Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(54) о<!'< ! г-о Так как (1, ! р !]+ (1, ! р, ! ] = й (! ра !+! р ы !+! Р!, л !+! Рс, ч+! !)+ + 0(Л'+т), ф"'=0(т'+Ь'), то (1, ! р !]+(1, ! р! !]+!!ф**!!с= 0(т+Ь) схема с весами имеет вид р(х, г)у! — -(а(»,1)(оу+(1 — о)у)х) -с((»,1)(оу+(1-о)у)+!р(х, У), для любой схемы (7) н (1, ! и ]]+(1, ! р! ]1+!!ф"!!с — — 0(т+Ь') для наилучшей схемы. Тем самым доказано, что в классе разрывных функций й и 7 любая схема (7) при о =! равномерно сходится со скоростью 0(т+ Ь), а наилучшая схема (7) с о =! равномерно сходится со скоростью 0(т + !!т).
Для дифференциального уравнения с(», !),~~ = ~„(А (», !) ~„) — !7(», г) и+ 7(х, г), !7» )О, с>0 н Э 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 201 где коэффициенты р и и' вычисляются по тем же формулам, что и <р: р,=г"[с(х,+УЬ, !)), 51,=г"[у(х,+УЬ, !)), 0,5 о Если У[[(з)) = ~[(з)5(з, А[Й(з)) = ~ —, то мы полу- -0,5 — 1 чаем наилучшую схему с коэффициентами а, 51, р, р, где ол -ол и т.д. Эта схема сходится при О>~ О. в сеточной норме ьо(ыо) со скоростью 0(Ь +т )в классе разрывных функций Ь, д, [, с, имеющих конечное число неподвижных разрывов. В случае и = ! наилучшая схема сходится со скоростью 0(т+ Ь') равномерно (в С) при любых т, Ь в классе разрывных коэффициентов.
Отметим, что при выводе априорных оценок требуется дифференцируемость Ь и д по й 6. Однородные схемы на неравномерных сетках. На практике часто применяются неравномерные по х и ! сетки. Неравномерность сетки по ! для двухслойной схемы ие вносит никаких изменений в написанные выше формулы и оценки.
Следует лишь иметь в виду, что шаг т = т; зависит от номера слоя 1. Порядок аппроксимации по времени йри этом не меняется. Случай, когда сетка неравномерна по х, требует специального исследования, которое проводится по аналогии с ч 1. ПУсть гоо = (хь 1= О, 1, ..., М, хо = О, хн = Ц вЂ” сетка на отрезке О (х (1 с шагами Ь; = х5 — х, ь ! = 1, 2, ..., Ф.
Оператор ь, согласно 3 1, аппроксимируется разностным оператором Ау=[пух), а=а(х, г), где а вычисляется по формуле (см. 3 1, п. 13) а(хь 1) = А [Ь(х, +Уй, !)], правая часть, например, по формулам (общую формулу для ~р см. в $1, п. 13): хо э~в 1 Г Ч +до~,)+ ч55=ч55= в [ Г(х~ г)бхай % яь э о х5 У [, -)[х,— О, !), [," )[х,+О, Г).
ГЛ. !П. ОДПОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ Приведем простейшие формулы для а;: а, = 0 5 (й,: + й,+,), а, = 0 5 (й! У2 + А! У2) н др. Рассмотрим схему с весами Ус=Л(1)(оу+(1 — п)у)+1р, х~й„, 0(1=]тСТ, 1 У(х, 0)=уо(х), х~йе, У(0, 1)=и1(1), У(1, 1)=из(1), ~ (55) Л (1) у = (а (х, 1) у,)„, 0 < с, < а ( с2 Приведем схему к счетному виду. Известно значение у! на слое 1= 1п требуется определить у!т! на новом слое 1= тее! из условий А;у;, — С,у1-~-В!1)!э! = — г"1, 1=1, 2, ..., Л! — 1, У„= и, (11,), уи и2 (11-1-!) г1= Л(1)(ог+(1 — о) г)+ф(х, Г), х сн й„, 0(Г =)Х АТ, г(х, 0)=0, хе= й„, г(0, 1) =г(1, 1) =О, 1~ й„ (56) где 2Р(х, 1) = Л(1)(ой+(1 — о) и)+ф — и, (57) погрешность аппроксимации задачи (1) — (3) схемой (55). Воспользуемся уравнением баланса (6) на отрезке х! 1! = х; — 0,561, х1„Ч, = х, + 0,551~ Х! 1, Х(Х!1.У„ГДЕ Эта задача решается методом прогонки.
