Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Просуммируем это неравенство по / = 1, 2, ..., и; !1уии1!!Ао «!! Ую !Рл+2(фл~ Уи+~) 2(Чо Ую)+ +2е л~~и~т~!у!!!Ао+ 2е ХХ~~Ч~г г!( -и (40, ! ! / 1 При 1=0 член 2т(ф, у,) в (13) преобразуется иначе. Так как у(0) = О, то 2т (ф, у,) = 2 (фо у~) и энергетическое тождество (!3) дает !! У1 !!л « 2 (Ч о, У,), (4! ) так, что !!у, !!л «2 ~!фо~!А-ь Складывая (40) и (41), получаем и л ! ЪХ 1! У + !!л «2е ~~т!! У! !(л+ 2(ф У н)+ о ~~т~~фь г3ло- . / ! ! При помощи леммы ! из гл. у', з 1, оценим 2(фи Ул+~)«ео!!Ул+~ !!о + — )!фи )!' и ео)0 и положим ео = 0,5. Тогда и л !!Ул,,!)'„«4е ~ т!!УГ!)'„+4)!ф„!Р, + — ~~~т()ф, )!оии (42) г ! Теперь нам нужна лемма 5 из п.
8. Применяя ее к (42) и выбирая е (например, е =!), получаем !1дл, !1„«И, Гнах (!! Р(У) !1„, +~ Р,(Р) ()„,), где М, зависит только от 1о. Для оценки решения задачи (1) надо учесть (15). Тем самым доказана Теорема 7. Если выполнено условие (14) и А — положительно определенный оператор, го схема (1) из исходного 3!4 гл. ус. теОРия устоичиаости РАзиостиых схем пе семейства схем устойчива по правой части и для решения задачи (1) при 1> 0 верна априорная оценка Иу(1+т)ИА~(Иу,Ил+с)(с псах (Иср(г)И, +~фс(1)~„с), ~ (43) Иу(т) И «=Ну(0)ИА +2И р(0)И При каких условиях имеет место устойчивость з норме ИфИсе! = Иф111 Ответ на этот вопрос дает Т е о р е и а 8.
Пусть выполнено условие В эеЕ+ 0,5ТА, (44) где е — любое положительное число и схема (1) принадлежит исходному семейству схем. Тогда для задачи (1) верна априорная оценка Иу(1+т)4-=Иуе11л+ Йсс ~' шах Иср(у)И. (45) Д о к а з а т ел ь с т в о. Обратимся к тождеству (13). Неравенство Коши — Буняковского и е-неравенство дают: 2т (сР, У ) ч.. 2т И сР И И Ус И ( 2 те И У, Ис + — И сР Ис. Подставим эту оценку в (13) и спользуем условие (44): Иф1Р ~~У)РА+ — Иф(~ -н ИУс+с1РА~~ИУ!1РА+ —,Иф!1Р Суммируя затем по 1 = О, 1, ..., и и учитывая, что у(0) = О, получаем )11л 2е Х с-о Отсюда и из (15) следует (45).
Теорема 8 доказана. 3 а м е ч а н и е. Теоремы 7 и 8 сохраняют силу и в случае переменного оператора В = В(1), а теорема 4 справедлива для переменного оператора А = А (1). Это видно из доказательств указанных теорем. 1О. Устойчивость схемы с весами. Покажем, как надо пользоваться доказанными выше теоремами иа примере схемы с весами: у, + А(ау+ (1 — а) у) ф, у(0) ую. (46) В гл. тс,% 2, п. 3 схема (46) была приведена к каноническому виду (Е+ атА) ус+ Ау = ср у (0) = уь. (47) м! о !.
классы хстончнвых двтхслопных схвм 3!б Сравнивая (46) с (1), видим, что В = Е + атА. Пусть существует оператор А-'. Действуя А — ' на (47), получим вторую каноническую форму для схемы с весами: Ву,+ Ау=ф, у(0)=у„В=А '+атЕ, А=Е,' !р=А '!р. (48) Записью в виде (47) будем пользоваться в случае само- сопряженного оператора А, (48) — в случае несамосопряженного положительно определенного оператора А = А(().
Пусть А = А' ) О. Покажем, что В)~ 0,5тА, если ! ! а)ао ао = 2 т(А1( ' (49) В самом деле, так как 0 <(Ах, х) < ЦАПЦх(!о или 0 < А» !!А!1Е, то  — 0,5тА = Е + (а — 0,5) тА ) — „„А + (а — 0,5) тА ! ! = ( — + (а — 0,5) т) А = т (о' — а,) А ) О. Таким образом, при а)ао схема (46) устойчива в Н„по начальным данным. В частности, для явной схемы (при а = О) из условия а)~ оо следует т 4'.2ЦА~~, т.
