Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Выражение А е(>= ив есть, очевидно, решение задачи Ап>=ф или (а(х, 1)п>е) = — ф(х, 1), п>е=шА.=О, а (А 'вр)е= шп В 9 2 получены оценки для и> и гп, в случае ер = ч„: ПивПс<М(1, !Ч!1, Пи' Пс<М((1,! г!!)+(1, !т! !)) (29) где М вЂ” положительные постоянные, зависящие только от сн сз и сз. Оценки (28) и (29) используются для доказательства того факта, что схема с весами (7) — (9) сходится в классе разрывных функций й и 1 при о~~ о, в сеточной норме ез(ве) с той же скоростью по Й, что и соответствующие стационарные задачи Л = — ф, Ло= — фи Порядок точности по т есть 0(тз), 3 А.
А. Самврсииа Глава Пг РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЪ| ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА В й 1 настоящей главы изучается разностная задача Кирилле дли уран. нения Пуассона. Излагаются способы аппроксимации оператора Лапласа и постановка разностных граничных условий на регулярных н нерегулярных сетках. Установлен принцип максимума и иа его основе доказана равномерная сходимость со скоростью 0[Аз) построенных разностных схем в случае произвольной области.
В й 2 получены некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих оператор Лапласа и эллиптический оператор со смешаннымн производными, Изучению разностных аппроксимаций для зллнптических уравнений, и особенно для уравнения Лапласа, посвящена обширная литература. Укажем лишь некоторые литературные источники: В. Б. Андреев [Ц, [2], [5], [7], В. В. Бадагадзе [Ц, Н.
С. Бахвалов [Ц вЂ” [3], И. С. Березин и Н. П. Жидков [2], В. Вазов и Д. Форсайт [Ц, Р. Варга [Ц, Е. А. Волков РЦ вЂ” [3], Л. В. Канторович и В. И. Крылов [Ц, Коллатц [2], В. И. Лебедев [2], [3], Л. А. Люстерник [Ц, Г. И. Марчук [Ц, Ш Е. Микеладзе [Ц, С. Г. Маклин и Х. Л. Смолицкнй [Ц, А. А. Самарский и И. В. Фрязинов [2], В.
К. Саульев [Ц. $ С Разиостная задача Дирихле для уравнения Пуассона Перейдем к изучению разностных схем для решения задачи Дирихле я Ьи= ~ —,= — [(х), х~ б, и]„=1т(х), ([) дх~ а 1 где х = (хь, хн), 6 есть р-мерная конечная область с гра- ницей Г. 11 й 1, РАзностнАя зАдлчА днРихлв для уРАВнвния пуАссОБА 227 1. Разиостиая аппроксимация оператора Лапласа. Начнем с построения разностного аналога оператора Лапласа дгя Ли=а'.!и+2'.2и, Е,и= — 2, а=1, 2, дке (2) на плоскости х = (хь хз).
д'и В точке х = (хь ха) каждый из операторов Е!и= — или дха дан аз!2 = —,, аппрокснмируем трехточечным оператором Л, или Л,: дХаг 1 й,о Л,о = о„-,к, = — (о(х, + Ьн х,) — 2о(хп х,)+ и(х, — Ьн х,)), (3) ! Езо Лзо = ол„,= —,, (о(хп х, +й,) — 2о(хн х,)+ о(хн ха — Ьа)), (4) где знак аппроксимации, Ь, > О, Ь2 > Π— заданные числа (шаги по'осям х! и хз). Оператор Л! определен на регулярном трехточечном шаблоне (х, — йь х,), (хн х,), (х, + Ьн х,), оператор Л2 — на регулярном трехто- чечном шаблоне (ХН Ха — йа), (ХЬ Х2), (ХН Х2+ 62).
Используя (3) и (4), заменим оператор Лапласа (2) разностньгм оператором Ло = Л!о + Лзо = ол..„+ оя, „(5) 4 Рнс. 8. Регулярный шаблон «крест». В частности, при й, = г!2 = й (на квадратном шаблоне) имеем Лое = аа (о! + оз+ оз+ о« вЂ” 4ое). 1 (7) который определен на пятнточечном шаблоне «крест», состоящем из узлов (х~ «с й!, ха), (хн ха), (х!, хз Р лз). Этот регулярный шаблон изображен на рис.
