Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Рябенького [Ц вЂ (3] и В. С. Рябенького[2],[3]. Устойчивос~ь разностных схем для гиперболических систем первого порядка изучалась в работах О. А. Ладыженской [Ц, С. К. Годунова [Ц, [2], Лакса [Ц, Лакса и Вендрофа [1] — [3], Лекса и Ниренберга [Ц, Крейса [5), Стренга [Ц, Келлера и Томэ [Ц, Томэ [Ц, Л. С. Франка [Ц. Исследование устойчивости разиостных схем в норме С было проведено в работах С.
И. Сердюковой [Ц вЂ” [3], И. В. Коновальцева [Ц, [2], М. В. Фе. дорюка [Ц, Тома [4], Видланда [2). Наряду со спектральными методалш всследования устойчивости развивался, применительно к конкретным схемам, энергетический метод, позволивший освободвться от детального научения спектральных свойств операторов разностиых схем. Начало этому направлеивю фактически положила работа Р. К раята, К. Фридрихса и Г. Леви (Ц. приорные оценки разностных схем простейшего вида, в связи с изученяем вопроса о разрешимостн смешанных задач для разлвчиых уравнений н систем уравненнй в частных производных, были получены энергетическим методом О. А.
Ладыженской [2), В. И. Лебедевым Щ (см, также обзорную статью А, М. Ильнна, А. С. Калашникова и О. А. Олейник [Ц). Усовершенствование аппарата энергетических оцеион и применение его для широких классов разностных схем (для параболических и гиперболических уравнений) было дано в работах Лиза [Ц вЂ” [4) и А.
А. Самарского [Ц, [2). Примерно в зто же время ряд априорных оценок для разностных краевых задач был получен Крейсолг (4), Л. И. Камыиниым Щ, Дугласом [3]. Позже энергетический метод нашел широкое применение при исследова. иии разностных схем для многомерных задач математической физики. Укажем в связи с этны работы В. Б. АНдреева (Ц вЂ” [6), И. Г. Белухиной Щ, (2], Е. Г Дьяконова [3) — [5[, [8], А. Н. Коновалова (4], А. А. Самарского [4]— [12[, [16], (2Ц, И.
В. Фрязинова (2] — (6). Двухслойные и трехслойиые разностиые схемы для эволюционной задачи Коши изучались с помощью метода энергетнческих неравенств в работе Равьярта [Ц. Ряд новых результатов в теории устойчивоств разиостных схем получен в работах Видланда Щ, Вендрова [Ц, Миллера и Стреига (Ц, Тома [3), [6], Л.
С, Франка [3]. Изложение теории устойчивости разностных схем, данное в главах Ч— Ч!, основано ив работах А. А. Самарского [20), [2Ц, [23),[24). Развитию этого направления посвящены работы А. В. Гулииа [Ц, А. В. Гулина и А, А. Са. !карского Щ, А. А. Самарского [28), А, А, Самарского и А. В, Гулииа [1]. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Н! 351 Задачи к главе 471 Для иллюстрации общей теорни устойчивости л1ы приведем ряд простейщих разиостных схем для уравнений ди д'и — 0(Г(тл, 0(х(1; и(х, 0)=ие(х), дт дх' ' ди д'и д'и — = — + —, О~х„(~1, а 1, 2; и(хь х„О)=ил(хь х,) (2) дт дхз дхз Трехслойная схема имеет канонический вид 1-~-1 1-! )лю 2 1 ~7-3 Ву " +таму у+у +Ау)= 7 2т т' =Ф.
(4) Прн эголг определяются операторы В, (лл н А схемы. Каноническая форма записи схем удобна не только для проверки устойчивости, но н для оценки порядка аппроксимации. 3) После того, как операторы схемы найдены, исследуются их свойства как линейных операторов в пространстве Нл (положнтельность, самосопряженность и т. д.). 4) Проверяется вьшолненне достаточных условий устойчивости для данной схемы.
