Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если А н Р— постоянные операторы, то )! у!!н! и !! у)! „, обычно совпадают. В общем случае !! у(1+ т) (!<2, и !!!р(!) !!о! зависят от 1 = лт, так что надо писать !!у(1+ т)!!!!, и вместо !!у(1+ г) !!<и и (!<р(1) !(<2,2! вместО !!!р (!) !!н! Как будет показано ниже, нормы !! ° !!<,, и !! !!«» являются энергетическими нормами, построенными на операторах А и Р. Поэтому будем предполагать, что операторы А н Р являются (если Н вЂ” гильбертово пространство) самосопояженными А = А*, Р = Р', (9) положительными А ) О, Р ) О. (10) 2. Основное энергетическое тождество. Перейдем к выводу энергетического тождества для трехслойной схемы (1), справедливого для переменных опер*аторов А = А(1), В =* В(1), Р = Р(!) и используемого при получении априорных оценок, выражающих устойчивость схемы по начальным данным и по правой части.
Учитывая, что 2 (У+У) 2 (У У У) 2 ~ У) 2 Уп' ! . ! ! . т' перепишем (1) в виде Ву. + 22 Р— — А) уп+ —,А(у+ у) =!р, у(0) =ум у(т) =у„(11) где А = А(1„) = А„, В = В(1„) = В„„Р = Р(г„) Р„. Умножим (11) скалярно на 2ту. =т(у!+у!)-у — у: 2т(Вур У1)+тэ((Р— —,А)(у,— У), у,+~!)+ — (А(У+у),у-у) = = 2т (р. у;). (12) Пусть А и Р— самосопряженные операторы. Тогда Р— 0,5А (Р— 0,5А)', ф х клАссы устойчивых теехслопиых схем 327 В силу леммы 1 из 3 1 имеем ((К- — , 'А)(у,-у), у,+у,)= = ( ()т — — А) у„у,) — ( (!г — — А) у„у,), (13) (А(У+у), у-у) =(Ау, й — (Ау, у) (14) Прибавим и вычтем (Ау, у) справа в (14): (А (у+ у) у — у) = [(Ау й)+(Ау у)) — [(Ау у)+(Ау, у)) (15) Л е м м а 1. Пусть А = А* самосопряженный оператор.
Тогда (Ао, о)+(Аг, г)= — (А(о+г), о+г)+ —,(А(о — г), о — г), (16) для любых векторов о и г из Н. Дока за те льет во. Так как А = А', то (Ао, г) =(о, Аг) (Аг, о) и (А (о+ г), о+ г)+ (А(о — г), о — г) = [(Ао, о)+ 2(Ао, г)+(Аг, г))+ + [(Ао, о) — 2(Ао, г)+(Аг, г)) =2[(Ао, о)+(Аг, г)), что и требовалось доказать. Полагая в (16) и = у, г = у, преобразуем (15): (А(ф+у), й-у) =6,5[(А(у+у), у+у)+(А(у — у), у — у))— — 0,5 [(А (у+ у), у+ у) + (А (у — у), у — у)). (17) Подставим теперь (17) и (13) в (12) и учтем, что (А(у — У) у У) =т'(Аул Уо), Уг=(у У)/т=У, (А(у — у), у — у) =т'(Ау, У).
Тогда получим основное энергетическое тождество для трех- слойной схемы (1): 2т(ВУ, у.)+ [4 (А(У+у), У+ у)+ т'((Я вЂ” — А)уе у,)) = [4 (А(у+ у)' у+ у) + т ((Р 4 А) Уг Уг)1+2т(В У). (18) При его выводе мы использовали лишь предположение (9) о сймосопряженности А и )е, 3. Устойчивость по начальным данным. Напомним опреде- ление устойчивости по начальным данным и по правой части. Схема (1) устойчива по начальным данным, если для за- дачи (1а) справедлива априорная оценка !! у (! + т) )1 ( М1 [! у (т) )! ~г (19) Жа ГЛ. УС ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТИЫХ СХЕМ !3 Схема (1) устойчива по правой части, если для задачи (1б) имеет место оценка Ц У (Г + т) Ц(и -= М, гп ах Ц ср (/ ) Цп (20) 0<с~0 или оценка Ц У (!+ т) Цо Мг гпах (Ц ф(р) Ца +Ц<р (Р)(! ).
