Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 51
Текст из файла (страница 51)
о1 з ь классы гсгоичивых двгхслонных схем 307 В самом деле, запишем схему (1) в виде уь-ы = ул — тВ Ауо+ тВ фл (24) Если А = А') О, то существует корень Ач*=(А~*) ) О из оператора А. Действуя на уравнение (24) оператором Ач и полагая А~у„=х„, У„=А 'х„, получаем схему (2!) с условиями (22).
Аналогично, в случае В = В' > О действуем на (24) оператором Вч и вводим обозначения (23). Если операторы А и В перестановочны, то В 'А=А'В 'А'*=С, при А= А >О, В 'А=В 'АВ в=С, при В=В >О. Таким образом, мы убедились, что в ряде случаев неявная схема (1) сводится к явной схеме. Из (22) видно, что |!х„!!= =!!у,!!л, а из (23) следует !(х„!!=!!у„!!в.
Поэтому исследование устойчивости в На илн Но неявной схемы сводится к исследованию устойчивости явной схемы в Н. При изучении устойчивости по начальным данным рассматриваем задачу: х„ы = 5х„, гг = О, 1... „5 = Š— тС. (23) Отс1ода непосредственно следует х„= 5"хо, )! х„|! = !! 5" !!!! хо !!. Это неравенство соответствует оценке (!У.!!о < !!5"!!!!Уо!!о, где х„= Р'ьу„, Р— один нз операторов А, В или Е.
Вопрос ставится так: какими свойствами должен обладать оператор С, чтобы выполнялось условие !! 5" !!(р" при любых и = 1, 2, ... (условие р.устойчивости схемы (1а))? Рассмотрим здесь случай самосопряженного оператора С. Случай С Чь С' при р = 1 был рассмотрен в п. 4. Будем пользоваться следующим определением нормы оператора 5 = 5'. !! 5 !! - зпр ! (5х, х) ! = зцр ! ((Š— тС) х, х) ), С = С. (26) !ыо-1 оом 1 В силу леммы 3 из гл. 1, в 3 !!5"!!=!!5(!" и из условия !!5" !!(р" следует (!5 !((р. Определение (26) дает.' — !! 5 !! Е «тС вЂ” Е «='(! 5 !! Е и, следовательно, — рЕ(тС вЂ” Е (рЕ (так как !!5!!(р), или т (27) 308 ГЛ.
НЬ ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ РХЗНОСТНЫХ СХЕМ (в Лемма 3. Если С = С', т) О, то условия (27) и !!5|!<р (28) эквивалентны. Мы убедились в том, что из (28) следует (27). Обратный ход рассуждений очевиден. Обратимся к неявной схеме ()а). Лемма 4. Если А=А", В=В*)0, т)0, р)0, то условия (27) и (29) равносильнь1 при С = Сз = В-'ьАВ-'ь. Если асе, кроме того, А— полоясительно определенный оператор, то (27) и (29) равносильны при С = С, = А ьВ 'А'.
Доказательство. Первое утверждение леммы следует из тождеств (С,х, х) =(В ьАВ 'х, х) =(Лу, у), (Ех, х) = !! х !)1 = (В ьу, В ау) = (Ву, д), где д =- В-'1х. Для доказательства второго утверждения заметим, что если С вЂ” самосопряженный неотрицательный оператор и С-' существует, то неравенства С> аЕ и Е >~ аС вЂ” ' эквивалентны. Действительно, обозначив Смх = у, запишем неравенство (Сх, х) > а!)х!)з в виде )! д !!1 ) а ~1 С '*у ~~1 = а (С 'у, у), т.
е. Е)аС '. Таким образом, если С-' существует, то условия (27) эквивалентны следующим: РС '(Е( — "С '. т Положив здесь С = С, = А 'В 'А ', имеем Р (ВА ьх, А 'х)(!!х!(г( +Р (ВЛ 'х, А 'х). Обозначив А-ух = д, получим отсюда — Р(Вд, у) ((Ау, у) ( — Р(Ву, у), что и требовалось. Т е о р е м а 5. Пусть А и  — постоянные операторы и А = А*, В =В')О. с| » ! кл»ссь| устоичивых двухслойных схем Тогда условия ВА( В р — ес«т 1 — р 1+р 309 необходимы и достаточны для р-уетоссчивости в Нв схемы (!а): ! ! у «! ! в < р ! ! д О ! ! а если, кроме того, А — положительно определенный оператор, то и для р-устойчивости в Н„; !!д.!! ==р")!д,!!л.
