Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(47) 0(х)= — Л(х) — ~~'.~ В(х, ~))0, хеи о". (48) т е а!' м! Заметим, что если хан в, то Ш' (х) = Ш' (х) Д ьэ, = Ш' (х), 0(х) = 0(х) = А(х) — ~ В (х, $). т е ас !х! (49) Т е о р е м а 5. Пусть выполнены условия 0(х) = О, хев !вы 0(х) >О, х~ и"„, р (х) = О, х ен гв . (50) (51) Тогда для решения задачи А(х)у(х)= ~ В(х, ~)рф)+г" (х), ] т =- ш'ьн ) А(х))0, В(х, ~)>0, хан о„ ! (52) с однородным граничнсчм условием у ~, = 0 меет место оценка !'ь 1Тэ()1 ' !!7!! .
гпах ~1(х) 1 ~аьь (53) где В самом деле, !!с!01~„( ~~П„Я и из (46) следует (47). Рассмотрим теперь уравнение (38) при однородном граничном условии д1 =О. Напомним, что через ьэь мы обозначаем ть множество узлов х~ ом для которых Ш'(х) принадлеиснт ы!„ а через а!* — множество тех узлов х е= ош для которых хотя бы л один из узлов 6, входящих в Ш'(х), является граничным, $ е= уы В приграни щык узлах х — гв'„некоторые узлы вел Ш'(х) оказыва!отея граничными и поэтому соответствуя!щие слагаемые В(х, в)рЯ) обра!даются в нуль. Это означает, что фактически для приграничных узлов х е= ы„суммирование ведется по множеству Ш'(х) = Ш'(х) П ы!, и что 244 гл, пл г»зностныа схемы для эллиптнчвскнх т»»внснни Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем мажораптную функцию У(х) — решение уравнения (52) с правой частью Р(х) = О при хен в„, Г(х)=!Г(х)( при х~ а,', и У( =О.
В силу теоремы 2 т» о У(х) ) О на в». Так как в» связная область, то У(х) Ф сопз( не может принимать наибольшего значения на в„, где Р = О. Пусть х" ен в"„— узел, в котором У(х) имеет максимум. По условию Д(х') > О; поэтому, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 4, получаем (53). Правую часть Г(х) всегда можно представить в виде суммы о Г=Г+ Г', где ~ Г, х~в„,, ~ О, х~в„, у=у+у, (55) где у — решение задачи (24) — (26) с однородным граничным условием у ( = О, а р — решение однородных разностных "» уравнений (24), (25) при ~р = О с неоднородным граничным условием у) =р(х).
Так как, согласно и. 4, условия теорем 1 — 3 т» выполнены, то для у сразу получим оценку (! О!! <!! рЦ. (56) Правую часть ~р(х) представим в виде суммы о а=ч+т (57) где ~р' = О в регулярных узлах. В соответствии с этим положим р= о+ ю, (58) где ш — решение задачи Лш = — в„ш)„=О, (59) а о — решение задачи Ло= — ф', и) =О. т» (6О) (54) ~ О, х~в„, ~ Г, х~в,*г Оценка решения задачи (52) при Г = Г в случае В(х) = О на в» может быть получена методом межорантной функции У(х). 7.
Оценка решения разностной задачи Дирихле. Пользуясь результатами и. 6, дадим равномерную оценку решения разностной задачи Дирихле (24) — (26). С этой целью представим решение этой задачи в виде и $ ь РАзностнАя зАдАНА дйРнхлв для уРАВнения пуАссОнА 245 Здесь Л в регулярных узлах, Л Л' в нерегулярных узлах.
Каждую из функций гв(х) и о(х) оценим отдельно. Для оценки в(х) используем теорему сравнения. Предполагая, что начало координат лежит внутри области 6, возьмем мажорантную функцию (61) Р У(х) =К()эз — г~) г'= ~ч~ хэ, а-~ где К = сопз( = О, 4т' — радиус р-мерного шара (окружности при р = 2) с центром в начале координат, целиком содержаще- го область 6. учитывая, что Л,ха=О при а~6, (~а "а) а + (~а а) а а 2 а а Аа (62) получаем ЛУ вЂ” 2рК. Л*У = — 2рК. Очевидно, что )г (0о, где 0о — диаметр области О. Выберем теперь постоянную К= р !<ч!< 1 так, чтобы уравнение для У имело вид ЛУ = — << ~р << = — Г на вь.
Из (62) видно, что У< )О, так как г'( 14'. Сравнение тА~ '(64) с (69) показывает, что 1ф) Р, О= в < «='У <, Поэтому, УА' УА' в силу теоремы 3, будем иметь << ю<< е << У<<„. Учитывая, наконец, что У ~КУ = — "' <<~<~., (65) (63) (64) получим где Ьа = О,бй +й либо ба = йайа (68) Перейдем к оценке функции о(х), используя ограниченность снизу сеточной функции АА(х).
Покажем, что Б(х)~)1/б'„в приграничных узлах х~вь,, (67) 24Е ГЛ. !Н. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ в нерегулярных узлах, Ь; Ь'„в регулярных приграничных узлах, В самом деле, пусть х~ в'„, нерегулярный лишь по ха узел, так что х(~ )ееум „, х( )еев„. Из уравнения Р Л'.у+ ~ Л,у=-р, ~Фа где Лау — + аа Ьа+ (так .как на границе у(+ 1 0), следует Р В(х, $)= —, + зва Р 2 чс4 2 — 1 А (х) = —. + ~4 —,, С1 (х) = —. Ьа~а4 З ! ЕЗ хааа+ в~а Если окажется, чтох(+' ) и х( ' ! являются граничными узла- ми, то О(х) = Аа4ааВ общем случае узел хев в„' „может оказаться приграничным не только по направлению х„, но и по другим направленвям. Тогда в сумме (52) будут отсутствовать и другие слагаемые.