(2!) Пользуясь неравенством треугольника, из (19) и (20) или (2!) получаем оценку (6) или (6). Основное изложение проведем, предполагая, что А и Я вЂ” постоянные операторы. (22) Рассмотрим задачу (!а). Для нее тождество (!8) примет вид (23) 2' (Ву!, У,) + Ц У (Г + ) 1Р = Ц У (Г) 1Ц, где Ц У (/ + т) Ц0 = — „(А (у (г + т) + у (/) ), у (Г' + т) + у (г) ) + +т'((/Ц вЂ” — „А) у„у,), (24) ЦУ(!)Ц 4(А(у(/)+У(! т)) У(Г)+У(Г т))+ + т (()т 4) уп уг) ° (26) Из (24) видно, что ЦУ(! + т) Цг > 0 при любых у(/) Ф О, у(!+ т) чь О, если А и Я вЂ” А/4 положительны, А > О, /ц > А/4, Теорема 1.
Пусть А = А' > О, /Ц =/Ц' > 0 постоянные операторы. Тогда условия В=В(г)>0 для всех !~00„ (26) )Ц> —,А (27) достаточны для устойчивости схемы (1) по начальньчм данным. При вьлполнении условий (26) и (27) для задачи (!а) имеет место опенка ЦУ(!+т) Ц<Ц)'(т) Ц, (28) где ЦУЦ определяется согласно (24).
Действительно, при В?~ О из (23) следует Ц У (! + т) Ц' (» Ц У (/) 1Ц, Ц У (/+ т) Ц «(Ц У (/) Ц ( ... (Ц У (т) Ц. Замечая и я. 1) Если А>~0, )ЦЭ~ А/4, то ЦУЦ? О, т. е. !1УЦ вЂ” полунорма. Оценка (28) выполняется и в этом случае. и $2. клъссы устопчнвых теехсло1тных схем 329 2) Если условия теоремы выполнены при любых т и й, то схема (!а) абсолютно устойчива. 4. Устойчивость по правой части. Рассмотрим теперь задачу (1б). Будем предполагать, что выполнены условия (10) и (27).
Так как А и )т постоянные операторы, то тождество (18) для (1б) имеет вид 2т (Еу, у ) + Ц у (~ + т) Цг = Ц у (~) Ц2+ 2т (<р, у.). (29) При выводе априорных оценок вида (20) или (21) основную роть играет оценка функционала 2т(1р, у.). Заметим, прежде всего, что имеет место очевидное неравен- ство 2т(1р, у) (те2$!у.~2-1- — Ц1рЦ2 (30) где еь = сопз() 0 не зависит от т и й. Л е м м а 2. Пусть А = А* — положительно определенный оператор и Я* = 12 ~~ А/4. Тогда. где Е1 ) 0 — любое число. Применим лемму 1 из гл.
Ч, 5 1 ! (42 (~) у (1 + т) + у И) ) ! Ф3 1р (1) Цл- П у (~ + т) + у (~) Пл < 2 Цу( + )+ у( ) Цл + 2Е1 Ц1р()!'л Воспользуемся неравенством Ц г (г+ т) !П~ )4 (А (у(г+ т) + у(г) ), у(г+ т) + у(1) ) = — — П у(г+ т)+ у(г) !тл при гс ~ 4 А, т. е. П у (~+ т) + у (г) !~ < 4 Ц у Р + т) Ц, (32) где Ц у(1 + т) Цз дается формулой (24). Отсюда получаем (31).
