Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Для уравнения (79) пишется чисто неявная (четырехточеч- ная) однородная схема р (х, 1) уо =- Л (1) у + ~р, у(х, 0)=ио(х), у(0, 1) и,(1), у(1, 1)=и (1). ] Э 3. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРЛБОЛИЧЕСКОГО УРХВССЕСПСЯ тот Коэффициенты р, ср вычисляются по тем же формулам, что и с(, Ь-. Погрешность аппроксимации этой схемы, в силу построения оператора Л (см. $ 1, п. !5), есть ср = 0(т+ йз).
Так же, как и в предыдущем пункте, можно показать, что для задачи (80) с сс, = и, = 0 при любых й и т справедлива оценка I !~!с"'!1с<~!1с'1!с+ —, ~~ ~! р" ~~,, с -о В случае сферической симметрии уравнение теплопроаодпости имеет вид — = —., — (й(х, 1) хз — ) Р )с(х, 1). ди ! д , ди~ дс х'-' дх 1, ' дх) (8! ') В й 1, п. !8 были изучены однородные схемы для стационарных уравнений в сферической и цилиндрической системах координат.
Рассмотрим уравнение более общего, чем (81) и (81') вида — = — — (х"й(х, с) — и) -, 'С" (х, С), 0<х<1, с)0, 1 и(х, 0) =и,(х), Уг(х, 1))сс)0. ) При и = 1 получаем уравнение (81), при и = 2 в уравнение (81'). При х = 0 ставится естественное условие ограниченности решения, которое дает 1пп х"и —" = О, (82') х эи дх а при х=! — обычное условие (первого или третьего рода), например, и(1, !) = !сз(с), (82и) где р, = сп!по(л, С). При этом сусцественно используется монолх тонность оператора Л(С).
Из этой оценки следует равномерная сходимость схемы (80) со скоростью 0(т + 1сз). 8. Цилиндрически- и сферически-симметричные задачи теплопроводности. При изучении процессов теплопроводности или диффузии в телах, имеющих форму цилиндра, естественно пользоваться цилиндрической системой координат (г, р, з). Если температура пе зависит от ср н х, то мы приходим к уравнению (обозначим х = г): — = — — ~гг(х, С) х — ) ес(х, С), ди 1 д ди '1 дс х дх 1 ' ' дх ) (81) гл.
нп однооодныв гхзностныв схемы Разностную схему с весами для уравнения (82) можно, по аналогии с п. 1, получить ннтегро-ннтерполяционным методом. Оператор при зтом аппроксимируется разностным оператором Л(1)у = — „(х"а(х, 1)у,), х= х — 0,5Ь, 1=1+ 0,5т, а(х, 1)=А[у(х+зй, 1)] или Залаче (82) †(82") ставим в соответствие схему с весами У~=Л(1)УФ+~Р, 0(х =18<1, 1=1т)0, у(х, 0) = ио(х), у(1, 1) = 1о, (1), у~м = а()+ (1 — а) у.
(83) Формула для правой части ф дается ниже (см. (85)). Условие (82') аппроксимируется разностным условием Цу~~~о = о(„+11 (уьо 1о) )о=1(0 1) (84) Погрешность аппроксимации условия (82') условием (84) ,„а и(о) (о г ) р (1 о 1. '"о) хо В(а+11 о о о ( 1, а Ф 0,5, В самом деле, по аналогии с $ 1, п. 18, убеждаемся, что ио= О, (лй), =, (ио — )о) (точка обозначает дифференцирование по 1, штрих — дифферен- цироврние по х). Учитывая затем, что а~ = йо+ 0*5Ио+ О (Ь') ", о по+0,5йио" +0(Ь'), и<'> = (а — 0,5) ти„, + 0,5 (й„+ и„) = и„(0, Е) + О ( ~ а — 0,51т), 5 К СХВМЫ ДЛЯ ПхвхВОЛИЧВСКОГО КГЛВНВННЯ получаем т = а,и„(0, 1) — «(„+ !) (Оо Ро) + О (т о) = =фи')5+0,58(йи')о —,, (йо — Ро)+ О (Ь +т ') = 0 ба ((ьиl)о " ) + 0 (Ь'+ т-.) т = О (й'+ '" ).
