Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если отождествить концы х = 0 и дх х = 1, то условия периодичности можно трактовать как условия сопряжения в точке разрыва коэффициента й(х,(). После этого становится понятным, что схему надо писать во всех узлах 1= = 1, 2, ..., Ж с учетом условия УА+, — — уь В результате получим однородную схему с весами: У,=Л(!)у")+<р(х, 1), х=й, 1=1, 2, ..., У, т=(у+0,5)т, У(х, 0)=ио(х), Ух~~=у| Уо=Уи где Лу=(а(х, !)Уэ), и коэффициенты а и ~р находятся по обыч- ным формулам, например, а,=й, у р,.=0,5(~,,+(„о).
Гл. !и. ОдхОРОдггые РАзностные схемы гг! 214 Написанные условия однозначно опредсля!от решение. Эта схема имеет аппроксимацию 0(т'+ (Π— 0,5)т + /го). Полученная относительно г) задача вида Аф!. ! — В!У!+Л!.Ргг)!.Гг= — /гг, 1'=1, 2, ..., й/, г)А.Г! = г)1, Уо = УА Л! = Отаг/й, Сг = А, + Лг~! + 1 решается методом циклической прогонки (см. Дополнение, й 3), Для исследования вопроса об устойчивости н точности следует рассмотреть пространство Н сеточных функций р(х;), заданных при г' = 1, 2, ..., /)/, й/+ 1 и удовлетворяющих условию периодичности ун,.! —— у1, угг = ро.
В Н вводится скалярное произведение (О, к) = 2~ О,ш!Ь и норма 1! О,'1= )г(О, О). Пусть Ау = — Л// при у ~ Н. Для Л справедливы формулы Грина и Л = А*> О. Так как А >~ О, то для получения априорной оценки надо воспользоваться замечанием к теореме 11, гл. И, й 1, Вводя оператор А' = Л + еЕ, где е > Π— произвольное число, не зависяшее от Ь и т, получаем (Л')* = Л'~ )еЕ. Так как А' липшиц-непрерывен по / (в силу условия 1/г!) ( ( сей), то для решения периодической задачи верна оценка 1~ Уг! ! !1А,(! ( м! ~! и, 11„, „, + м, гпах 1! !Р!' 1), 1 11 л'го! гоцг,~г если ! — е О=э'"= я т(л1 где 1!А'!! <4/6'+ е, М! — — соне! > О, Мо = соне!) О не зависят от 6 ит. При этом же условии О Р О, имеет место неравенство !1у/+!!!(М,!!н,!!+М, гпах !!гр! !!.
о<! <! При О = 1 для нашей разностной задачи справедлив принцип максимума при любых т и /г, из которого следует равномерная устойчивость по начальным данным и по правой части, а также равномерная сходимость со скоростью 0(т+ /гг). 11. Квазилинейные уравнения. При изучении высокотемпературных процессов необходимо учитывать зависимость коэффициентов теплоемкости н теплопроводности от температуры. а х схемы для пАРАБоличгского уРАВпенпя 2!Е Рассмотрим уравнение с(х, 1, и) — = — (lг(х, 1, и) — ) + )(х, 1, и), ди д ( ди 5 д( дх ( ' ' дх) ' ' ' ' (88) с(х, 1, и))О, й(х, ~, и))О.
В неоднородной среде й, с, ) могут быть разрывными функциями х и и (для разных веществ зависимость К с, ) от и может быть различной). Уравнение (88) при й = й(и), с = с(и), ) = ((и) может быть приведено с помощью замены искомой функции; и о=~ ЙЯ)сЦ к виду: (89) д( дх' Для решения квазилинейных уравнений метод конечных разностей практически является единственным методом, позволяющим эффективно найти решение. Для квазилинейных уравнений использование явных схем нецелесообразно, если й(и), с(и) являются быстроменяющимнся (например, степенными) функциями температуры.
Условие устойчивости т ( иип с(и) ))с - 2 и)ах и(и) требует мелкого шага по времени, определяемого часто значениями функций й, с в неболыном числе узлов. Поэтому применяются безусловно устойчивые неявные схемы, Рассмотрим сначала уравнение (89) с ~(о) = О, Для его решения используют нелинейную (относительно у)+') разностную схему Р (У) ") — Р (и)) т йх Чтобы отыскать решение этого разностного уравнения, можно использовать итерационный метод (и (*) (5 . и (5) (сэ П (р(р(+') — (р'(у(~')(у)~' — у(~') — (р(у() = ту)~~~, (и+ П где у(() — значение (з+ 1)-й итерации функции у)+'. В качестве начальной итерации выбирают значение функции у на пре(с+ и дыдущем временном слое.
Значения р((+) находятся методом прогонки, гл. н(, ОднОРОдные РАзностные схемы П) 2!б Рассмотрим теперь два типа чисто неявных схем (схем с опережением, а = 1) для простейшего кваэилинейпого уравнения теплопроводностп — = — (й (и) — ") + ! (и), О < х < 1, О <1 ( Т, д» а» ' ' (90) и(х, 0) = иэ(х), и(0, 1) = и)(1), и(1, 1) = и (1), где й (и) > О. Схема а): Р Р. 1 (91) Схема б): )). — У1 ! ! У1, — (). ().