Л е м м а 3. Если А = А* положительно определенный оператор и )с'= )с =в А/4, то '2т(1р, у) «<т(1р, у+у)1+еотЦуй)Ц2+ — !!1рг!!~ 1, ео>о. (33) ! (р, у + у) ! = ! (ч (~), у (~ + т) + у (~) ) ! ( (2е, Ц у (1 + т) Ц2+ — Ц 1р (1) П' „(31) азо ГЛ. УС, ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ Воспользуемся тождествами 2ту. = т (у + у)п 2т(ф у;) = (ф. (с)+у)с) =т(ф 0+у),— т(фп у+у). ~ (34) Согласно лемме 1 из гл.
Ъ', 9 1 имеем т!(фс' У+У)~~~т~~ф4л с~~у+ У)(л~ ~ч ~~у+У~~А+ еь ~!фс~л Учитывая затем (32), получим т)(фс, у+ У) ( ~~еьтС! т (С) Р+ — (фс(,. (35) После подстановки (35) в (34) приходим к (33). Те о р е м а 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, А — положительно определенньсй оператор. Тогда схема (1) устойчива по правой части и для нее при с' > т верна оценка (1+ т) ~~~~ч 1 (т) ~(+ ''4т тпах 1 ч ф (И ) ссл-с +1фс(~ ) ~~л с), (36) где Мэ = сопз1 ) 0 зависит только от (ь.
Дока ватель ст в о. Рассмотрим задачу (1б). Подставим оценку (33) В (29) и учтем, что В )~0: ~~~'«+т)~~~(1+еьтн~~'((И~+т(ф У+у)с+ —,', 1Чл-с Суммируем это неравенство по с = /т, 1 = 2, 3, ..., и. Так как У (О) = У(т) = О, то (ст (1+ )~(~(((У(2~)!)~» е ~~~ сс)т(С ) (т „ Х 1фс ( ) 1 — + (сР (с) У (С + т) + У (1) ) — (ф (. ) у (2. ) ) (37) а при 1= т тождество (29) дает 1)'(2т)К(2т(ф(т), у.(т)) =(ф(т), у(2т)), так как у(0) =У(т) =О.
Сложим это неравенство с (37): с !/ Т(с+ т) СС'(~е, ~'„тСС К (у) ССт+ (ср(с), у(1+т)+ у(с))+ с'-чс 4 а клАссы устойчивых тРехслоиных схем ЗЗ1 Лемма 2 при е, ='1» дает !)У(1+т)(12(2ео Х сЦУ(У)Ц2+Ф(1), ( ) = '1 П ф ( ) Цл- + —, ~, ~ !~ ф, (У) ~!' (38) Из (39) и (28) следует (36). Теорема 3.
Пусть А = А*) О, В = В* =» 0 — постоянные неотрицательные операторы, а В = В(1) — переменный несамосопряженный положительно определенный оператор В >еЕ, а= сопз1>0, (40) где е не зависит от й и т, и выполнено ус говие Я) — А. 1 4 (41) Тогда для решения задачи (1б) справедлива априорная оценка 'й ((у(1+т)Ц~ ~— ~ тЦф(у)(~, (42) Рассмотрим тождество (29). Из (40) и (30) при еь =е следует тф )~+6у(1+т) У<Ну(1) )Р+ —,Цф(1) Р Суммируя по 1= с, 2т, ..., пт, получаем (так как ЦУ(т) Ц 0) е ~' тЦу (В)Ц2+(1у(1+т)1~( — ~~)~~ тЦф(у)1г, (43) е т или ~г~ тцу;(У)ць(у ~1 тЦф(У)Цз Е 4 (44) так как Цу(1+т)Ць~~О.