8. Здесь Π— точка (хп ха), 1 — точка (х! + Йн х,) и т. д. Из (3) — (5) и рис. 8 следует, что ! 1 Лоа = 2 (о, — 2ое+ оз) + — 2 (оз — 2о„+ о,). (6) 1 2 22Е ГЛ. ИА РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ и Вычислим погрешность аппроксимации оператора Лапласа (2) разностным оператором (5). Так как (см. гл. 1, 2 !) при а = 1, 2 Ь' Лап = — 2+ — 4 + О (Ьа) = 7 аО + — 7 ао + О (Ьа)~ (8) дка !2 дка !2 то 2 2 ~1 2 Е2 2 4 4 Ло — Ло = — Ь1о + — йзо + О (Ь1 + Ь2). !2 !2 Отсюда следует, что Ло — Ло=О()Ь!'), !Ь!'=Ь1+Ь2, если о(х) — любая функция, имеющая не менее четырех ограниченных (хотя бы в прямоугольнике х, — 6„:х,' ~х, + Ь,, 42 = 1, 2, Прн Ьа (Ба) ПрОИЗВОдНЫХ ПО Хая С4 = 1, 2.
ТаКИМ образом, разностный оператор (5) аппроксимирует оператор Лапласа (2) со вторым порядком на регулярном шаблоне «крест». Аналогично строится разиостная аппроксимация р-мерного (р > 2) оператора Лапласа Р дси Ь.= У,(.. 7.„.= —,. д» (9) Заменяя са трехточечным разностным оператором Л„, получаем Р Ло = ~ч.", Л,о, Л,о ох,, (10) так что Лао = о- „= (о(+'а) 2о.! о( 1а)), 1а (11) где о(-'а)=о(х(~'а)). Здесь х(+' ) (или х( 'а)) — точка, в которую переходит точка х = (хь ..
х ) при сдвиге по направлеГы,! ЙУ / нию х„ направо (или налево) на отх~ ' ж х ~ резок длины Ь (рис. 9). да Ьа х Шаблон для оператора (10) состоит, очевидно, из 2р + 1 точек Рес. 9. *'1 х, х( а), а=1, ..., р (из 7 точек при р = 3), а погрешность аппроксимации имеет второй порядок. Рассмотрим теперь разностную аппроксимацию оператора Лапласа на нерегулярном шаблоне «крест». В случае двух измерений (р = 2) этот шаблон состоит из пяти точек (х1 Ь1 ~ х2)~ (х1+ Ь1.1, »2)~ (х1, хх)> (х1г Х2 Ь2 ), (Х1~ »2+ Ь2+)~ и й 1, РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛВ ДЛЯ УРАВНСНИЯ ПУАССОНА 999 где Ь1ь)0, Ьах>0, причем Ьа+ФЬа-, по крайней мере, для одного а (рис, 1О).
Каждый нз операторов т-1 и Ц аппроксимируем по трем точ- кам (х, — Ь,, х,), (х, + Ь,+, ха), (х„хе) (точки 3, 1, О) и (х„х,— Ь, ), (х„х,+Ьх+), (х„х,) (точки 4, 2, О), соответственно. Для этого воспользуемся выражениями (см. гл. 1, 5 1): !.1о Ли= 1 о (х, + А1«, х,) — о (хо х,) о (х„ха) — с (х, — й,, х,) ~ й, й, [ А1+ 1. о — Л'о = 2 2 ) о (хи ха + йа+) — о (21, ха) йа йа+ (12) о (хь ха) — о (хь ха-йа ) ~ йа где й, = 0,5 (Ьа + Ь,+), и = 1, 2. Разностный оператор Лапласа на нерегулярном шаблоне будет иметь вид Л*о=л1о+Лси=о„-А+имен (13) г Если„например, Ь, = Ь, = Ь, то Л о = Л,о = о„и т.
д. 1' 1 х,х, Чтобы не выписывать аргументов (это слишком громоздко при р > 2), введем обозначения х!+ы = (х, + Ь, +, х,), х! "=(х,— Ь,,х,), х ' =(х1, ха ~ Ьае), (х1) и(+1а) = о (х(~1а)) Ола о(х), о( а) =о(х( а)), а=1, 2. Рнс. !О. Нерегулярный шаблон «крести х ("!л) о х( !«) х ла. Рнс. !!. На рис. 11 показано расположение точек х и х' '). Выра!Х1 жение для Л", можно записать в виде хааа йа йа+ йа=0 б(Ьа-+ Ьа+) а = 1 2.