Для решения системы разностных уравнений (83), (84) мож- но применить обы шый метод прогонки. Напишем условия для погрешности « = 8 — и: «,=-Л(1)«~о>+ф, «(х, 0)=0, «(1, 1)=О, а «<о) и а,«,о=,,) «,,— о, Таким образом, для ф получаем представление ф= —,'. (х"Ч). + ф+ф*', (86) где т~=О(6'+т о), $=0(Ь'/х), ф"-0(Ь'+т'), где 5р = А (Е) икв + <р — и, т = а ио > Ь и ~ х,о «(о+ц со (и — )). Пользуясь уравнением баланса на промежутке (х~ ув х;+,5) для уравнения (82) при фиксированном 1 = Х (ср.
и. !), преобразуем ф к виду — — (х"т!) -1-ф* т =пи!о) — (й ~') «ОО,55 хОО,55 «-5,55 х-О,55 Правую часть оо будем определять по формуле Ф=(1+ а (~~, 1)1(х, 1), = 1, 2, 6' т. е. р = !' при и = 1, ор = (1+ —,) ) при п = 2. Из формулы (!59), $1 следует ф'=Ф+ф", ф"=ОФ+т') в!о ГЛ. Н!. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ Рассмотрим схему с опережением (о=1) и покажем, что при а=1, 2 она равномерно сходится со скоростью 0(т+ Ь'), если выполнены условия (86).
Представим г в вийе г = о+ и», где пт = ш(х, 1!) решение стационарной задачи Лю = — „(х"а!бе), = — — „(х"Ч), — тР, а,й„,= — т, юл =О. Этими условиями то(х, 1;) определяется для всех 1! >О. До- определим те(х, 1) при 1=0, полагая ю(х, 0)=и!(х, т) или п»т(х, 0) = О. Для о(х, 1) получаем условия от=Лд+тр, тр=т)т* — шт, ем=О, а!б,,о= — т, т=шт,о о(х, 0)= — ю(х, 0). -В $ 1, п. 18 для ю получена оценка 11 и!!!Е~~Л(о((1 1Ч!)+!!Й!!с+1ч Ч! 1) (87) Напишем уравнение для ют: — „(хоа мы), = — — „(хот1)„— тРН т1 = т1, + а!те», а!ш„, о —— — 9, Р— Ч, =(т — Ч,)г Нам понадобится оценка ~ йые ~, так как (1, ~ Ч1) ((1, ! Ч,!1+ с,(1, )йте„/1.
Из уравнения для Ф находим х'!' ~ (аш ) ~ = — т1. -!- — (т1 — т) — — '~„Ьхотр Ф-! <1Ч; 1+! Ч вЂ” 1+2" 1~. трЬ так что (1, (атее!1(! т1, — т)+ 2" 11х»1!1 +(1, 1т1 ~). Для оценки ш, воспользуемся неравенством (87): ~( то ! (, 'е-. М, ((1, ( Ч, ~ 1+ с, (1, ~ аше ) 1+ (! хФ! (! + ! (т — Ч,) ~ ). Предположим, что Ь(х, 1), 1(х, 1), и(х, 1) имеют столько производных, сколько требуется для выполнения условий (т(+1тт1=0(т + Ь ), 1Ч1+1Чт1=0(т о+ Ь), х! тр 1+ х ( т$ ~ = 0 (Ьо), т а схимы для плгхьоличьского кглвнвнпя г!! Тогда будем иметь !! го, !!с < М (Ь + т "е). Для оценки о воспользуемся принципом максимума, Запи- шем уравнение (82) в виде б;/т — Лб; =- Ьн Р; = о;/т+ фи г = 1, 2, ..., гр — 1, б, =О, гГ,.
= щ, +Ег",, бе/т 2(п+ !) а~б, е/Ь = Ро Ре = ое/т+ 4, Ф,=юь, В силу теоремы 3 из гл. 1, 5 2 имеем !!о"'!!с<т!!р!!с<»(!о'!!с+т!!~г!!с+т!! р**(!, г !! о"'!!с-=!! го(х, О)!!с+ 2' т(!! / !!с+!!Ф"г!!с), !=О где !!о!!с= игах !о;!. о<1<и Подставляя сюда оценки для !!иг|!с, !!иг,!!с, !!чг'!!, находим !! о!э'!!с = 0 (Ь'+ т). Тем самым доказано, что схема (83) — (88) при о = ! равно- мерно сходится со скоростью 0(т+ Ь'): !! х'!!с = (! у' — и' !!с (» М (т+ /г'), 9.