е. явная схема устойчива в Н~ при т<2ДА~1 В силу теоремы 2 это условие не только достаточно, но и необходимо для устойчивости с постоянной М! = 1, если А — положительно определенный оператор. П р и м е р 1. Рассмотрим схему с весами для одномерного уравнения теплопроводности ди дои — =Еи Еи= — 0<х<1 д! ' дко' с краевыми условиями первого рода. В этом случае Ау = — Лу, Лу= у „.
Оператор А = А*) 0 (см, гл. Ч, и 1, п. 1), его норма ~!А!!< 4/ло. Условие (49) принимает вид ! ао о о ао о; = — —— 2 От и совпадает с условием, полученным в гл. П методом разделения переменных. Явная схема (а = 0) устойчива при т <О,бйо. Если Еи — (й(х) — ),0<й:..с, Лу (а(х)у„), 0<а.-с„ то ! Ь' ао =— 2 4оот и ао < 0 при т < О,бй /сз. згв ГЛ.
У». ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТИЬСХ СХЕМ !!о Т е о р е м а 9. Пусть А = А* — постоянньсй положительно определенный оператор. Тогда для схемы (46) при условии (49) верна априорная оценка (43). Если А = А' ) 0 и ! ! — е а>ао, а,= — — „, 0<а(1, где о — постоянная, не зависящая от»с и т, то для схемьс (46) верна оценка (45). Первое утверждение следует из теоремы 7 для схемы (47), так как В >0,5ТЛ при а> ао, второе утверждение — из теоремы 8, так как неравенство (44) выполняется при а)~ а,. В самом деяе,  — ЕŠ— 0,5ТА =(1 — а)Е+(а — 0,5)ТЛ)~ ) ((1 — а)й! Л 11+ (а — 0,5) т) А = т (а — а,) А ) О.
Т е о р е м а 10. Пусть А (!) = А' (!) — положительно определенньш" оператор и выполнено условие (49). Тогда для схемы (46) верна оценка 1!у(1+т)11(~11уо11+Мо !пах (11(А 'ф)1с, 11+(1(А 'ф),1 ~(~. (51) Если же выполнено условие (50), го ,с с »»и 11у(!+т)11(11уо11+ р — ~ Х т11ф(у)11ло-~(с) 1 ' (51а) с-о Доказательство, а) Возьмем схему с весами в форме (48) и напишел! для нее априорную оценку (43), учитывая при этом, что Т = Š— постоянный оператор: 11 ус+'11 ~(11уо11 +Мс шах ~11фс'11»+11фг11 Подставляя сюда»р = А-'ср, Л = А-с = Е, получаем (5!). б) Получим неравенство (51а). По аналогии с (13) напишем для (48) энергетическое тождество (учитывая, что Л = Е) 2т((А '+(а — 0,5)тЕ)у» Ус)+11У11»=!1У11»+2т(А ср, у,).
(52) Обобщенное неравенство Коши — Буняковского и е-неравенство дают: 2т(А 'ф ус)а-2т11ф11„,11у 11,(~2те11у»1(сл-»+ 2, 11»р11'„,. (53) Из условия (50) следует, что  — 0,5тА Ъ ЕА (54) Ф !. клоссы тстончивых двтхслонных схем !о! з!т В самом деле,  — 0,5тА = А '+(а — 0,5)тЕ= вА '+(1 — в) А '+(а — 0,5) тЕ ) ) еЕ+ — Е+(а — 0,5)тЕ=еА +(а — а,) гЕ)вА при а)~ а,. Прн этом мы учли оценку А ') — Е !!.4!! (она следует из неравенства !!Ах!!о (!!А!!(Ах,х) (см, гл. 1, ~ 3), если положить Ах = у, х = А — 'у). Если учесть (54), то из (52) получим 2тв!!ус!!о- +!!ф!!-- (!у!г+2т(А 'р у!).
Подставляя сюда (53), будем иметь !! у У ~!! у !г+ —,!! ор !Р или !!уры !(! Юу! !)о+ — !!(р!!!', Суммирование по /=О, 1, ..., и приводит к оценке (51) с ! =пт. Рассмотрим теперь случай, когда А = А(!) — положительно определенный несамосопряженный оператор. Покажем, что для схемы (48) В) 0,5тА при а)0,5, ! ! В) 0,5тА при а) ао йо= — — —, (55) если выполнено условие !! Ах!г~(о(Ах, х), где о = сопэ1) О. Заметим, что для самосопряженного оператора А Л = !! А !!. Итак, пусть а)~ 0,5. Тогда  — 0,5тА = А '+(а — 0,5).Е) А ')О.