(14) ЕЗО ГЛ. 1У. РАЗ1!ОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСХПХ УРАВНЕНИИ !З В гл. 1, 2 1 было получено выражение для пхх — и". Используя его, сразу напишем Лап Т ап = — (Йае Йа — ) з ч 0 (Ьа) 3 дх„ Таким образом, на нерегулярном шаблоне разностный оператор Л', определяемый по формуле (13), аппроксимирует оператор Лапласа с первым порядком. 2. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике. Пусть 6, = (О ~< х! < 1„0 ~( х, ( 1,) — прямоугольник со сторонами 1, и 11 (рис. !2), à — его граница.
Рассмотрим в с'с =- 6а + Г задачу Дирихле для уравнения Пуассона: Лл — ! (х) х (х! хг) ~ 6с и !г — !! (х). Построим в 6с сетку йА с шагами й! = 1!/1У! и л, = ЦЛ',, где ЛТ! > 0 и Ю, > 0 — целые числа. Для этого построим два семейства прямых х 1- ! й, ! -О, 1, ..., йт„хо» = 1,„6„1,, = О, 1...,, ~„', ! !' ! Точки пересечения этих прямых х (!А, 1,!1,) с координатами !А и !слс назовем узлами. Если х = (!!11„!с!!1) лежит внутри прямоугольника (т, е, 0 < !! < Л11, юг 0 < !1 < й!1), то такой узел назо- 1 вем внутренним.
Пусть с»А — множество всех внутренних узлов. Обшее число внутренних узлов равно (1!!! — !) (% — !). 1,Ил!ад,) Узлы, лежашие на границе прямоугольника (при й = О, У! или !с = 0 Л!1) кроме четырех узлов (О, 0), (О, 11), (11, 0), (11, 11), а назовем граничнь!Ми (онн обозна- а. И чены на рис. 12 крестиками). 1 Они образуют множество уа = ~1 Рис. !2, = ((!А, !11!1)). Совокупность всех внутренних и граничных узлов назовем сеткой йа = ыь+ уь в прямоугольнике 6с. В каждом внутреннем узле х~ В1А может быть построен пятиточечный регу- (-' ) лярный шаблон «крест», все узлы которого х( '), а = 1, 2 принадлежат с»А (т.
е. либо !»А, либо уа). Поэтому во всех внутренних узлах можно заменить оператор Лапласа би разностным оператором Ли = ихеь+ пхеп 2! А 1. РАзностнхя зАдАчА ДИРихле для уРАВкеш(я пуАссОнА я31 Правую часть — 1(х) уравнения (16) можно аппроксимировать сеточной функцией — (р(х) так, чтобы (р(х) — !(х) = 0()1(!'), ! (х) ~ С(зй Считая ! (х) непрерывной функцией, полагаем (р(х) = 1(х). В результате задаче (!6) ставим в соответствие разностную задачу Дирихле; найти сеточную функцию у(х), определенную на йА, удовлетворяющую во внутренних узлах (на (ОА) уравнению Лу = — 1(х), Лу= узх + у,„, х ен а( (17) и пршшмающую на границе уя заданные значения у(х) =р(х), хауз, (!8) Отметим, что сетка йч(СР) при й, Ф )(з называется прямоугольной, а при ((( = !(з = л — квадратной сеткой. Напишем подробное выражение для Лу на квадратной сетке; Лу = — „, (у(г Ы+у( "+ у(+и!+ у( и! — 4у).
! Пусть (р = О. Разрешим уравнение Лу = О относительно у: у — (у(-(п.( у(Р(а.! у(-ы.! у(-,'-ь!) 1 4 Значение у а центре шаблона есть среднее арифметическое значений у в остальных четырех узлах шаблона. Эта формула является разностным аналогом формулы среднего значения для гармонической функции. Из (17), (18) видно, что значения р(х) в вершинах прямоугольника не используются, Это и определило выбор у(,. В случае третьей краевой задачи и схемы О (11(!') (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
