Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Ишется решение первой краевой задачи Лд = д,„= — ) (х), О ( х = И < 1, д, = ип дм = и,. (3) Вводя вектор У =(дь дн ..., дА 1), перепишем уравнение (3) в виде (1), где 2 — 1 О О... ΠΠ— 1 2 — 1 О ... ΠΠΠ— 1 2 — 1 ... О О О О О О...— 1 2 — матрица размера (У вЂ” 1) Х (У вЂ” 1). Вектор правой части ОУ = (~рп ..., ~рн 1) учитывает правые части краевых условий (3): ~Р; =~О 1=2, ..., У вЂ” 2, так что ~Р1 отличается от ~, только в приграничных узлах 1=1 и (=У вЂ” 1. Матрица л' определяет оператор А = — Л, который преобразует сеточную функцию д(х;), т. е.
вектор (У вЂ” 1)-мерного пространства в вектор того же пространства (в сеточную функцию ( — Лд);). Оператор Л совпадает с оператором Л на сеточных функциях, обращающихся в нуль на границе (при !=О и !=У), так что (Лд); = (Лд); при ! = 2, 3, ..., У вЂ” 2, Пусть йА — множество сеточных функций, заданных во внутренних узлах сетки ыь, .это множество линейно, Вводя на 1)А Ф-~ скалярное произведение(д, о) = ~ др,й и норму !! д !! = 7(д д) ! получим линейное нормированное пространство ААА.
Определенный выше оператор А линеен и отображает ыА на ()А (его область определения и область значений совпадают со всем пространством ЙА). Оператор А самосопряжен, т. е. (Ад, о) (д, Ао) для любых д, зев(зь. го Гл. ч, Овшие ФОРмулиРОВки. ОпеРАТОРИО-РАзностные схемы (! В самом деле, (Ау, и) =( — Лу, и). Пользуясь второй формулой Грина (гл.
1, $ 2) и учитывая, что Л совпадает с Л иа множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на границе сетки, получаем (Лу, о) = (у, Ло), т. е. А = А'. Оператор А положительно определен, т. е. (Ау у) =- 81 у 1(!. Это следует нз леммы 3 (гл, 1, $ 2, п. 3). Норма оператора А равна 11 А !!= 4, соз! — "~ < 4 (5) В самом деле, норма самосопряженного положительного оператора в конечномерном пространстве йА равна его наибольшему собственному значению, ~)А ~! = Лл !.
Так как в данном случае, согласно гл. 1, % 2, п. 2, ЛА! ! = — „, соз —, то имеет место 4 зпа формула (5). При этом справедливо неравенство (Ау, у) <!1 А Я у)(!. Рассмотрим оператор АУ вЂ” (ау)) +!(у, О<с, <а <с„О<!(а-.сз. (8) Он самосопряжен в силу второй формулы Грина. Первая формула Грина дает (АУ, У) = (а, УЯ+(4(У, у), где у';=(у„)!. Отсюда следует, что (Ау, у) ~) с,(1, у4)=с!')УА)1'~)8с!1! У 14, (8) т. е. А положительно определен.
Его норма, как видно из формул (7) и (5), оценивается так: ~1 А 11 <4с,/й'+ сз. Пусть ЯА — множество функций, заданных на сетке йа — — (х, =гй, 4=0, 1... „ЛГ). Пример 2. Третья краевая задача. Пусть дана та же сетка й„, что и в примере 1. Рассмотрим разностную краевую задачу третьего рода Лу = у„„= — 1(х), О < х гй < 1, У,,в = и!Уз 1А! Ук и = а!Ух !Ам Ц $ !. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 37! Определим оператор Л так: ! ВВА (ух,Π— О!уз) Л у, С О, Лу=у„х, с=1, 2, ..., Ис' — 1, (уе А!+О~у )=Л у Полагая А = — Л, перепишем задачу (9) в виде Ау=ф, где (10) Линейный оператор А отображает !со на !со.
Введем скалярное произведение и-! [У О) = .Ах УРсй+ 0 5И(уово+Ууоос) ! ! и норму ![У]~ = )с[у, у). Оператор А самосопряжен, т. е. [у, АО) = [О, Ау), где Ас-! [У, АО] = — (У> ЛО) — 05И[УАЛ О+УЯЛ+О), (У, пс) = Х У,пссИ. с-! Пользуясь формулой Грина (гл. 1, 2 2) и подставляя выра- жения для Л-О и Л+О, получим (У~ ")=( ~у~ В) (Ух,опо Ух,опу)+(Узо,о Уводу) — 0,5И(УВЛ О+У, Л+О) = — Уо(вх, — Осв )+ У„,(п„я+охи ). Так как Ух о — — сс,Уо+0,5ИЛ У, У, „,= — О,Усс — 0,5ИЛ+У, то [У, АО) = — (ЛУ, О) — 0,5И[воЛ У+ ОуЛ+У)=[АУ, О), что и требовалось доказать.