(56) Доказательство. 1) Положим Ах = у. Тогда (56) дает !!у!)о <о(А 'у, у), т. е. А ') — Е. Для доказательства неравенства (55) потребуется Л е м м а 8. Пусть А — пололсительно определенный оператор, для которого выполнено (56). Тогда А ') — Е и А-=ХЕ. 3!8 ГЛ, НЬ ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ссь 2) Из неравенств (Ах,х)(1)АХ)11)х)1 и (56) следует, что (Ах, х)()сбс(Ах, х)1)хН, (Ах, х)(б!1х1(с, т. е.
А..ЬЕ. Л е м м а 9. Пусть А — положительно определенный оператор и выполнено (56). Тогда $(Е+отА) '(Š— (1 — о)ТА)!!~ 1 при о>ды оь= — — —,, (57) '1(Е+отА) 'П~ 1 при о>0, (58) !1(Е+ отА) ~~( — при о >о, = — — —, О (е (1. (59) Доказательство. 1) Так как В>Обтяг при о>де, то, применяя к схеме (48) теорему 1, получим, что для решения задачи (48) при любых у ~ Н и ср = 0 справедлива оценка 11у.+ 11(1(у.(1 (60) Заметим теперь, что схему (48) при !р = 0 можно записать в виде у„+, = Ву„, В =Š— ТВ 'А=(Е+отА) '(Š— (1 — о) ТА).
Отсюда и из (60) получаем оценку (57). 2) Для оценки !1 — с(1, где В = Е+ отА, достаточно получить неравенство вида В > бЕ, б > О. Тогда Ц х 1!с « (Вх, х) ~!1 Вх (Ц1 х 11, 11 Вх 11 > Ц х 11, и, следовательно, 11 — !11 ь,'1/б. Если о)~0, то В >Е и 1)В-с(1(1. Если о)~ о„то В >Е+ д,тА = Е + 0,5ТА — — А.
Так как, согласно лемме 8, А <ЛЕ, то В )~ Е + 0,5ТА — (1 — е) Е > еЕ + 0,5ТА > еЕ, и, следовательно, 11В-с!1 4!се. Отметим, что оценка (58) верна для любого несамосопряженного оператора А > О. Лемма доказана. Из (60) и леммы 9 следует Т со ре м а 11. Пусть А = А (1) — положительно определенный оператор и выполнено условие (56). Тогда для схемы (46) при о г о, верна априорная оценка с 11у(1+.) 11<1!у(О) 11+-,' 7', 11 р(Е) 11. с -ь со1 $ ! клАссы устоичивых двухслоиных схем Зся Если одновременно выполненьс два условия ! ! а)0, о)ом а,= — — — „, то оценка (61) вьсполняется при е = 1.
Для доказательства запишем схему (46) в виде Ул+с = оул+тВ Ф * где В = (Е + отА)-'(Š— (1 — о)тА), В = Е + отА. Используя неравенство треугольника и оценки (57) †(59), получаем ((у „!(-=!!у,!!+ —,(!Ф.(!, откуда и следует (61). 3 а м е ч а н и е. Мы всюду предполагали, что оператор А положительно определен или, по меньшей мере, положителен. Однако можно получить некоторые априорные оценки для схемы (!) при условии, что А — полуограниченный оператор: А) — С,Е, с. = сопз1) О. Введем оператор А'= А+ с'Е, с' = сопз1 >с„.
Он положительно определен: А' ЬЕ, б = с' — с. ) О. Перепишем схему (1) в виде Вус+ А'у = ср+ с'у = Ф, у (0) = уо Пусть выполнены условия теоремы 8, так что В ) ЕЕ + 0,5тА'. Тогда верна априорная оценка л !(Ул !!'; <(!у (!'„-.+ — „~ (!Ф. !г, л' где Ф = с*у + ср и !!Ф!!с~»2(е) !!У!(с+2!!Ф!(Е(» а (!У!(,'с,+2!!Ф!!'. Подставляя зто неравенство в предыдущую оценку, получим л л !' Чл+с !Рл~»,д ~~~~ т!! Ул' !1л + —,~~ т!! Фл'!(з+ (! Уз !!л. зео ГЛ, НЬ ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1н ИЛИ Ъа (а")а Ыи+11~СО 7а Ч'и'+/э СО= а /и)0, Уи~)0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
