р[з], х х 1~ ]!С !х+0,5М" — „' Р[" (.+.й) [х] <(1 + — „") И" П,Р[з']<-',]] [х]],Р[ '].

— „, Р[" ( + й)'1Р]<[1+ — „'+ —,„,)ПП Р["]< —,И[" И РИ. Отсвда и из (155) следует, что для ~р(х) справедливы фор- мулы 1р(х) =1(х)+ — Р [ах]!" (х)+ 0(112), О = 1, (.) -(1+5 Р["]) [( )+ + — „(2Р [ах]+ — Р [за]) ['(х) + 0 (лх), и = 2. (157) гл. нь одноводные давностные схемы пв 156 Для наилучшей схемы 0,5 ~[/())= [/(), Г[~)=4, ГИ=6, -0,5 и, следовательно к+ода '(.) = — ' [ 1/(1)и/=(1 1"-'"')/(,) 5-0,50 + «2 /'(х)+0(й'), и=1, 2. (158) А««алогичные формулы получаются для «1(х) и «((х). Напишем теперь выражение для ф': «Р' =ф — (1+ 1, )/(х) +[«5 — (1+ «2 «й) «/(х)1 "(х) — ф (/ — «/и)'+ 0 (й'). (159) Из формулы (159) видно, что при Ги = '/„ йа ф'= ",2„И -/) +0(й'), (166) В этом случае Г[5'] = '/„.

В дальнейшем будем предполагать, что ф(х) и «1(х) в нашей схеме определяются либо по этим формулам, либо по формулам (!56) и (15?) при условии, что Р[55) = 1/12. Тогда погрешность аппроксимации в классе «),/~ С«п равна «р,'. =ф« — ф,— («2« — ««,) и«+«р," .= 0(йв/х) при и = 1, 2, так как ф« — «р, = 0 (йв/х«) + 0 (й'), 5(« — ««« = 0 (й'/х) + 0 (йв), "«+'а ф" = — 1 «1 (х) х" (и [х) — и(х«)) «(х = — «)и' + 0 (йв), йхо 12к« 55 у т. е. Х«Р*(х) = 0(й') для и= 1, 2. Простейшие формулы для ф(х) и «1(х), очевидно, имеют вид «р(х) =/(х), 5((х)=«)(х) при и=1, (161) «р (х) = (1 + —,„, ) /(х), «2 (х) = (1 + —,, ) «) (х) при и = 2.

(162) (ог о Ь СХЕМЫ дЛЯ СтАНИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ В результате для ф получаем формулу ф= — о(х"о))„+ой', т),=(аих),— (йи'), у (163) причем о) = 0(й'), хф" (х) =0(й') при й, д, 7~6~'>. (164) Перейдем теперь к выводу априорной оценки для решения задачи (!49) с правой частью (163). Нам понадобится разностная функция Грина 6(х, ~), кото- рую определим как решение задачи (ср.

с п. 8) Л,6(х, $)= — „', 0<х<1, 0(~(1, — „, а,х",6„(0, Ь) = дох",6 (О, ~) — '„'., 0 (й < 1, 6 (1, о) = О, х, = 0,5й, й* = 0,5й/(п + 1). функция Грина 6(х, ~) выражается формулой а(х) Р(1) х<~, 6(х, ь) = ер( ) а()) где а(х) и р(х) — решения задач Коши: Ла=О, 0<х<1, а,а,,о=й о)оао, ао=1 ЛО=О, 0<х<1, (ах"Д ) = — 1, р, =8(1)=0. Отсюда видно, что а(х) монотонно возрастает, а 6(х) моно- тонно убывает. Изучение свойств функции 6(х,й) проводится по аналогии с п. 9: сначала устанавливаются оценки для функции 6,(х, $) (и 6оь(х, ь)), соответствующей случаю д(х) = О, а затем приме- няется аналог леммы 1, в силу которого 0 ~( 6 (х, В) ~ (6о(х, $), ! 61(х, $) ! <2 шах ! 6о( (х, Ь) !.