Покажем, что если ос)~с! ) О, по)~ с! > О, то оператор А положительно определен: [Ау, у) ~ )— ' ![У]['. (1 1) ! 056 ! !' ! 056 ! ~' !=О, с' = 1, 2, ..., ИС вЂ” 1, с = йс. зтэ гл, у, ОБщие ФОРмулу!Розки. ОпеРАТОРнО.РАзностные схемы и 2 22 / 2 !2 уг (х) = уо+ Х у„(х') Ь[ уо+ 2уг ~ уг (х ) Ь + Я уг(х') Ь) и воспользовавшись е-неравенством, получим У 2 !г у'(х) ~((1+ е) у'+ (1+ 1/е) Я ух(х') Ь[ . -л ' Так как, согласно неравенству Коши — Буняковского, к 12 / ЕОР!'!О)» (ЕО!!У!2)» С,О!!.
то из предыдущего неравенства получаем у (х) «(1 + е) у! + (1 + 1/е) х (1, УЦ. Аналогично доказывается неравенство у'(х) ((1 + е) уз + (1+ Це) (1 — х) (1, УЦ. Из последних двух неравенств следует, что уг(х,.) (0,5(1+ е) (у'-+ уо)+ 0,5(1+!/Б)[1, УЯ, 4[у)[' ~~ 0,5 (! + Б) (уо+ ул) + 0,5 (1+!/Е) (1, у'„-1. Отсюда и из тождества [Ау, у)=(1, у'„=)+с,у',+Огуг„ положив в=с„получаем (11).
Для нормы оператора А справедлива оценка [1 А [[( (— „, (1+ 0,5с,ь), где сг = гпах(он о,). 4 (12) (13) В самом деле, так как (уг !)2(~ — „, (уг!+у';,), то 4 [[у)[2 и-! ГдЕ [[у[[2= ~ угЬ+0,5Ь(у!+у'). Учитывая затем, что [Ау, у) (![А [[1[у][2, и о!Уо+ огУ2„= а (0,5ЬО!Уо+ ~,ДЬогУм) ~ (з' [[У)[~ из формулы (12) получим искомую оценку (13), Для этого воспользуемся тем же приемом, что и при доказатель- стве леммы 1 из гл.
1, $2. Именно, представив функцию уг(х) в виде 11 А 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕННЯ ЯТЗ Пример 3. Несамосопряженные операторы. Пусть й»=(х! !Ь, 1=0, 1, ..., М, Ь 1/М) сетка на отрезке О(х(1. Рассмотрим разностные операторы Л-у утл Л'у= — у„ (!4) о тображаю!дне множество Й» сеточных функций, заданных нз й» и равных нулю при !' О, !' = М, на 1)», так что у!/Ь, 1=1, (Л-у), = (у; — у! !)/Ь, 1=2, 3, ..., М вЂ” 1, — (у!+,— у!)!!Ь, !'=1, 2, ...„М вЂ” 2, (Л'у), = уу !Я, ! М вЂ” 1. Из этих формул видно, что Л- и Л+ можно рассматривать как операторы из 1)» на Й». Я-! Пусть (у, о) *= ~~'.< ур,.Ь вЂ” скалярное произведение на 11» ! ! и 12».
Покажем, что операторы Л- и Л+ сопряжены друг другу: (Л у, о)=(у, Л+и) для любых у, оея(1». (15) В силу формулы суммирования по частям — (у, о,) (угн о) если у = о = О при ! = О, ! М, Отсюда и следует сопряженность Л- и Л+. Нетрудно заметить, что Л у+Л+у= — (у — у„)= — ЬЛу где Лу =у„„„т. е. Л +Л+= — ЬЛ. Поэтому операторы Л- и Л+ положительно определенные: (Л у, у) = (Л+у, у) = — (- Лу, у) — «у„-<<~~~ 4Ь!<у<(!.