Этн условия имеют вид: а) для двухслойных схем: В>0, А= А*>О, В ) 05ТА (5) (устойчнВОсть В Нл), либо В =В'>О, А=А">О, В)05тА (6) ()стойчиВОсть В Нл и Нл). б) для трехслойных схем: В~О, ))=В'>О, А=А*>0, и> — А, 1 4 (7) (8) или Я) А, где в>0 — любое число.
1+е 5) Если достаточные условия »стойчивости для данной схемы выполнены, то она устойчива и для йее можно пользоваться априорными оценками, полученными в гл. лг!. Сделаем некоторые замечания. Следует обратить внимание на возможность использования другой формы записи двухслойных схем: Ву'+' Су)+тф), где С= — ТА, А-( — С))т (9) с нулевыми граничными условиями. Предварительно напомним правила, которымв следует руководствоваться прн исследовании конкретных разностных схем. 1] Вводится пространство Нл сеточных функций, заданных на сетке ыл н удовлетворяющих однородным граничным условиям (в случае первой краевой задачи — обращающихся в нуль на границе ул сетка), определяется скалярное произведение (,).
2) Разностная схема приводится к каноническому виду. Двухслойная схема имеет канонический вид у!+1 уг В " +Аут=фу. (3) 252 ГЛ. Уи ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ РЛЗНОСТИЫХ СХЕМ и трехслойных схем: Всу)+'+ В,у)+ Взуг ! 2ар1. Сравнивая (4) н (!0), находим (10) Во В+2ТН, Вь =2т (А — 2!1). Вт=йтН вЂ” В, (1П 1 1 1 г- — (В,+В,), А= — (В»4В,+В,), В= — (В,-В,), (!2) 4т 2т 2 Достаточные условия устойчивости (5) эквивалентны условиям ( — С) ( — С)'> О, В+ С > О. (13) Для трехслойной схемы (4) нли (10) условия (7), (8) эквивалентны уело. виям: В В !В+В», В, В,,  — В»О. В,— В,+Ве>0, В,+В,+Вс>0. (14) В риде случаев удобно пользоваться записью схем (3) н (4) в виде (9) и (10), после чего проверять достаточные условия устойчивости (13) и (!4) соответственно.
Напомним достаточныс условия (вытекаюнгие из условий (5) илн (8)) устойчивости схем с весами. Пусть дана двухслойная схема с весамн ! + А (ау)+' + (1 — а) у!) = ~р', (15) где А > 0 — несамосопряжениый оператор. Тогда схема устойчива прн а>0,5. Если, кроме того, дано, что )Ах)т(Л(Ах, к), (16) то схема устойчива в Н прп 1 1 а ~~ — — —. (17) 2 ТЛ' Наконец, если А =А» >0 и А — постоянный оператор, то А= 1)А)1 н схема (15) устойчива в Н п Н» прп 1 1 а > — — —. 2 т!)А!)' Для трехслойной схемы с весами: 1+~ у!-! +! ! 2т +А(а,у)+ +(1 — а,— аз)у +а,у( ) ~р1 (19) Обратимся теперь к схемам для уравнений (1) и (2) . На отрезке О~~к(1 вводится равномерная сетка йа (х! !Ь, ! О, !...„Н) где А > 0 — иесамосопряжеиный оператор, !! Ах (Р (~ Ь(Ак, х), достаточное условие устойчивости имеет вид 1 1 !+е а,)~аз — —, а, +аз> — или а, +ат> —, в>0.
(20) тй ' 2 злдлчи к Гллвп ч! с шагом й = 1!ЛС. Пусть Н, — пространство сеточных функций, определенных на й а и равных нулю на границе (при х = О, х = 1), Лс ! (у, о) Ч'~ у»о Л, 5у)! агг(у, у) с ! — скалярное произведение и норма в На. В случае задачи (2) в квадрате вводим сетку ыл (х. (с,й, с,й); с, ! О, 1, ..., Л», Л 1»Н), и пространство На функций, заданных ка йа н равных нулю прн сс =О, с! = ЛС, 1» = О, сс = Лс со скалярным произведением Лс-! (у о) хы у1 О"с»"' !)у)) )'(у у) !ь1с ! В следуюшнх задачах требуется привести к каноническому виду и ука- зать условия устойчивоств разностных схем.