ке Если д(х)= — О, то а(х) и 8(х) находятся в явном виде ! а (х) — 1, 8(х) = ~) „, Г = 1 — 0,5й, х.-. О. (165) Отсюда следует, что ( й($), х(~$, ( ()1(5), х<$, Покажем, что справедливы следующие оценки $6(х,' ф) ~МИ $"! 61(х, $) )~(Мго (6(х, ф), 1) ~~Ма, (167) гл. пь одноводные гьзностные схимы !1В 155 где Мо Мв, Мв — положительные постоянные, зависящие только от со Из сказанного выше следует, что достаточно установить эти оценки для функции бь(х, 5). Рассмотрим сначала функцкю 1 1 1=»+Ь 1-»ЬЬ Пользуясь известным неравенством ь ь ~~)~~/(х) < ) /(х)1(х, а)1, а-1 где /(х) — положительная убывающая функция, а и Ь вЂ” целые числа, суммирование ведется по целым х, получаем ! Ь ! Г 1!а Р(х1)( — +— + 0 5Ь)» а Ь» ! а» 1-10,5 Р(х1) < — ~2+ 1п +055~ при в=1, х,) О, 1 1 ! ! ) (168) Р (хв) < .

+ 0,5Ь с, х+05Ь при п=2, х,)0, 1 ') так как 1/(х,+0,6Ь) (2//ь при х,)0. Если х,) О, то р(х1) < < — 1п — при п=!, Р(х,)<1/(с,х,) при о=2 (хв й). ! 1 Рассмотрим теперь выражение ( 'г',р (с), х (~ ~, $~(х, 5)(5~~(х, $) =~ ( ) Так как р(х) монотонно убывающая функция, то р(х) (~()($) при х) ~ и, в силу (168), получим ~6в(~)Яр($) <М„М, =6/со и=1, 2. Далее, из определения ()(х) следует, что ! 1 ! ! 1Рь®1=! (В) Г 1 < В" т. е $ ~() ф)~ (~1/с1.

Из формулы для 6!я(х, ~) находим $" ~ !)о! ~ (~В 1(1 ($)1(~1/с„ т. е, Мз . 2/с1. 1В! $1, СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ 159 Оценим скалярное произведение (6 (х, $), 1) следующим образом: к 1-Л (6(.,а), 1)<(6.(,и, 1)-,ХМ()+,Х МВ= 1-А = хр(х) + ~1 Ьб ($). $-к+А Подставляя сюда оценки для р(х), пользуясь неравенством (168), получаем (6(х, 5), 1)<4/с, при п=!. (169) В самом деле, 1-Л (6е(х, е) 1)~< —, ~2х+х(п +о-А ) + —,~~~ (2+ !и о-А )Ь. Е= ее ! функция 1!и — принимает при !=е ' наибольшее значение, равное е ', а сумма оценивается так 1-А Х-1 М-1 Х Ь!" Озз =" Х '" ч"о- <Ь ~ '" — оз "и< Е- 1+и ' 1-1+1 < Ь ~ !и — 1/а = Ьа !и — ~ = 1 — (х + 0 5Ь)!и < 1, АГ еА1 1х е к+ 0,5Ь 1+ОЛ е так как 0<(х+0,5Ь)!и о „<~!. В результате получаем (6е (х, ~), 1) < — ~ ~2х + — ) + 2 (1 — х) + 1 ~ = — (3 + — ) < — .

Решение задачи (149) при помощи функции Грина 6(х, й) выражается формулой х(х) =(6(х, $), 4"ф(5))+ 6(х, 0)хк1у. (170) В этом можно убедиться непосредственно путем подстановки выражения (!70) в уравнение (149). Подставим в (170) выражение (!63) для ф и воспользуемся формулой суммирования по частям: е(х) = — (6 (х, 5)~', к!($)]+(6(х, $), ~"ф'(~))+ 6(х, 0)х1У. Учитывая (155)-(167), получим: !!а!(О~Ма(! !т!!1+!У(/с1+Ме(!Еф ($)!(с при л 1 !! а !!с ~ Ме (1. ! Г) 1) + ! У !/с, + М, !! $ф' Ц) !!„.

при и = 2. гл. ш. однояодныв вхзностныв схимы по 1бо Выберем наибольшую из постоянных М!, Мо н М, н обозначим ее Мо. Тогда обе оценки можно объединить: ! ! з ! ! с ~™ о ( ( ! ! Ч ! ) + ! ! В Ф Й ) ! ! с + ! т ! ) ( 1 7 1 ) Так как о) (4) = 0 (Ь'), Цо[о* (4) = 0 (Ь'), т = 0 (Ьо) при й, а, ~~С!'1, то схема (143) — (146) сходится со скоростью 0(й') при и= 1, 2. Пусть теперь й(х), г)(х) и )(х) — разрывные функции. Выберем неравномерную сетку о!о(К) так, чтобы точки разрыва функций п(х), д(х) и )(х) были узловыми точками сетки. Разностх ная схема для задачи (139) — (!41) будет иметь вид — „(х аух) — о(у= — ор(х), х=хь 1=1, 2, ..., ))) — 1, (172) и!ух, о Л )(2 (и+ 1)) ЧОУО !О УП )ХО Коэффициент а, = А [й(х, + ай!)), а ор, и г)! определяются по формуле а, )' па, п(п — 1)Ь»о!! 2оо! 4х; 24х; Ьо+! )' па,+! и (п — 1) Ьо!,! о) 2Л~ [, 4х! 24х! (173) где )! 4=7(х! ~- 0). При и = 0 отсюда следует известная формула (см.