Последнее неравенство справедливо в силу леммы 3 из гл. 1, $ 2, и. 3. Обычно рассматриваются операторы из 11» на О» вида 1 1 Тг!У а У» Тс!У» ( Уу) (16) Они сопряжены друг другу (Л!у о) =(у )1зо) н . (ВАУ, У)=(ЛХУ, У) =О,б«УА<з~4<<У(Р. зт4 Гл. у. ОБщие ФОРмулиРОВки, ОПБРАТОРИО.РАзиостиые схемы 1! Из формулы А!- ! ~/х,у1У= — „, ~~) у'Ь« — „, !!у 14 следует, что !! тс! !! » «2/Л !! Асг !1 » «2/" . Так как /с! /1,', то (17) (/ !/ Ру У) 1 /12У~~ А! 1УР !~ » «А! ~А~~и~ух !~ /~а !!Ух!! ~ т. е. 1~Р2УУ«»ь, Яу, у), /1=0!+/1,.
! (18) Несамосопряженные разностные операторы появляются, на- пример, при аппроксимации эллиптических операторов второго порядка, содержащих первые производные. Так, оператор /.и= иР(х)+ Ьи'(х), х~ (О, 11, Ь =сопз( аппроксимируем разност ными операторами Л,у = ух, + Ьу„при ю Ь)0 или Лу=у +Ьух при Ь<0, где уев й„. Пусть Лу — оператор нз ЙА на ()А, совпадающий с Лу при уеи ЙА. Операторы А, = — Ло А,= — Л,, действующие из 11А на (1А, положительно определены при любом Ь. В самом деле, (А,у, У) = ( — д„„, д) - Ь (д, У) = (1+ 0,5ЬЬ) 1дх)1з, (Ау у) (1 О 5ЛЬ)1У )~г (1+0 5Ь! Ь !)1У Д Отсюда находим (А,у, у))8(1+0,56| Ь !Цу!(!, ! 1, 2. Так как А, = А+ЬЛ+, Аз= А+! Ь !Л, где А — Л, Лу=у „ и 1Л 1«»2/Ь, !~ А ~!«»4/й, то, в силу неравенства треугольника для норм, получаем (~ А, !!»«!! А11+Ь ~Л+(~< —,, (1+0 5ЬЬ), Ь)О, (20) ПА П«»~!А11+~ь Цл ~!<ф(1+0 55~ ь ~), ь<о.
~ Заметим, что если оператор /.и = и" + Ьи' аппроксимировать выражением Лу = ух„+ Ьу„при Ь ) О, то вместо 1 + 0,5ЬЬ в (19) получим 1 — 0,5ЛЬ и оператор ( — Л) будет положительно определенным только при 6 < 2/Ь. Яы ограничились здесь простейшими примерами, з! $ Ь РАЗНОСТНЫЙ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В гл.
1Ч аналогичными методами изучались разностные операторы, аппроксимирующие эллиптические операторы (в частности, оператор Лапласа) в прямоугольных областях. Если исходный дифференциальный оператор самосопряжен и положительно определен, то и разностный оператор надо строить так, чтобы он обладал указанными свойствами в сеточном пространстве. Этого можно добиться, используя, например, метод баланса (интегро-интерполяционный метод, см. гл. П1) или вариационный метод для построения разностных схем (см., например, Ю.
А. Гусман, А. А. Оганесян (!)). Из предыдущих примеров видно, что раэностные уравнения можно трактовать как операторные уравнения с операторами в линейном нормированном конечномерном пространстве. Для этих операторов характерно то, что они отображают все пространство в себя. Перейдем к изложению теории разностных схем как операторных уравнений. 2. Устойчивость раэностной схемы. Пусть даны два линейных нормированных пространства Ял' и Я),"', зависящих от пара метра а, являющегося вектором некоторого нормированного пространства, ) а)) Π— норма вектора а.
Рассмотрим линейный оператор А» с областью определениям)(А») = Я» и множеством анан) ченийЯ(Л») ': — Я. Пусть !! ° !!(~„) и 1! ° !!Р„) — нормы в Я»и и ЯР. Рассмотрим уравнение (21) где <р» — заданный вектор. Меняя параметр й, мы получим множество решений (у») уравнения (21). Операторное уравнение (21), зависящее от параметра а, будем называть разносгной схемой. Будем говорить, что схема (21) корректна (задача (21) корректно поставлена), если при всех достаточно малых (Ь) (Ьл 1) решение у» уравнения (21) существует и единственно при любых ~р»~М»" (схема (21) однозначно разрешима), 2) решение у» уравнения (21) непрерывно зависит от ~р», причем эта зависимость равномерна по А (схема (21) устойчива), иными словами, существует такая положительная постоянная М, не зависящая от Ь, ~р», что для решения уравнения (21) имеет место оценка (при любых ~рлей Я'„"): )! Ул !)('») ~ ~М !! 'Рл !!Рл)' (22) Разрешимость схемы (21) означает, что существует обратный оператор А», т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