— й ' = А ~а(.Р)(у) ' ' ' — а;(у) ' ' ' ~+~(у,), (92) где 1'1+'-1) а((п) = а ! ' ), у, = у<+1, у, = у!'. Сравним эти схемы. Погрешность аппроксимации этих схем 0(т+ йэ). Обе они абсолютно устойчивы. Схема а) линейна относительно значения функции у)+' на слое 11+и и значения функции у)+' находятся по значению функции у) на слое 1и на. пример, методом прогонки. Поскольку схема а) абсолютно устойчива, шаг т выбирается только из соображений точности, Схема б) нелинейна относительно функции у)+' и для нахождения ее решения используется метод итераций.
Итерационный процесс строится следуюшнм образом: иэ() (»РО (»+1) (»-1.1) (» Э1) у — д ! Г Рл д — у сч „— у 1 () (»эп Относительно у разностная схема оказывается линейной, В качестве начальной итерации берется функция у предыдущего ы) шага по времени; у= у~. Итерационный процесс для большинства встречаюшихся на практике коэффициентов Й и ~ сходится. Практически оказывается достаточным сделать две-три итерации.
Даже в том случае, если итерации не сходятся, для повышения точности схемы оказывается полезным сделать две итерации. При счете по итерационной схеме (92), (93) задают либо число итераций, либо точность сходимости итераций е и требуют выполнения условия (»+ и м) тах1у, — у(!~(е, 1 А 3. СХЕМЫ ЛЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 217 У,= —,, 1(а((7)й,) +(а(У)У„) ~+~( ").
Однако такие схемы имеют недостаток, они — немонотонны, что приводит часто к появлению <ряби». Для получения хоро- ших. результатов в этом случае нужно выбирать до- У ~и) статочно мелкий шаг по времени. У ,Й.Е В случае уравнений (88) Ф) со слабой квазнлинейностью, хи) з( при /г = Ф(х,!),1 = ((и), с = Рис. 7. =- с(х, Е) иногда используются так называемые схемы предиктор-корректор, дающие точность 0(т'+ йз). Приведем пример такой схемы при с = = й = 1,1=1(и) (рис. 7): Озт Уе» ~(У)' У У ( (эу)' Мы не будем останавливаться здесь на теоретическом иссле.
довании указанных выше схем (9! ) — (94) (см., например, А. А. Самарский [3], Дуглас и Джонс (11). П р имер 1. Т е м не р а т у р н ы е в о л н ы. Встречаются задачи, в которых й(и) = О при и = О, й(и) > О при и > О, напри- мер, й(и) =хи". В этом случае может существовать фронт (94) Недостаток схемы (92), (93) в том, что счет интерапий требует удвоения числа заш(маемых в машине ячеек памяти по (»( н сравнению со схемой а), так как для вычисления у нужно (г) чпоынить» у и у.
Для нахождения значения функции УАГ( по функции 1)) при счете по схеме (92), (93) нужно сделать несколько итераций, а прн счете по схеме а) значение у)+( находится сразу. Посколы<у обе схемы абсолютно устойчивы и имеют одинаковый порядок аппроксимации, то казалось бы, что и в этом отношении схема а) имеет преимушество перед итерационной схемой б). Однако это не так. Практика показала, что для получения одинаковой точности счета по схемам а) и б), схема б) позволяет использовать настолько более крупный шаг по времени, что несмотря на необходимость итераций, это приводит к уменьшению обьема вычислительной работы.
Можно использовать схемы, имеющие второй порядок аппроксимации по пространству и времени: гл сс! Одпогодссыв Рлзностпые схеи!ы и! йсв ди температуры и=0, иа котором производные — терпят разрывы, дх ди а поток — й(и) — непрерывен. Распространение фронта будет дх происходить с конечной скоростью й(1) (так называемые тем- пературные волны). Задача при й(и) = ни', 1= 0 имеет авто- модельное решение. Для расчета температурных волн А.
А. Са- марским и 1!. М. Соболем [1) применялась схема б), которая яв- ляется схемой «сквозного счета» и не предусматривает выделе- ния точек слабого разрыва. В качестве начальных и граничных условий задавалось точное автомодельное решение. Всюду, кро- ме нескольких ближайших к фронту узлов, отклонение сосчи- танного решения от точного оказывалось малым (не превосхо- дило 0,002 при йс = 50, т = 2 10-', к =0,5, с! = 2, в = 5, число спераций не превосходило 3, г < 0,2). Локально-одномерным методом (см. гл. Лс11) проводились расчеты многомерных тем- пературных волн. Изучение сходимости разностцых схем для расчета температурных воли проводилось В.Ф.
Баклановской(1]. Пример 2. Задача о фазовом переходе (задача С т е ф а н а). Пусть имеется две фазы с коэффициентами тепло- проводности н теплоемкости )гс(сс), )г,(и) и сс(и), сг(сс). В ка- ждой фазе температура удовлетворяет уравнению с, (и) — = —. (сг, (и) — ), з = 1, 2, (95) На границе раздела фаз температура постоянна и равна тем- пературе фазового перехода, и(х, !) = и*. Скорость движения границы фазового перехода "; удовлетворяет уравнению ди ~ ди ~ . д« дх~„.хи -дхсх ! и си если в первой фазе и < и", во второй фазе и ) сс".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
