Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 42
Текст из файла (страница 42)
9. Схем» повышенного порядка точности для уравнения Пуассона. Исходя из схемы <крест>, можно построить схему с погрешностью аппроксимации на решении 0((п(<) (или 0(Ьа) в случае квадратной (кубической) сетки). Для повыше- ния порядка аппроксимации используется тот факт, что и = и(х) есть решение уравнения Пуассона Ли = — ) (х). Пусть и = и(х) имеет нужное по ходу изложения число производных. Тогда 2 г Ли — Еи = (2 Е|и+ — 2 Еги+ 0 ((Ь (). "! 4 (81) из уравнения е,и + еги = — 1(х) находим Е|и = — Еи — Е|Еги, Еги = — Е21 — Е|Еги, 2 2 так что аг а' аг+ дг 2 Е~~ |2 Е~~ — 12 Е|Еги+ 0( (Ь ~ ).
(82) Подставим сюда Еи = — 1 н заменим Е,Е,и разностным оператором д'и Л,Л,и = иг„,г,„Е!Еги = дхгдхг Этот оператор определен на девятиточечном шаблоне, изображенном на рис. 18. 7 д д Ьг д 4 Рис. (6. Напишем выражение для Л,Лги: ( и (хь х, — аг) — 2и (х„хг)+ и (х|, хг+аг) 1 1 2 1~ Аг 2 ! = —,, (и(х, — Ь„хг — Ьг) -2и(х„х, — Ьг) + и(х| + Ь! хг — Ьг) + +4и(хн хг) — 2и(х, — Ьн хг)+и(х, — Ь„х,+ Ь,)— — 2и (хн х, + Ьг) — 2и (х, + Ь„х,) + и (х, + Ь1, х, + Ьг)). Погрешность аппроксимации Л,Л,и — Е,Е,и = 0((Ь г).
йг гд|и(хе х ) В самом деле, Л,и=Е,и+ —,, где хгеи(хг — Ьм хг+Ьг)- некоторая средняя точка. Поэтому аг /д42(х, х)) Л|Лги = Л| (Еги) + — Л, ( 4 /. !2 А дх|2 256 ГЛ. |У. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (Э Отсюда видно, что Л( (Еги) = Е,Еги+ 0(Ь(), Л) 4 = Е)Еги (х), хг), х) е= (х) — Ь), х) + Ь(). /дзи(хь х,) ) дхг Таким образом, Л(Л,и = Е(Еги + 0()Ь(г), что и требовалось доказать. Заменяя в (82) Е)Еги на Л)Лги, получим »2+»2 /2 /2 Ли= — ф 12 Л)Л,и+0()Ь)'), ф 1+ 12 Е((+ 12 Ег) (83) Из предыдущего следует, что уравнение »',+»,' Л'у = — ф, Л'у = ЛУ+ 12 Л(Лгу, "г )+ 1 )+ гЕз (84) имеет четвертый порядок аппроксимации на решении и = и(х) уравнения Пуассона (80). В самом деле, формула (83) дает Л и+ ф=(Л'и+ф) — (1и+/') = 0((Ь(4), Е =Е, +Ег. Оператор Л' определен на девятиточечном шаблоне (рис.
16) «ящик», состоящем из узлов (х( + пг(Ь(, х, + лггйг), т), тг = = — 1,0,1. Запишем схему (84) в виде 5/1 11 1/5 !1 — — Р— у = — — — — (У(+') + у( ") + З ~»21» ) 5 ~»21»2) 1(у(+1з) .1 у( — 1з)) .1- + — — + — )(у(91 +')-(-у(+' ° "+у( ' "+у' ' +")+ф, (86) 1 /! (,»» где у( — ''=у(х, 4- Ь„хг), у(~' " у(х, + Ь„х,— Ьг) и т. д. На квадратной сетке (Ь( = Ьг Ь) это уравнение принимает вид "(У)+ Уз+Уз фУ4)+Узф уз+Уз+Уз + 5 Ьг Уо 20 10 (см. рис.
!6). Рассмотрим теперь разностную задачу Дирнхле для схемы 0((Ь(4) в прямоугольнике гз = (О = х ( 1„, а 1, 2): Л'у = — (р, хеп ез», у( =р(х); ф=(+ — 'Л(1+ — Лг/, (86) т» ' 12 где Л'у дается формулой (84). 91 9 1. РАзностнАя ВАдАчА диРихле для уРАВнения пуАссонА 251 ййй ГЛ, Пь РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ и Каждый из узлов сетки является регулярным, так как девятиточечный шаблон (рис. 16) принадлежит 44. Граница ул сетки содержит все узлы на Г, в том числе и вершины прямоугольника.
Для г = у — и получаем задачу Л'г= — ф, хеи шл, г=О на ул, (87) где ф = Л'и+ ф 0()Л(4) пРи ханша, если иеиС'з4, ПРовеРим условия принципа максимума. Сравнивая (41) с (85), видим, что В (х, й):» 0 при — ( — ' ( ~/5. (88) )lз ь, Для оценки решения задачи (87) строим мажорантную функцию У(х) =К((з,— х'+ 1,' — хт~. Учитывая, что Лу = — 4К, Л Л,у =О, 1~ у ~~~(К(1~1+ (з), выби- рая 4К =й'туй'„н пользуясь теоремой 3, получаем для решения задачи (87) оценку йг~) < ' '1ф'й' пРи Условии ( ' < )/о.
4 1'5 Аэ Отсюда следует, что схема (86) имеет четвертый порядок точно- сти, если и пиС44>, 1'еи С~а~ и выполнено условие (88). На квадратной сетке (Ьг = Ьз = Ь) это условие автоматиче- ски выполнено. Выбирая соответствующим образом ф, можно, добиться того, что на квадратной сетке схема (86) будет иметь шестой порядок точности.