Для доказательства теоремы достаточно свести схему (1а) к явной схеме (25) (случай С = С» или С = С!) и затем воспользоваться леммами 3 и 4. Отметим, что необходимые и достаточные условия устойчивости в данном случае совпадают. Энергетический метод не позволяет получить такой результат. Более того, энергетическим методом удается доказать устойчивость (25) или (1а) при р > 1 только при достаточно малом т <ть(сь). 7.
Метод разделения переменных. Пусть Н вЂ” конечномерное (скажем, ЛС-мерное) пространство. Если А и  — постоянные и самосопря|кенные операторы, А = А') О, В = В' > О, (30) то исследование устойчивости может быть проведено методом разделения переменных по аналогии с гл. П, 9 1. Пусть Л« — собственные значения, р» — собственные функции следующей задачи (см., например, Ф. Р. Гантмахер [1))! Ар»=Л»Вр», й=!, 2, ..., Лс, (31) причем (В»с«, )с«!) = бм«.
Рещение задачи (1а) будем искать в виде суммы у (1) = Х ~ (1) )» »=! Подставляя это выражение в (1а) и учитывая (31), получаем с»(с+ т) — с (с) + Л„е»(1) = О, е»(1+ т) =(1 — Л»т) с»(1). Замечая, что !!д1!!л — — ~2~ ес(1)Л, будем иметь »=! и !!у(1+ т) !!л = ~ с'-(1+т)Л (|пах(1 — Л т)» ~с с' (1)Л, «=! » »-! или !! у (1+ т) !!л ~ |пах ! 1 — тЛ» ! (! у (1) !!л. з!о ГЛ. Ч1. ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ РАЗНОСТИЫХ СХЕМ 1т Требование устойчивости с постоянной М, =1 будет выполнено, если гпах ! 1 — ЛАТ ! ( ! или 0 ( ЛА ~~ 2(т, й = 1, 2, ..., Л'. (32) Условия (32) эквивалентны энергетическому неравенству 0 ( А = 2В/т или (Ву, у) ) О,бт(Ау, р) для всех уев Н. В самом деле, Ву — 0,5ХАу= ~ сА(!)(Врь — 0,5ТАр„) = ~ сА(Ю)(1 — 0,5ТЛА)Вры А-1 А-1 (Ву, у) — 0,5т (Ау, у) = ~ с'-„(!) (1 — 0,5тЛА) ) О.
А-1 Отсюда и следует эквивалентность неравенства В ~~ 0,5ТА условиям (32). Таким образом, мы показали, что при условиях (30) неравенство В- 0,5тА (33) достаточно для устойчивости в НА схемы (1а): ~~ р(Щ, ~~! р(он~„. Следует подчеркнуть, что требование самосопряжениости оператора В является здесь обязательным, в то время как для применения энергетического метода достаточно лишь положительности оператора В. Аналогично доказывается устойчивость схемы (1а) в Нв, если выполнены условия (30), (33). Нетрудно показать, что условия обеспечивают р-устойчивость схемы (!а): ~(у(1„) ~1~(р" ~1у(0) 11~, В А ил 0 = В.
Для этого достаточно потребовать — р < ЛАТ вЂ” 1 < р Прежде чем применять метод разделения переменных, можно свести схему (!а) к явной схеме х„е1 = Ях„, Я = Š— ТС, С = С, или С = Св Тогда получим обычную задачу на собственные значения Саь=ЛАеы 1=1, 2... „Л', (ет„, е1 ) =б „, О !. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 8! зс! 8. Некоторые вспомогательные неравенства. Пусть ду - д(1у) и )у = 1(1у) — сеточные функции, заданные при 1у = ут, =0,1,...,ло. Лемма 5. Пусть уу)~0,1=1, 2, ... и 11>0,1=0, 1, ...
