Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е. у»= А» %»' (23) Рта Гл. у. Оещие ФОРмулиРОВки. ОпеРАтОРИО.РАзностные схемы [3 Устойчивость схемы означает, что обратный оператор А»' из Я» в Я»' равномерно по И ограничен: 1 А» л ~~~ (М, где М >О не аависит от И. Из (23) н (24) следует оценка (22): ~р»!!О„,'.-! А„'1)11»~!(.1(М~~.»!~„,3 В случае, когда Я»е = Я»| = Н» — гильбертово пространство и А» — ограниченный оператор с областью определения Ю(А») = Н», для корректности схемы достаточно требовать, чтобы оператор А» был положительно определен: (А»х, к)>б!!х!г для всех хыНМ (25) где !!х!!' = (х,х) и б ) Π— постоянная, не зависящая от И. В самом деле, из теоремы 4 гл.
!, 5 3 следует существование Оператора А», определенного на всем пространстве Н» и ограниченного: !! А» ' !! ( 1(б. ( ) Поэтому для решения уравнения (21) верна априорная оценка ! ! ! и» ! ! ( ю ( а ! ! ч» ! ! (» ) Заметим, что самосопряженность оператора А» в случае вещественного пространства Н» не предполагается. Гели Н» — комплексное гильбертово пространство, то само- сопряженность А» является следствием его положительности. Для доказательства устойчивости схемы (21) требуется получить априорную оценку вида (22).
Вывод некоторых априор. ных оценок для операторного уравнения (21) будет дан в п. 4. 3. Сходимость и аппроксимация. Пусть Яш и Я' ~ — линейные нормированные пространства с нормами !! !!н~ н !! !),»ь Предположим, что 1) существуют линейные операторы Ув„" из Я"' в Яа~н и У~' нз Я"' в 4,", так что У)ни = и» еи Я)в, если и ж Ме, У)в~=1 ~ Я»<" если ~~,Уг1 2) выполнены условия согласования норм Вгп 1У)ви((,»)=!!Е()ни 11т ((У»-М(,»)=!!Р()м>.
(27) !»1.+о 1»1+» о) з ь РАзностные схемы кАк опеРАтоРные уРАВнения 277 Пусть у» — вектор из Я)п. Нас будет интересовать сходи- мося (у») при (Ь(- О к некоторому фиксированному элементу и нз Яи). Будем говорить, что 1) (у»(, где у»~Я~»н, сходится к элементу и~Яг'), если 1нп (у» — У)пи(, = О, (28) )» ~.+о ('») 2) (у») сходится к и ен ЯО) со скоростью 0()й)"), и > 0 (или аппраксимирует и с точностью 0((п) )), если при всех достаточно малых )п((й, имеет место оценка 1)у„— и„)((, ~(М) П ~", и„=У1ни, (29) где М > 0 — постоянная, не зависяшая от й. Пусть у„— решение задачи (21).
Будем говорить, что 1) схема (2!) сходится, если существует элемент и ЕНЯНК такой, что выполнено (28), 2) схема имеет точность 0((п("), если выполнено (29). Введем понятие погрешности аппроксимации на элементе и ж ЯНХ Лля этого напишем уравнение для разности г» = = у» — им Подставляя у» = г» + и» в (21), получим А„г„= р», Ф» = Ч» — А»и», Ф» ен Я'„-". (30) Правую часть»р» ф»(и), зависящую от выбора элемента и из Яи), назовем погрешностью аппроксимации на элементе и ен Яи) для схемы (21). Очевидно, что ф» есть невязка, возникаюшая при замене в уравнении (21) у» элементом и» =У)цп.
Будем говорить, что 1) схема (21) обладает аппроксимацией на элементе и~ЯО), если 1)гп )) ф»(и) 11(о») = Вгп /(оо» вЂ” Л»и» /)(о») О, (31) 1»).+о 1»1 +о 2) схема (21) имеет п-й порядок аппроксимации на элелоенте и я Яп), если при всех достаточно малых /Ь! 4йо 11$»(и)!|(о»)КМ)й)" или 1)ф»(и)))(о») = О() Ь 1"), (32) где М вЂ” положительная постоянная, не зависящая от й, п > О. Установим теперь связь между устойчивостью, аппроксимацией на элементе и ен ЯО) и сходимостью к этому элементу для схемы (21).
Если схема (21) корректна, то и задача (30) для г» также корректна. Поэтому для ее решения верна оценка 11 г»)1(!») ™ 1! Ф» 1)Е»). (33) Отсюда следует йтз гл. ч. овшнв аовмэлнвовкн. опвяхтояно-яазностныв схвмы 1з Теорема !. Если схема (21) корректна и обладает ап- проксимацией на некотором элементе и чн Я~'~, то она сходится, точнее, решение ук задачи (21) при (й)-эО сходится к этому элементу и енЯ1Ч, причем порядок точности схемгя (21) совпа- дает с порядком аппроксимации. До сих пор мы говорили о сходимости схемы и погрешности аппроксимации на некотором фиксированном элементе и изЯ<'Х Однако, если и принадлежит области определения некоторого линейного оператора яФ, действующего из Яи в .Фз', то Фи = ), ) ен Я1э1. Поэтому можно считать, что и есть решение уравнения .4и = ), и ~ Я' ', ) ен Я' ' (34) и, следовательно, говорить об аппроксимации этого уравнения разностной схемой.
Мы не вводили уравнение (34) лишь потому, что нигде в определениях не используются никакие предполо- жения относительно оператора Ф. Всюду мы имели дело лишь с элементом и ~Я(н, Однако, если и есть решение некоторого уравнения (34), то можно говорить, как это обычно делается, об аппроксимации уравнения (34) схемой (21) на решении уравнения (34), о схо- димости к решению уравнения (34) и т.
д. Поскольку имеется понятие аппроксимации элемента 1 из Яач множеством (ф,) из (Я'„~>), то можно говорить об аппрокси- мации 1 элементами фю оператора .4 оператором Аь. 1) фк аппраксимирует( с порядком п, если ~ф„-У(а(1(,) =О(~Ь)"), (35) 2) оператор Ак аппраксимирует оператор л~ с порядком и, если для любого и енЯ~П справедлива оценка ~ А„и„— У)а (Аи) ), = ~ А„(У)1>и) — У)а (эт и) )р ) — — О ( ~ г1!").. (36) Очевидно, что если выполнены условия (35) и (36), то схема (21) имеет и-й порядок аппроксимации на решении и урав.
пения (34). В самом деле, так как Уам() — Фи) =О, то ф„(и) = ф„— А„и„= (ф„— У)а)) — (А„(У)пи) — У)а (.5Фи)) н 11т„(и)1(, )Яф„— У'„"Г~(, +1А„(У)ии) — УЯа(Фи)~(, (М) Ь )", если выполнены условия (35) и (36). Еще раз подчеркнем, что для оценки порядка точности схемы надо оценить ее порядок аппроксимации лишь на решении исходной задачи, и З Ь РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 227З 4.
Некоторые априорные оценки. рассмотрим ряд простей- ших априорных оценок решения уравнения (21), вид которых зависит от информации об операторе схемы. Эти оценки типич- ны для разностных эллиптических задач. Для упрощения записи будем в тех случаях, когда это не вызовет недоразумений, опускать индекс и. Итак, пусть дано уравнение Ау =ф, (37) где А — линейный ограниченный оператор, заданный на веще- ственном гильбертовом пространстве Н, ф — известный, у — ис- комый элементы из Н. Будем предполагать, что задача (37) разрешима при любых правых частях ф~ Н (т. е., что существует оператор А-' с об- ластью определения ы)(А-') = Н).
Все постоянные, встречающиеся ниже, предполагаются не за- висящими от и. Пусть (, ) — скалярное произведение, 1х!1= ~'(х, х) — нор- ма в Н. Запись А = А* > О будет означать, что А — самосопря- женный и положительный оператор. Введем обозначения ~1ф1л- = У(А 'р, ф), 1~у1(А=)Т(Ау, у), А=А'>О. Л е м и а 1. Пусть оператор А имеет ограниченный обрат- ный оператор А ' с областью определения сБ(А ') = Н. Тогда, если А* = А > О, то верны оценки (для любых у и ф из Н): у) 1 1 у 1~л 1 ф ~1л н (38) ~(ф, у)1~ И11„'+ — '~1ф~~ „.>О. (39) Доказательство.
Так как А-' =(А-')' > О, А-'А = Е, где Š— единичный оператор, то (ф,у) (А-'Ау,ф). Применяя затем обобщенное неравенство Коши — Буняковского, получим (А ' (Ау), ф)' < (А ' (Ау), Ау) (А 'ф, ф) =!! у 11~ 11 ф!!л- . Неравенство (39) следует из (38) и е-неравенства. Приведем ряд априорных оценок для решения уравне- ния (37). 1) Имеют место точные оценки 1! у 1~А =~! ф11„1 при А ° А',Э:ЬЕ, Ь>О, (40) 1 Ау 11 = 1~ ф 11. (4 1) Действительно, из уравнения (37) имеем (Ау, у)-(ф, у)=(ф, А 'ф), так как у А-'ф. Формула (41) очевидна, 2) Если А ° А' =в 6Е, то Цу1ы<Ц~й/6 Это следует из (40), так как А > 6Е дает ЦА-'Ц (!/6 и Ц~рЦд ~ =(А '~р, ср) е '~ А '~р1!Ц~рЦ~())А '~!Ц<рЦ'е~ — Ц~рЦ'.
3) Пусть в уравнении (37) А > уАМ ч > О, где Аа — самосопряжснный положительный оператор, имеющий обратный оператор Аа . Тогда ЦуЦ ~-,'ЦрЦ„-ь (43) Умножая (37) скалярно на у, получим энергетическое тождество (Ау, у) = (<р, у). (44) (42) Так как (Ау, у))7(Аау, у) =чЦуЦ'„ и, согласно лемме 1, 1(р, у)1<Ц рЦ вЂ” ЦуЦ, то из (44)получаем ТЦуЦ (ЦуЦ Ц~рй -ь т е. уЦУЦ ~ЦФЦ -н Ао Ао Ао ' Ао Ао 4) Пусть вуравнении(37) А=А" >О, А>чАФ ч>0, Аа=АЦ>0, А и Аа перестановочны.
Тогда справедтива оценка ЦАауЦ(Ц и!/т (46) Достаточно показать, что ЦАуЦ> чЦА,уЦ и воспользоваться (41). Из условия А > чАБ получаем Ц Ауй'=(А'у, у) =(АА ~у, А'*у))Т(А,А~у, А~у). Учитывая перестановочность операторов Аа н А, имеем отсюда Ц Ау Ц )~ Т(ААоу у) = у (ААао у А~~ау) > Т(АБУ У) что и требовалось, 5) Пусть А)~чАЫ где а-1 А,~А,>0, м =1, 2, ..., р, (А ) попарно перестановочны. Тогда для решения уравнения (37) справедлива оценка Х Ц Аау 1~ ( Ц ~р !аут (46) ЕЗО Гл.
ч, ОБщие ФОРмклиРОВКН. ОпеРАТОРИО.РАзностные схемы Н 2 Е 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРПЫЕ УРАВНЕНИЯ' а! Для простоты ограничимся случаем р = 2: !! (А, + А,) у !!2 = !! А,у !р + !! Азу !(2 + 2 (А, у, Аэу) ~ )!! А, у !(2 + !! А,у !!2. Отсюда и из (45) следует (45). Пример 1. Схема повышенного порядка точ.
ности в прямоугольнике 6 = (О ~ ~к1 (1„0 - к2 ( (12). Пусть й» = (((1 Ь „1212), О ( (1'„Е~ Л'„й„= 1„/У„а = 1, 2) — сетка в 6. Схема 0(!й !") для задачи Дирихле имеет вид »!.2»2 Лу (Л,+Л,)у+ Л,Л.,у — — ф, к-(Ойн 1252)ее 6, »2»2 ф=/+ — Л1/+ — Л2/, у! =О, (47) где у» — граница сетки»2», Л„у ух „, а=1, 2 (см, гл. 1Ч,$1). Пусть 1)» — пространство сеточных функций, заданных во ь внутренних узлах к ее»2» сетки, й» вЂ” пространство сеточных функций, заданных на й„и равных нулю на ум Введем на»1» скалярное произведение и норму Я, — 1 М,-1 (у/'а) Х Х Ь152у(11/1Н 1282)о(11/21, /2/Ы) ~к~ у(к)о(к)Ь1ЬН и ! "'» !!у)!= У(и, у) где уев 11».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