Третья краевая задача. Рассмотрим краевую задачу — "," ,=Ьи+/(х, !), Ь = —,', (,Ь(х, !) —',"), О<я<1, /г(0, !) дх' =Д,(/)и(0, /) — !г~(!), Д,)0, дх =Ге(/)и(1, !) — !г,(/), р,=эО. В $1, п. !6 было получено разностное условие третьего рода для стационарного уравнения Еи + ! = О. Формально переход отстационарного к нестационарному уравнению можно рассматриди вать как замену / на ! — —. Применяя этот прием при выводе дг разностных условий, аппроксимирующих краевые условия третьего рода, приходим к следующей разностной краевой задаче: у, = Л (г) (ау+ (! — о) у) + ег, 0 < х; = /Ь < 1, /г = /т) О, а,(!)(оЦх, +(! — о) у„,) =8,(!)(оу +(! — о)у)+ !г,(г)+О,бйу, — а, (1) (оу„„+ ( ! — о) у„,) = = Ц(!) (ойя + (1 — о) уя) + рз(У) + О,бйуь и.
1|О Гл. Н1. ОднОРОдные РАз|юст|1ыь схемы Здесь (А1 = )11 (1) — 0,56/(О, 1), (йо=)ох(1) — 0,56/(1, 1), 1=/1+0,5т. Приведенная выше схема имеет точность 0(ти+ Ь') при а = 0,5, 0(т+ 61) при а ) 0,5. Запишем эту разностную схему в виде, пригодном для применения метода прогонки: Л(1)У вЂ” — = — г, Уо= к,У", +то УА =коУу, +т„ У где и, (!) и, ('1) и, (1)+ив, (1) + (п/(2ат) ' т а, (!)+ар (1)+ и'/(2ат) ' (! а) (и| Р) Ух, | р1 О) Уо) + ОдИУо/т 01 т1 а (и, (!)/И+ Р, (1) + ИД2ат) ) (! — а) ( — иу (1) Ух А, — Ри (!) УА,) ! 0,5ИУу/т — йи а (их (П/И + ро (11+ И/(2ат)) г" = ( (! — а) Л (1) у + у/т + ф (1) ) а '.
Прогонка устойчива, если а ) О, так как 0 < к, < 1, 0 < к, < 1. 10. Периодическая задача. Рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном тонком круговом кольце О~~ф"" 2п радиуса го: да и' д'и — — — 0 < |р < 2н, го д|р г') О, и (|р, 0) = и, (|р). которое А|ажно заменить условиями сопряжения в точке ф = 0: ди| ди ~ и(0+О, /')=и(2п — О, /'), — ) = — ! дт а-охо дф Ьа-ти-о Заменой переменных х = ф/(2п), / а'У/(2пго), преобразуем отрезок 0 <ф<2п в отрезок 0<х<1, а уравне- ние — к виду — — 0<х<(1, 1)0, 11(х, 0) ио(х) (0+ 0 /) (1 0 () ди(О+О, 1) ди(! — О, 1) дх дх для однозначного определения и(ф, у) должно выполняться условие периодичности н(|р+ 2п, /') = и(ф, г') для любого ф~ [О, 2н), го) а е схемы для пАРАБолического ЕРАвнения 2)З Введем сетку оо*=(х,=й, ю'=О, 1, ..., Ж, А=1/Л') и напишем простейшую неявную схему у,= у„.„, 0<х=й<1, 1=)т)0, У(х, 0)=ио(х).
Первое из условий сопряжения и(0+ 0, !) = и(1 — О, 1) дает Уо = у о. Второе условие аппроксимируется, по аналогии с б 1, п. 19, уравнением у, о — — ()х, о При этом точки х = 0 н х = 1 считаем совпадающими н ставим условие умы =у~ Таким образом, разностную схему пишем во всех узлах ! = 1, 2,, У сетки гои, учитывая условие периодичности уи+~ = у, при написании схемы в узле ( = Ж. Аналогично ставится разностная задача и для уравнения с переменными периодическими коэффициентами — — — (и(х, () — )+("(х, !), 0<х<1, !)О, и(л, 0)=но(х), 0~(х(1 и периодическими краевыми условиями (условиямн сопряжения) и(0+0, !)=и(1 — О, !), (о — ~ =и — ! ди) ди дх ~ ! -о+о дх х-1-о Все функции /г(х,!), 1(х,1), ио(х) периодичны с периодом 1, так что ио(х+ 1) = ио(х), )(х + 1, () = 1(х, !), Й(х + 1, !) = й(х, !). Коэффициенты й(0+ О, !) и (о(! — 0,1) могут быть различны: ди )о(0+ О, ПФ й(! — О,!), Прн этом производные — х разрывны: ди(О+О, 0 ди(( — О, )) дх Ф д ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