Пусть у,' — решение этой задачи, и(х,() — решение исходной задачи (1) — (3), г1= у! — и! — погрешность схемы (55). Подставляя в (55) у = г + и, получаем для г задачу Б1 $ а схемы для пАРАБОлическОГО уРАВнения 203 Разделим обе части тождества (6) на Ь! = 0,5(Ь! + Й»чы) и вы- чтем полученное тождество из (57). Тогда получим Ф=пх+Ф', ди 21, = а! ( х З х) — (Л д ) +(о — 0,5) а»их», », (59) дх х!». »а (58) х! Ч х! (60) Предположим, что в точке х = х! функции й и ) имеют разрывы первого рода, а в интервалах (х... х;) и (хр хье!) диф ференцируемы достаточное число раз.
При х = х, выполняются условия сопряжения [и) — О, г[е — ~ — 0 при х — хг Согласно 3 1, п. 13 имеем р;= ",„,'"" + —,(й~(['),)„,+0[3~), х»е ~а г, ~ д!' Г(х=~,п ~ + в 1,!»»(дГд ) ) +О»»»!), (62) «! где 1! =7[х! — О, 1), !»+=)(х,.+О, 1). Мы учли, что — непре- рывна на линии разрыва е(х, 1), параллельной оси 01, Подставляя (61) и (62) в (58) — (60), получим »р = р +»р* р = 21 + 21* ;=-[( ), [ —:,;.),1 21, дается формулой (59), ь»Г! +л, !)Г+ /да »У! =ч'! — Ев +~ —,— »»!) +0(4 ! (63) (65) Определяя»р! по формуле (84) из $ 1, п.
13 мы получим для »р, разложение (87), 3 1, п. !3: Гл. и1. ОдноРодные РАзностные схемы где а — постоянная, зависяшая от выбора шаблонного функционала г" [! (Е)!. Возьмем простейшую формулу для 1р1: «1!1 + «1+111 2«1 (66) Тогда для ф1* получим Оценку ф",7 = ® — и,) + 0 («з) = 0 (И+ т ), с'я лзя если вне разрыва и(х, 1) имеет производные —,, —, Перейдем к вьиснению точности схемы. Для этого нам пона- добятся априорные Оценки (27), (28), (ЗЗ), (34) решения за- дачи (56).
Рассмотрим пространство 11 = Н сеточных функций, задан- ных на сетке йь и равных нулю на границе (при х = О, х = 1). Введем в Н скалярные произведения «1-1 У-1 я (У, о). = Х У1о1«1, (У, о) = Х У1оА, (Уь о! = Х У1оА 1.=1 1=1 (67) и норму т. е, А — положительно определенный оператор.
Так как [а,! ( .4с,а, то Л = А(1) удовлетворяет условию Липшнца по ! (32) с постоянной сз. Для нормы !!А[! оператора А имеем оценку [[А[[~~4с/«~1„, й 1„= ппп «1 (70) 1~!~с В самом деле !! А [! = Епр у' ~, (Лу, у) = (а, уЯ ( се(1, уЯ ( <~ — !1 у[[1, т. е. [! А !! ~(4сэ/Ьт1п. «а 1я Для разностиой задачи (56) с правой частью (63) справедлива оценка [[е~+ [[с(=( 1пах (1$а 11+!!И,[!)+ шах ![ф"~ И (71) Г'Е О<К<! О<1! !!у![= 'г'(у у). Рассмотрим оператор Ау = — Лу при уен Н. Из ~ождества (Ау, о)=( — Лу, о).=(ауго о,~=(у, Ао) (68) следует, что А — самосопряженный оператор. Первая фомула Грина и замечание к лемме 1 из гл. 1, 9 2, п. 3 дают (Лу, у)=( — (ау,)„, у) =(а,у'„=1)с,(1, уД'э2с,![у[!', (69) о! 4 в схемы для пАРАБОлическОГО уРАВнения при условии ап (! о) о)о„о, = —— (72) Положим г = о+ Ге, где и — удовлетворяет (56) с правой частью ф = рм а Гв — решение задачи (56) с ф = ф".' Для оценки и воспользуемся (33) или (33'), для оценки и! — неравенством (34').
