Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Замечание 1. В силу (11) и (33) неравенства (34) можно записать в виде (35) с,(Ао, о) (Ао, о)в=с,(Ао, о), 2 хне Ау — Лу= — ~у,, для у(х), заданных на а» н рава ! а*а н3ах нулю на границе (у1 0'!, нлн в виде операторных неть (гдвенств (см. гл. 1, $ 3): р(А а~ А ~;с~4, И а а накотогыа оцанки для г»зиостных опят»гогов таз Операторы А и А, удовлетворяющие неравенствам (35), будем называть энергетически эквивалентными с постоянными с~ и сл операторами (употребляются н другие термины — эквивалент- ные по спектру (Е.
Г. Дьяконов (7)), сходные (С. Г. Михлин, Х. Л. Смолицкий (1]) и др.), Замечание 2. Пусть дан оператор л 1-и(х) ~Э~~~ 1.„аи, 1,„ли= в (йлл(х) л ) л, а-1 н выполнено условие эллнптичности л л л с, ~~~ з',< ~~~ й, ~,~ (с Х 5',. В р-мерном параллелепипеде б (О~х,~1», а=(, 2, ..., р) вводится сетка мл мл+у» =(х~ —- (116~» .
° ° » 1»пл ° ° ° » 'лйр) ен Й» где ал = (х,еи б), и строится разностный оператор Р ЛУ ~х~~ Лвлр ЛчаУ 0,5 [(Л,эУ» ) + (й,еУ» ) л Он аппроксимирует 1. с погрешностью 0(~Ы'),! Ь ~»= ~ йе. а Вводя скалярное произаеденпе (у, п) = ~ у (х) п (х) Ь, ... Ьр х~»»л н рассматривая множество сеточных функций, заданных на ол и равных нулю на границе ум по аналогии со случаем р = 2 убеждаемся, что оператор Ау= — Лу, у ~ =0 тл является положительно определенным и для него выполнены л неравенства (35), где Ау= — Лу, Лу= ~ у „, у!„0.
6. Схема повышенного порядка точиостя для эллиптического уравнения со смешанными производными. В прямоугольнике 0 * (О ~ х„4 1„, а ° 1, 2) рассмотрим задачу Дирихле для 264 гл. !и !гхзностныв уравнения д'а д'и Аи= —,+ 2аы + дх! дх! дх, и !г гг(х! д'а ! (х! «2)» дх; (36) (3У) х„), где à — граница области 6. Если ~агг)< 1, то выполнено условие эллиптичности оператора 1.: в! + 2а,ДДг + $'- ) с ($', + ф, где са =! — !а!з!. Будем предполагать, что а,г — — сопз1. Нетрудно заметить, что уравнение общего вида д'и д'а д'а он —, + 2ам + а„—, = — 1 (хь хг), дхг! дх, дх, дхг где аа — постоянные, а„ ) О, а„а, ) а'„, преобразуется к виду (36) путем замены переменных х, = )гга„х„хг= )/а~,хг, так что! агг ~=~ а!г ~/7 а„а,, < 1.
Предположим, что в прямоугольнике 0 можно ввести квадратную сетку с໠— (х! = (!гЬг ггЬ)г 1а 0 1г ° г Иа ЬХа (а) (38) (39) Ли ихх, а=1, 2, а" а' Лгги = 0,5 (их,х, + и,х,), Лгги = 0,5 (и„-,х, + и„,„г), Нетрудно непосредственно убедиться в том, что имеют место формулы «г г гг! йгги=Л"и 4 1гги+ в 1гг(1!+ гг)и+ 0(Ь ), + аг г аг Лгги-т.гги+ 4 А!хи+-~-1гз(1г+1а)и+0(Ь'), Лаи=1. и+ — !з 1-,и+ 0(Ь ), дги д'и и и(х„х,), Ьаи —,> А!зи дха, дх! дхг (40) с шагом Ь. Построим разностную схему четвертого порядка точности для задачи (36), (37). Зададим разностные операторы и з г.
нвкотогыв оцвики для глзностных опввхтовоа . Заа Рассмотрим разностный оператор Лу = (Л, + 2амЛ,г + Л,) у, где Ли= Л~~ прн аи<0, Л1г= Л|" при а,г>0. (41) Найдем погрешность аппроксимации оператором Л оператора Е на решении уравнения Еи = — 1. Пользуясь формуламн (40), будем иметь Ли = Е и + — (Е ~ + 1 г + 4 а и Е 1г ( Е ~ + Е г) + 6 ! а1г ! Е 1г) и + 0 (й ). (42) Нз уравнения (36) определим Е,и = — 1 — Е,и — 2а„Еми, Е,и = — )' — 1.,и — 2амЕ„и, Е,и+ Е,и = — 1 — 2аггЕ1ги и преобразуем выражение в скобках (Е~+ Ег) и+ 4аийи(Е~ + Ег) и+ 6! аы ! Е~ги = = Е1(-1 — Еги — 2а„Е„и) + Ег( — 1 — Е,и — 2а„Е,ги) + + 4а~гЕ,г (Е1+ Ег) и + 6 ! ам ! Ерги = = — Е,) — Ег1 —, 21.,1.,и+ 2аггЕ„(Е, + Е ) и+ 6! ам ! Е1ги = = — Е! — 2(1+ 2аг — 3 ~ а, ~ ) Е,Е,и, так как Еыи= Е1Еги. г Отсюда и из (42) следует, что схема Л У = —,Р, Р =1+ ф Л~, у! =р, (43) где у — граница сетки гв„и Л'у = Лу + — Л,Л,у, Ь = 1+ 2а-'„— 3 ! а„(, а'а (44) (45) имеет четвертый порядок аппроксимации на решении и = и(х) задачи (36), (37).
При этом вид оператора Л зависит, согласно (4!), от знака коэффициента а~г. Дла погрешности х = у — и получаем условия Л'х= — гр, ф = Л'и+ <р = 0(йз), х !т = О. Введем скалярное произведение и норму в пространстве сеточных функций, заданных на йз и обращающихся в нуль в граничных узлах хану: и;~ и;1 (у, х) = 2"„Д йгуиих,, !)а!) = ~l(х, а). Пользуясь формулой суммирования по частям (см.
гл. 1, $2, и. 1), найдем (Льяг г) — (гя„гя,), (Льяг» г) = — (гя г ). Поэтому справедливы оценки !(Льяг, г)1~!! гя» й! гя»!1~ г (!1гя,[[е+!! гя,Р)< — ( — Лг, г), ~(ЛДг, г)~» [[гя,~~~(г~,1»~ ~— ([[гя,!»[ч+[[гя,»[[ь)~ — (- Лг, г), гДе Лг (Л,+Ля)г гЯРЭ+гЯ,И. Введем операторы А' — Л', А= — Л, А= — Л, А, — Ло Ая — Ля и найдем постоянные эквивалентности А, А' и А. Учитывая оценки для (Ль~ьг, г), имеем а (Аг, г) =(Аг, г) — 2аи(Аиг, г)~(1 — !а!я!)(Аг, г), (Аг, г)".:,(1+(а,я [)(Аг, г). Воспользуемся, далее, оценкой (АьАяг, г)~ — „, (Аг, г), г (46) которая следует нз соотношений к, №-! (гя,,я.
„г) ~ ~~~6! (гя,„'(
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