6 2. Некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы эллиптического типа Этот параграф посвящен получению некоторых неравенств для разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы эллиптического типа. Эти неравенства в дальнейшем будут использованы при полученик априорных оценок для разностных задач, которые в свою очередь послужат основой для доказательства устойчивости и сходимости разностных схем.
1. Разностиый оператор Лапласа в прямоугольной области, Пусть на плоскости (хь хз) задана прямоугольная область Оо=(х=(хн хз), О(х„и 1ю а=1, 2) с границей Г (рис. !7) и оператор Лапласа д'и д'и Ли = — + —. дх, дхз З 2. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ РЕЗ Введем в области т22 разностную сетку таким образом, чтобы прямые, образующие границу Г, принадлежали классу прямых, образующих сетку: ыь=(х=(хн х2)~ Ос х, =т!Ь„Х2=2232, 1„=0, 1, ..., Лт„а =1, 2). Сетка йк равномерна по каждому направлению х„. По направлению х, шаг равен йь по направлению хт — равен 62 Рассмотрим простейшую аппроксимацию оператора Лапласа. Пусть Лр = д„+ ря, (Ц Справедлива Л е м м а 1.
Для всякой функции о(х), заданной на сетке ак и обращающейся в я!тли на ераницс утв! о~ =О, ТА имеют место неравенства Рис. 17 бс~!О1Г((АО, о)(Л21!о)Р. (2) Здесь 0 ( би ( Ьи — постояннь2е, значения которых определим позже, оператор А = — Л и, как обычно, приняты обозначения и,-! н,-! (о, те) = 2.'1 Х от,ьте2~! тт!"м 11о ~Р=(!', О) 2,-! ь-! Прежде чем переходить к доказательству леммы, рассмотрим следующую задачу на собственные значения: (3) Ло+ ),о = О, х ее вк, о (х) = О, х еи у„. Решение задачи (3) будем искать методом разделения переменных. Пусть о (х!, х2) = 1! (х!) т1 (хт). Подставляя выражение о(х) в (3), найдем; 12 (х!) 212,„+ т1 (Х2) 122 (х!) + 1!12 (х ) т1 (х ) = О.
Так как мы ищем нетривиальные решения задачи (3), то можно разделить обе части этого уравнения на 12(х!)П(х2). В результате получим ч н ИЛИ 1)х х. ! х,х, (2) — -'- = — — — Л= — Л, п в причем Л(2) не зависит ни от хь ни от хг. Тем самым для 2! получаем задачу: +Л("11=0, хг=й„..., 1,— Й,.; т)2=2)г =О.
(4) Это есть именно та задача на собственные значения, которую мы уже рассматривали в гл. 1, $ 2. Решением этой задачи является 21, (х ) = )/ — з) и (б) Ьг Иг Аналогичную задачу получаем для р(х,): +Ли)К=О, х =йп ° ° ., ! й; (г =)г =О, где Л =Л вЂ” Л, и ее решением является (н гн (хг (х,) = )/ — з!и О) 4 . 2 Ь,ПЬ, Лх, = — з!п ' , (21 = 1, 2, ..., А(1 — 1. а) х(1 (б) Теперь можно найти задачи (3) оггм (х) = функцию о(х), являющуюся решением 2 . (г ПХ, . Хгг(22 з!и — ' з!и —. 1 (~(г Мы обозначили Л =Л вЂ” Л (1) (21 Л =- Лх,х = Ц) + 4) поэтому или — ' 2 ()гяа~ ! 2 ((глаг! Лым =4 — з!п — + — яп —, (,а'1 з(1 ь,' в(, )' (9) где й, = 1, 2, ..., А(1 — 1, !2, = 1, 2, ..., й(2 — 1.
Собственные фУнкции огхы оРтоноРмиРованы в смысле опРеделенного выше скалярного произведения (, ), так как они ортонормированы на каждом отрезке по направлениям х, и хь Следовательно, по системе функций (огеь(х)) можно разлагать лю- РВ4 Гл. )у. Рлз)!ост!)ые схемы для элли1пичсских уРлвиенип (1 и $2. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗНОСТИЫХ ОПЕРАТОРОВ 255 М~ №-! (о 2с) (О 2М2,)! Х Ж (и и ) й Ь2 (10) ! !=! Преобразуем с помощью первой разностной формулы Грина скалярное произведение (Лс, о).
Получим 2 (Ао, о) = — (Ао, о) = — ~ (ох „, о) = "а"а' 2 2 =Л,("-. 2.~.= Д,(1"-.й (1 !) так как по определению (ох, ох 1„=~~ох 11 . Разложим теперь функцию о (х) по системе функций (омм (х)): о (х) = ~ч'"„с...,оьси (х) и, взяв от нее левую разность по х„получим о;., (х) = ~ смм '!! Х~, О№н (х), еа Н (! 2) где о№ы (х) = )/ — 21(х!) соз и функции о№2, ортонормированы в смысле скалярного произ- ведения (, ). Йа основании этого из (12) находим М,-! М.-! !1О-,)!! = Х Х с2 А, . (13) Аналогичное выражение нормы получаем для окз(х): М,-! №-! ~!О2')!2= Х ~с~2й2 2-! Аз ! (13') После подстановки выражений норм для о„-, и ох, в формулу (1!) получаем (Ао, о)=~ с' А Аа М бые функции, заданные на а2>, и обращающиеся в нуль на границе уА.
Приступим теперь к доказательству леммы 1. Для одномерных сеток были введены формулы суммирования по частям и формулы Грина. Они полностью переносятся на двумерный случай. Первая формула Грина для двумерной сетки в прямоугольнике принимает вид Рай Гл !у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