Отсюда и'нз неравенства ~!г !!с ~ 1!о1!с + 1и!!!с получаем оценку (71). Предположим, что коэффициенты Ь(х,() и )(х,() гладкие и выполнены условия, при которых р,=О(Ь~+ Г о), р,,=О(Ьо+т о), !р**=0(Ь,+те). (73) Теорема 3. Пусть выполнены условия 1 — П1. Тогда при о)~ о, схема (55), (56) в классе разрывных коэсргрициентов Ь, (' на специальньсх последовательностях сеток йо (К) равнолГерно сходится со скоростью 0 (т о+ Ь~~), где Ьо= !пах Ь!.
!~!кн Для доказательства теоремы достаточно использовать (71) и (75). 3 а м е ч а н и е 1. Сходимость со скоростью 0 (т '+ Ьо) в сеточной норме Ео(йо) имеет место при более слабом условии П1; и! - О (Ь', + т"'о), ф! 0 (Г!', + то). (76) Тогда схема (55) на любой последовательности неравномер- ных сеток равномерно сходится со скоростью 0(т + Ьо), Ьо= Гпах Ьп при о~~ о,. Это следует из (71) и (73). ! к !кн Рассмотрим вопрос о сходимости схемы (55) в классе раз- рывных коэффициентов. В дальнейшем будем предполагать, что 1. Функции Ь(х,() и 1(х,() могут иметь конечное число раз- рывов первого рода на прямых, параллельных оси координат ОЕ П. Сетка йь(К) выбрана так, что все линии разрыва функ- ций Ь(х,1) и )(х, !) проходят через узлы этой сетки.
П1. В областях между линиями разрыва функции Ь(х, !), 1(х, !) и и(х, !) достаточное число раз дифференцируемы, так что во всех узлах сетки й„(К) имеют место формулы (63) — (65) и справедливы оценки 1с!=0(Ь,+т '), и! !=0(Ь,+т ') (74) 11, оФ05, $'." = 0 (во+ тт) и! = (75) гл. нп одногодные гкзпостные схемы аоа Это следует из априорной оценки (29): ]]г'~ ]~( — !пах (1!кг]]+(1, ~фм ]]) при о)о,. (77) 'г' е о < г < г 3 а меча нне 2. Для схемы с опережением (о = 1) равномерную сходимость со скоростью 0 (т+Ьо) можно доказать, по аналогии с п.
5, при помощи принципа максимума и метода стационарных неоднородностей. Верны оценки (39) и (30'), из которых, в силу (75), следует, что ]]а ]]с = 0 (к+ Ьо). 7, Монотонные схемы для параболических уравнений общего вида. Рассмотрим для параболического уравнения общего вида следующую задачу в Вт = (О (х (1, 0 41 < Т): с(х, 1) —, =Еи+1(х, 1), и(0, 1)=и,(1), и(1, 1)=аз(1), и(х, 0)=ио(х), йи = — (Ф(х, 1) — ~+ г(х, 1) — — у(х, 1)и, д ди ~ ди дк ( ' дк) ' дк 0(с, Ь(х, 1)~(се, с(х, 1))с,)0, д)0, (78) В 9 1, п.
15 были получены монотонные схемы второго порядка точности для стационарного уравнения Еи + 1 = О, разрешимые при любых Ь н г(х). Чтобы получить для (78) монотонную схему, для которой справедлив принцип максимума при любых Ь и т, рассмотрим уравнение с возмущенным оператором Е: ди д Г де~ ди с(х, 1) — =1.и+ [, 1.и=и — [lг — ) + г — — ди, дг ' дк [ дк) дк ' (79) к=(1+1т) ', Я=056]г]1Ь. Оператор Х при фиксированном 1 = 1 = 1пра аппраксимируем разностпым оператором (см. 9 1, п. 15) Лу = к (ауа) + Ь за' пу„+ Ь ау, — с(у, где а = А [lг (х + зй, 1)], с1 = г" [д(х + з6, 1)], Ь* = г" (7= (х + зй, 1)], г- = г-7И, г+ = 0,5 (г + ] г ~) ) О, г = 0,5 (г — ] г !) ~ О, Здесь А и г" те же шаблонные функционалы, что и в Ч 1; они обеспечивают второй порядок аппроксимации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