неотРиЦательные 4уУнкЦии. Если уу — неУбываюсЦаЯ фУнкЦин (ууо! )~!у), то из неравенства у кУ+! »(со~и~ тио+уУ 1= 1 2 ° ° ° У! »(18 со=сопз1>0 (34) о-! следует оценка ду+ ! ( е ' 111. (35) Доказательство. Пусть фу, 1'-1, 2, ..., — решение системы уравнений фу+! со Х 'с'Ро+!у 1~ 1 ф! =18 о-! (36) НетРУдно заметить, что ду(фу длЯ всех 1>0. В самом деле, У! » (ф! Уо » (со'Ч! +1! » «сотф! +1! = фо н т Д Отсюда находим фу+! = Ч фу-!+ Чфу-! + фу = Ч ф! + Ч 'ф! + ° ° ° + Чфу-! + фу Так как Ч ) 1 и фу ) О, а сР, =Уо, то сРу+, ( ЧУ (сР + ф +... +фу) = =ЧУ(ф, + ~у — Уо) = Чту и, следовательно, Чу+, (!Ру+, (ЧУУ'у ( ( сои Ууу Лемма доказана.
Замечание. Лемма 5 верна, если вместо (34) дано не- равенстводу+ !»((1 + сот) ду+ с!ру, 1 > 0~ д! = )о! тфу = ~у — ~у-! ) Оз (37) у таи Что уоу = ~Л~~ ~тфо ° А-О Лемма 6. Если ду О, уу) О, 1) О, то из (34) следует у-! ау+! ( уу+ сое о'у ~,суо (38) о-о Из (34) и (36) видно, что из неравенств уо(фь при Ус(1 следует ду+,(сру+О Заменим в (36) 1 на 1 — 1 и вычтем из (36) полУченное УРавнение. Тогда длЯ сРу полУчим Разностное УРавнение сру+,- усру+ фу, фу =у'у — у'у !) О, Ч=!+сот»(е"-', с,>0.
3!2 ГЛ. У!. ТЕОРИЯ УСТОНЧИВОСТИ Р«ЗИОСТНЫХ СХЕМ <« Положим д/+! — — )'/+ о/+!. Тогда из (34) получим о/+, ( / /-! (сч хг со«+//, //=с« ~~'.~ т!« — неубывающая функция. Для «-! «-о оценки о/ пользуемся леммой 5. Леммы 5 и 6 будут использованы при доказательстве устойчивости схемы (1) по правой части. 9. Устойчивость по правой части.
В гл. </, $ 2 была доказана теорема о том, что из устойчивости по начальным данным в норме ~! ° ~!<и следует устойчивость по правой части, взятой в норме 1!<р!!а! — — !!В '<р!!<и. Отсюда следует Теорем а 6. Если выполнено условие (!4), то схема (1) из исходного семейства схем устойчива по правой части и для региения задачи (1) справедлива априорная оценка 1)у(/+ )1!„((!у(О)!!,+ ~ т~~в-'ф(/')~|,. Если, кроме того, оператор В самосопряжен, то )! у(/+т) !! (!)у(0) !! + Х т<1<р(Е) !! — . Покажем, что, кроме того, имеют место априорные оценки (3), (4), где !1 ф 11,«! = !! <р !!л- ! и (! <р !1„, = 11 <р !!.
Воспользуемся энергетическим тождеством (13) для схемы (1б) . Л ем м а 7. Если А — постоянный, самосопряженный и положительно определенный оператор, то для любых ф(/), у(/) из Н имеет место оценка: (ф У!)(»(ф у)!+Е(АУ У)+ 4 <,А ф„ф!), (39) где в > 0 — число. Представим (<р,у!) в виде (ф, У,)=(ф, У),— (фп У) и воспользуемся леммой 1 из гл.
Ч, 9 1 для оценки второго слагаемого, Тогда получим (39). Подставим (39) в (13): 2т ИŠ— и А) у!, у!) + (Ау, у) (» »((Ау, у)+2т(<р, у)/+ 2тв(!у!<ел+ — )!ф,<!! ь клАссы устойчивых двухслоиных схем з!з Пусть выполнено условие В )~ 0,5тА. Тогда (Ави, 1)) «(Ау, у)+2т(ф, у),+2те(Ау, у)+ 2е (А 'фи ф,), или (Ау н у,,)«(Ауру)+2т(ф, у,) + +2те(АУУ уг)+ и (А ф, р фг г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