Для решения неравенства (38) применим лемму 5 из 5 1, выберем еь и учтем, что ф = ф — тфп Цф(т) Ц 4 Цф(2т) Ц + тЦф,(2т) Ц. В результате получим для решения задачи (1б) априорную оценку Ц у(1+ т) Ц~ (Мз гпах (1(ф(у) Цл-1+Цф,(у)щл-~). (39) т(с~1 Лемма 4. Если у(0) =у(т) =О, то Ц у (!) 1г + Ц у (1 + т) !г ~ ~41 ~ т ~ у. (Е) ~. с В самом деле у(!+ т)+у(с) =2 ~2~ ту (Е), Ц у (1+ т) + у (1) !Р - 4! Х т )) у) ~~с. (45) (45) Далее, обозначив ш„= у„— у„с, получим ш„+с =2ту — ш„, исс =О, С,ь откуда следует неравенство !1 иг„, + с () ~ 2т Ц у., Ц + )( иг„, )Ц а' = 1, 2, ..., и, Суммируя его по и от 1 до п + 1, получаем Ц ш„+с Ц~(2 ~я~ т((уг или Ц у(!+ т) — у(1) Ц ~(2 .'~~ т~(у.
((г) (), с Ц у (! + т) — у (1) !Р ~ 41 Х т)! у; (Е) )~с Воспользуемся очевидным тождеством Ц у (! + т) + у (1) )Ц + Ц у (Ю + т) — у (!) Цс = 2 (Ц у (1) ~)с+ Ц у (! + т) ~Р). Отсюда и из (4б), (4?) следует (45). Подставляя в (44) оценку (45), получаем (42). Теорема 4. Пусть А = А" > О, )гг = с!* > 0 — постоянньсе олераторы. Тогда при условиях В > ЕЕ, 1гг)~ 414, е = сопз1 > О, для решения зада'си (1) верна априорная опенка г/г Ц)'(!+т)Ц- 'Ц )'(т)Ц+ — ~~ ТЦф(Е) 1Р ° (48) с'- с Достаточно оценить лишь решение задачи (1б), так как теорема ! при В)~ ЕЕ сохраняет силу. Положим в (30) еь = 2е. Тогда из (29) слелует Ц у (! + т) К ( Ц )" (1) (Г + —,, Ц ф (!) !г 332 ГЛ.
РЬ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ н 4 2. КЛАССЪ| УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙИЫХ СХЕМ ззз Преобразуем выражение, стояшее в квадратных скобках в правой части тождества (!8), Замечая, что (А (д + у), у + у) = (А (д + у), у + у) + т (А| (у + у), у + у), ((/г — 4 А) у| У!) ((|т 4 А) ур у,) + т ((/с — 4 А) Ур У|) А = А(/ — т), А|=(А — А)/т, и вводя обозначения У /(/ 1,) (~У(/+ )/2 / /(/) ~~У(/)/2 перепишем тождество (18) в следу|ощем виде 2т 1 Вд., у.) + / = / + 2т (ф, у.) + тР, г = 4 (4|(у+У) У+У)+т ((/с 4 '4) Ур У|) ° (52) (53) (54) Если /с — А/4 и А удовлетворяют условию (49), то 4 (А(у+у)э У+у)+ т сз ((/х — 4 А) Ур у| )—— сзХ, и из тождества (53) при Я)~А/4 следует неравенство 2т(ВУ/У))+У~((1+ тсз)!+2т(ф, У)) (55) Остается просуммировать это неравенство по переменному / = т, 2т, ..., пт, учесть при этом, что ~!У(т)!! = О, и затем вос.
пользоваться теоремой 1. 5. Схемы с переменными операторами. Если А и Я зависят от /, то вводится дополнительное требование липшиц-непрерывности А и /г по Н ~ ((А (/) — А (/ — т) ) х, х) ( ~~ тс, (А (1 — т) х, х) (49) при всех хан Н и г = 2т, ..., (иа — 1)т, где сз = сопз( ) 0 не зависит от 6 н т, и аналогичное условие для /т. В этом случае составная норма !~У(/+ т) ~!=(~ У(/+ т) 1~<,> зависит от /: ) |е 4 ( ()(У( + )+У())' +т ((/с(/) 4 А(/)) У|(г) У|(/)) | (50) ||1 (г)'2п-и 4 (А(/ — т)(у(/)+У(г — т)), У(г)+У(г — т))+ +т ((|т(| — т) — 4 А(г — т))уг(г) Уг(/)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