п. 13) Изложенным выше методом можно получить априорную оценку для г= у — и через погрешность аппроксимации ф= - — „(х"о))х+ ![!*; из этой оценки следует, что схема (172) — (!73) имеет второй порядок точности на сетке ооь(К) в классе разрывных коэффициентов й(х), д(х), )(х)~ я!о!. Рассмотрим схему второго зипа — «схему на потоковой сетке». Разобьем отрезок [О, ![ на ))) частей, введя узлы (потоковые точки): хо=О, х, =056, х,=1,5)1, ..., х; =(! — 0,5))1, ...

..., хя ! — — (й) — 1,5)6, хя —— (Л! — 0,5)Ь=! Пусть у! = У(х!) — значения искомой сеточной функции в этих узлах, З и схемы для стхционлгного угавнвния 16! Для получения разностной схемы воспользуемся уравнением баланса для (139). Рассматривая уравнение баланса для интервала х,, хг ь4.:х <хг+ч,= хо г> 1, получаем «з-(х"ау„) — г(у+ф(х)-0, х=хг, 1<г'<!У, (174) Из уравнения баланса для интервала 0 (х(х, =(г и ' + — „! (1 (х) — д (х) и (х)) х" г(х = О, и (х) = х" lг (х) и' (х) и условия гас = 0 следует разностное уравнение при х =х, = 0,5Ь а х,агу» 1 — — йд,+ р,=О, х",Ь (176) где ам г(ь ф, определяются по формулам (!75'.

При х 1 ставится обычное условие (! 77) В результате получаем разностное уравнение (!74) с краевыми условиями (176) н (177). Пусть у = у(х) — решение этой задачи. Для погрешности х =р — и получим следующую задачу: =„(х"ахх), — г(а+ ф(х) = О, х = (г' — 0,5) Ь, 1=2,3,...,У вЂ” 1, хх — — О, и х~ агх хх,л — г(1х, +ф! =О, (178) где ф — погрешность аппроксимации, равная фг=$(хг) — „(х айх) .г — г(гиг+фг, г=2, 3, „М вЂ” 1, х", ха ! фг = — пзих,1 4и1 + фг х'~Ъ где х, = (л, а(х) = А(lг(х+ за)), г((х) = — „г Ц(х+ з!г)), ! (! 75) ф(х) = =„г" (1(х+ за)], д(х) = х"г!(х), !'(х) = х"!(х).

Гл. Ые ОднОРОдные РАзностные схемы !!В Отсюда и из уравнения баланса для интервала х,, -х~х! следует, что ФВ- — „'„(х"Ч), !+ Ф;* 4! т1,. = а,.й„, - ЬВии !' = 2, 3, ..., ЬВ, х1, = О, й (х!) = и! .. х! ф! = !р, — <р! — (й! — й,.) и,. + — а ~ х" д (х) (и (х) — й (х!)) В(х, х ! — ! где х! !р, = — „~ х")(х) В!х.

! †! ВР = =„(х"В!)„+ ф', (179) где В! = 6 (Ь'), хВр'(х) = 0(Ь') при Ь, и, ! ее С!В!. Вводя разностную функцию Грина при помощи условий =,(х"абх(х, е))„— с16(х, е)- —,' Е) ! х)05Ь, х",аа Е(х, е) †' „~ 6„(х„ ~) - В(! 6 (х!, ~) = — „ , 6 (хВ!, ~) = О, Иха! х! получим для г = у — и следующее выражение: е(х)=(6(х, 1), е $(е)) где А!-! (йф о ф) =,')~~ р(~, ) о ф, ) Ь, е!, =(! — 0,5)Ь. Подставляя сюда выражение для ф находим: Е(х) — (61(х Е)Е" В!(Е))+(6(х Е)Е -' ЕВр*($)) В силу ограниченности ~ 61е" ~ и (6(х, е)е" ', 1) получаем !! х !!с «» Мо ((1 ! Ч ! 1+ !! ЬФ (М). И' Полагая !р! =!!, В1! = д! при и=! и !Р! = 1+ — В~~„ !ех2 !' И2 и!= ! + —,1д! при и=2, получаем для Вр! следующую фор!2х! ) мулу: А 1.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,71 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее