Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 39
Текст из файла (страница 39)
п. 9) граница уя состоит из всех узлов, лежащих на границе прямоугольника, включая его вершины. Методы численного решения системы (Л(! — 1) (Л(, — 1) алгебраических уравнений (17) будут рассмотрены отдельно (см. гл. у'П!). Для оценки точности разностной схемы (!7), (18), образуем разность г = у — и, где у — решение задачи (17), (18), и — решение задачи (16), Подставляя у = г + и в (16), получим для г задачу Лг= — ф на (РА, в=О на уя, (19) где ф = Ли + 1 — погрешность аппроксимации уравнения (16) схемой (!7).
Так как Т.и + 1 = О, то ф = Ли+1 — йи+ йи = Ли — йи, т. е, ф = Ли — Т.и. Из (8) следует, что Ью ди Й~ ди ф = — — ю+ — —, при иенСю, ю 2 4) 12 дхю !2 дх~~ (20) где черта сверху означает, что берутся значения в некоторых средних точках на интервалах (х, — Йь х,), (хю + Йь хю) и (хь хю — Йю) (хь хю + Йю) соответственно. Обозначая д'и М, = гпах —, а,а д"а получаем (21) Доказательство сходимости схемы (! 7) сводится к оценке решения задачи (!9) через погрешность аппроксимации.
Такая оценка будет получена в дальнейшем при помощи принципа максимума для произвольной области и любого числа измерений. 3. Разностная задача Днрнхле в области сложной формы. Если область о, в которой ишется решение задачи Днрнхле (1), имеет криволинейную границу, то сетка йь(6), вообще говоря, неравномерна вблизи границы.
Ниже дается описание такой сетки и классификация ее узлов. Рассмотрим произвольную конечную область 6 с границей Г в пространстве р измерений; х = (хь хь ..., х ) — точка с координатами хь хм, .., х„. Построим сетку в области 6 = 6 + Г. Для простоты изложение проведем для двумерной области (р = 2).
Конструктивно будем использовать следующее предположение о форме области юю: пересечение области 6 с любой прямой, проведенной через внутреннюю точку х ен 6 параллельно оси координат Ох„ (сю = 1, 2), состоит нз конечного числа интервалов, Пусть начало координат лежит внутри области 6. Построим два семейства эквндистантных прямых хю'>=ю',Й„1, =О, ~1, ~2, ..., х)юв=ю',Й,, ю',=О, +1, +2, ..., где Й, ) 0 и Йэ ) 0 — фиксированные числа. Плоскость (хь хю) разобьется этими прямыми на прямоугольники со сторонами Й, н Й,.
Вершины этих прямоугольников с координатами хю = ю,йь хз = ююйз назовем узлами, а множество всех узлов — решеткой на плоскости (хь х,). Узлы х, = (ююйь ю,йю), лежащие внутри области 6, назовем внутренними; множество всех внутренних узлов обозначим юэь = (хю ен 6). Точки пересечения прямых х(ЙО ю' Й„а 1, 2, с границей Г области 6 суть граничньюе по направлению х„ узлы. Множество всех граничных по направле- 232 Гл, ие плзностююыв схимы для эллиптнчвских углвнвнин н з! ч ь е»зностн»я з»д»ч» дигихлв для тв»внвния пт»ссон» взз нию х узлов обозначим у»,, Пусть у» = у»,1+ у»,г — множество всех граничных узлов, т.
е. узлов, граничных хотя бы по одному направлению х„. Множество всех внутренних и граничных узлов называется сеткой й» = а» + у» в области О (рис. 13). Проведем детальную классификацию внутренних узлов. Возьмем какой. либо внутренний узел хан е» и проведем через Рис. 13. него прямую, параллельную оси Ох . Ее пересечением с областью 6 будет интервал (или несколько интервалов), концы которого являются граничными по направлению Ох„узлами. Рассмотрим узлы на этом интервале.
Ближайший к концу интервала узел назовем приграничным по направленсао Ох, (по х ) узлом. Если его расстояние от границы у», „есть 6'„Фй„то такой узел является нерегулярным по х . Пусть в»,— множество всех приграничных по х„узлов, а в„',— множество тех приграничных узлов, которые являются нерегулярными по направлению х„. Очевидно, что м»*„~ м» „. Обозначим через а» множество всех приграничных узлов (т. е. приграничных хотя бы по одному направлению), а через ы'„* совокупность всех нерегулярных узлов (т.
е. нерегулярных хотя бы по одному направлению х, или хз). Пусть ⻠— дополнение а»' до а», т. е. а» = а"„+ а». Узлы, принадлежащие «т», будем называть строго внутренними узлами, Введем также обозначение в»,, для строго внутренних по х„ узлов (т. е.
для узла х е=а»,, сосед- ние по направлению Ох узлы являются внутренними), а34 Гл. ПА РАзностиые схемы для эллиптических уРАВнеиии [3 На рис. !3 значками С отмечены узлы еза, л,— нерегулярные только по х„узлы (а = 1, 2), дня — нерегулярные как по хн так и по хз узлы, сз — приграничные узлы, регулярные как по хь так и по хт. Будем предполагать, что сетка саа является связной, т. е, любые два внутренних узла можно соединить ломаной, звенья которой параллельны координатным осям, а вершинами яв.
ляются узлы сетки. Тогда по крайней мере один из четырех узлов хы'">, а = 1, 2 пятиточечного шаблона (хьеп!, х, хиы !) (регулярного или нерегулярного) является внутренним. Требование связности сетки накладывает ограничения как на выбор 6, и йм так и на форму области и на ее расположение относительно сетки сса при заданных 6~ и лз, Примеры несвязной и связной сеточных областей показаны на рис.