Поэтому справедлива оценка (67). Например, при р = 2, если х нерегулярен по х! и ха в соответствии с рис. 15, в), то 2 ! ! ! 0(х) = .. + —,= —,+ —,, а, а, а!а а, а т. е. 11(х)>1/Ь„а=!, 2. Обратимся теперь к задаче для функции о(х). Представим !р* в виде суммы Р 4!!*= Х !р„, !р,'=0 в регулярных по х, узлах, (69) а-! и положим о= 5', о„где оа — решение задачи а 1 Лоа = 0 в регулярных по х, узлах, Л*о,= — 42„' в нерегулярных по ха узлах, о„~ -О. (70) 8! а 1. РАзностнАЯ 3АдАчА диРихле для уРАвнения пуАссОнА Р47 В силу теоремы 5 !М. <РИ, (71) где 1~Г~~„= тпах 1~(х)) а~аь, а (фактически берется максимум по ь!'„',, так как ф',=0 в регулярных приграничных узлах).
Из (71) следует, что Р )~ о !1„< ~ч"„16'„ф„' 1,. (72) Объединим оценки (56), (66) и (72) и сформулируем полу- чеииый результат в виде теоремы. Т е о р е м а 6. Для решения разностной зада ш Дирихле (24) — (26) с правой частью ф, представленной в ваде ф = !р+ф", Р ф*= 2'. ф„', ф*„=О в регулярных по ха излах, на произвольной а-! связной сетке й! верна равномерная оценка Р 1~и~~.<~~р~~т+ —,', !!фью(.+,')'.~~6;фЦ., а 1 (73) где 6, определено формулой (68), 8. Равномерная сходимость и порядок точности разиостиой задачи Дирихле. Применим теорему 6 для оценки решения задачи (28). Следуя п. 7, представим погрешность аппроксимации ф схемы (24) — (26) в виде Р ф=ф+ф', ф=Хф„, ф'-Хф"„, а-1 а 1 где ф'„=0 в регулярных узлах (по х,), ф,=О в нерегулярных узлах (по х,).
Из оцеиок п. 3 следует, что для и ец С'" ~ фа ~(~ М1Ьа!!12 для всех х ~ е1А, (фа)~~ З (Ьа, — Ь ! ИЛИ (ф ~< (Ь вЂ” Ь) в нерегулярных узлах хеи ыь" „, где ~ д'и аао, ~ дха 1~а~р Р4З ГЛ. Ич РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 43 Из (74) находим Р !! ф !!а ( Х !! фа !! -"= Мз ! Ь !'!1 2з ! й !' = Х Ьа. Для решения задачи (28), в силу теоремы 6, имеем оценку Р !!.
!!. ~ —,", !! ф !(, +,')',!!6'.ф'1.' (77) а=з Перейдем к оценке !!6,*4(з'„!! ° . В силу (75), (68) имеем ~йафа~ '~~~ Е й(зйаз-йа-( а а)' (76) либо ! афа! 3 3 а а( а а)' где Ь,* одно нз чисел й", или и," Учитывая, что й и (ь — й )~(й й (й — й)(лз/4, 6,5й„', й.' (й, — й„) ~ (бзбй.й.'(й. — 74„") ~ 83/8, заключаем !)6*ЗР*)! ( з А3 Ч~)~~~))б ! !! ~ Мз ~~~~~ аз а з а а з Подставляя оценки (76) и (78) в (77), убеждаемся в том, что верна Теорема 7.
Если решение задачи (1) и(х) ее С(44(й), то разностная схема (24) — (26) равномерно сходится со скоростью 0(!й!3) (имеет второй порядок точности). При этол верна оценка (79) где у — решение задачи (24) — (26), й = шах Ь . а Сделаем в заключение следующее 3 а м е ч а н и е. Рассмотренный выше способ аппроксимации задачи Дирихле (схема (24) — (26)) является довольно распространенным.
Однако построенный таким образом разностный оператор в некоторых случаях теряет ряд важных свойств, присущих исходному дифференциальному оператору: самосопряжен. ность и отрицательную определенность. Представляет интерес построить такую аппроксимацию задачи Дирихле для уравнения Пуассона, для которой соответ- з) < ь пззностихя зздхчз дигихлв для кгзвнсния пкзссонз ствующий разностный оператор был бы самосопряженным и отрицательно определенным. Оказывается, что для зтого достаточно изменить запись разностного уравнения в нерегулярных узлах.
Именно, оператор Л' будем определять теперь так: > а' а-1 где ( „( а) „ „ Ч( а) ~а ~а аа х( 'а)ен у„„ „( а) „ „ „( а) аа ~а Л'.д = х(а4)ен уз „, аа и( а) а а „( а) а х(- а) е= у ! ~а ае а (80) Проведем рассуждения для двумерного случая (р = 2), когда Ли Е,и+ Ези, Еаи = —,. д'й зха Рассмотрим разностный оператор Ли (Л,+Л)и, Лап=их „, Можно показать, что при атом оператор ( Л в регулярных узлах, Л=~ 1 Л' в нерегулярных узлах, является самосопряженным и отрицательно определенным (на множестве функций, обращающихся в нуль на ух) в смысле скалярного произведения (у, о) = ~ч", у (х) о (х) (1, й, ... Ь,, х~ а., Так же как и в теореме 7, доказывается, что соответствую- щая разностная схема имеет второй порядок точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