14, а) и 14, б), соответственно. Если имеется область Рис. !4, а) Несвязная сетка. б) Связная сетка. с узкой перемычкой, то требование связности области может быть выполнено при достаточно малом шаге 6„(или при сгущении сетки в атой части области), На рис. !4, б) показан тот случай, когда связность сетки достигается не путем ее сгущения, а при соответствующем выборе шага й, Мы провели детальное описание сетки для области на плоскости.
Все проведенные выше построения легко переносятся на случай )т-мерной области. Сетка образуется в результате пересечения гиперплоскостей (плоскостей при р = 3, прямых при р = 2) х(а)=),й, 1„0, +.1, ..., а=1, 2,, Р, а где й„) О. Указанная выше классификация узлов остается без изменений. Аппраксимируем в каждом внутреннем узле хан ыл диффед'и ренциальный оператор 1.,и = —, трехточечным разностным дк. оператором Л„. Если узел х ен ыл — регулярен по х„, то разностный оператор Л, записывается на регулярном шаблоне (х( 'а), х, х(т'а)): у(е а) а .Р„( а) Л д=р а хка йз а (22) Если;ке узел х~ ыл*, т, е, нерегулярен по х„то Л, записывается на нерегулярном шаблоне; /у(~ а) у ( ~а) й Лап = 1 ) при х( а) е: ул, а, (23а) Аа А', где Л,— расстояние между узлами х и х( ); па=0,5(йа+6,), илн Ома) ~а Л"д = — " „" — " " при х(е ") ~ ул, „, (23б) Аа где й — расстояние между узлами х и х(+'а), ба= 0,5(йа+ Ь,).
Возможен случай, когда х( 'а) ~ ул,, и х(+ ) ен у„, „' тогда ) (Еа) „( а) д„(, А'„ Аа- (23в) где й„аФЬа — расстояние между х и х(~'а), да=0,5(й,е+ 6 -). На рис. !5 указаны типичные ситуации, соответствующие случаям (23а) — (23в). д'а Аппроксимируя т.,и= —; разностным оператором по одной дк„ нз формул (22) — (23в), получим вместо (!) разностное урав- Р нение Ли + ~р(х) = 0 для всех х ~ сал, где Л = ~а Ла. На сеточа=~ ной границе ул будем задаватьточное значение у! =р(х). тл В результате приходим к следующей разностноц задаче Дирохле найти сеточную функцию у(х), определенную для х ен е=- йл = вл + уы удовлетворяющую во внутренних узлах уравнению Ау+~а(х) = 0 в регулярных узлах, (24) А*у+ ~р(х) = 0 в нерегулярных узлах (25) 3) а ! Рлзностнля злдлчА диРихле для уРАвнения пулссонА язв гаа ГЛ.
!Ч. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЗЛЛЙПТИЧЕСКИХ УРАВПЕНИИ и и принимаюшую в граничных узлах хан уь заданные значения у )г(х), хан ул. (2Е) Укажем другие постановки разностной задачи Днрихле. Они отличаются от (24) — (26) уравнением для у в нерегулярных узлах. а) Рис. 15 а) Лу 1 ) У~ — Уа Уа — Уа) Л,~ л, А',)' Л,у-у„„а Л"-Л",+Л,. л,у-уе„, л'-л',+л,. в) лу * ~ (Уа Уа Уа — У|) )гг ~ "г "г л*-л",+л",.
1) П ро стой снос. Разностное уравнение (24) пишется только в регулярных узлах х ен вю а на в„" задается значение, равное аначению и~ = р(х) в олижайпаей точке, например, У(Х)=)а(Х( 'а)) ПРИ ХЕЕ ВА", (27) Это соответствует условиям у О прн х~вв и у=и при х в енуь „.
с-1 ) 2) Линейная интерполяция по двум точкам. В регулярных узлах пишется по-прежнему схема (24). В нерегулярном узле хыв"„', значение у определяется путем лиНЕйНОй ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО тОЧКаМ Х( ' ) ЕН УА,, И Х(+'в) Е=- В„. Этс означает, что в узлах х ен в'„', пишется уравнение Л„"у = О, 41 з 1, РАзностнлв з»дАчл ДиРихле Дли УРАвнеиии пУлссонА ззт а в граничных узлах х~у» задается условие у = р. (Здесь а одно из значений 44 = 1, 2,..., р.) 3) Интерполяция по 2р (по четырем в случае р = 2) узлам.
В нерегулярном узле кы 4»»' пишется фактически однородное уравнение Л*у=о (на нерегулярном шаблоне). Условие Л*у = — 4Р при х ~ 4»„*, как будет следовать из полученных нцже оценок погрешности схемы, является наиболее точным. По аналогии с п. 2 напишем условия для погрешности схемы; здесь у(1) — решение разностной задачи (24) — (26), и = и(х)— решение исходной задачи (1). После подстановки у = г+ и в (24) — (26) получим Лг = — ф в регулярных узлах, Л'а= — 4р' в нерегулярных узлах, а=О на у», (28) где ф — погрешность аппроксимации, равная (при 4р(х) = /(х)) ф = Ли+ с» = Ли — /.и в регулярных узлах, ф* = Л*и — /.и в нерегулярных узлах. (29) пусть и ы с44>(с), где си> — класс функций и(х), имеющих четыре непрерывных в Г производных по х1,..., х„. Тогда, в соответствии с (2!), в регулярных узлах имеем; 1ф1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