12 т 6 т 12 с 2йс с( » ! 1 ~~~) ( ' Ответ. у — отЛу Лу, или » (Е+асА)у +Ау О, 1 Ь' где и — — — Лу у-, Ау- — Лу. 2 12т' хх' Схема устойчива в Н прн любых Ь и т и имеет погрешность аппроксимации О(Л4 + т ) У к а ванне.
Следует преобразовать левую часть уравнения, для чего еоспользоватьси соотношениями о, + ИОо + о, (о. — 2о + о )+ 12о й'Ло +12оп с т т' Ответ. (Š— тЛ)у. +((05+0) сŠ— — Л)уп Лу. тб 4,пй Схема устойчива прн 0> — — — —, Ь вЂ” зсп'— 2 4' Ьа 2 Указ ание.
Сравнение с (4) дает 1 !+20 В Е+тА, )( — А+ — Е. 2 2т Отсюда следует: )( — — А — А+ — Е~)~ — Ь+ ) Е>0 1 ! !+20»1 1+20! 4 4 2'с (4 2т ) пРи В> -ссз-тб»4, так как А~ОЕ. !2 А. А, Самарский 354 Гл. у!. теОРия устоичИВОстн РдзнОстных схеМ 3. 2уу!1+' =(у — 05) (у(~~ +уф)+05(уг, +у)„,), у= г(Иа. Ответ. (Е-отЛ)у Лу, и ! — 1/(2у). Схема устойчива при у) 0,5 и имеет погрешяость аппроксимации О(Из+ ). 4. У!!+! [(ЗУ вЂ” 05)(У(+!~+У!!4+!~)+(5-6У)У!+(ЗУ+05)(У! !+У!+!))' 1+! у т(дз. Ответ. Та асс схема, что и в задаче 1. 5 У! ь ю+ ~ау!4! е+()У 44!+(! О)у!4! ь+ !+! 1 Г (+! (4! ! +(! — 5)У( ьь! — (4 — ю-а — 5)У,'.,+У'...+У',,,1, ю = Ит/т. О т а е т.
у — — (ау„! -Ь()ую!) Лу, где йу ув „+ уе . Условие устой- чивости а+5)2 — Оедз!т. Если а О (1), 5= 0 (1), — -ь0 при т-ье, И-+О, И то схема аппраксимирует уравиеиие (2) с погрешяостью 0(т+И'+т)И). е. у,'+!-~~~-зу)у!!+ — '(Зу- — ')(У1,+У1„)- — — ! у — — ) (У1, — 2У,'. +у!4!), у с(И. т Ответ. Ву,+ гтЕугт+АУ=О, где 1/ ! 1 1/! В=Е- — ( — — !)тА, й — Е+ — ( — — !!А, Ау — ух. 2 '167 ) 2т 4 16у хх Схема устойчива при у~( !/3.
7 !Оу!1~ 3(у!1- +у!(+!)+2(у!!+У( ) т И )4 т Ответ. у,+ — ун Лу. Схема устойчива. ! 8. У! 40 (2У! + 32У!+ 3 (У! ! +У!.41)~, т И (16. Ответ. Схема приводится к виду (4) с В Е-тА, й — Е+0,5А, Ау= — Уд 1 Зт х и устойчива. У!,а 4 (У; !, ь+У!+! И),! (У; ь !+У! ье!), я=0,5И. О т в е т.
Схема имеет каяоияческий вид (3), где А — (Л, + Л,), В Е-тЛ, Л у ух, а 1, 2, устойчива и аппраксимирует урааиеиие (2) ! а ~аха' с погрешиостью О (т+ Ит) О (И!). ! !5у(4! !— 2У(+!+05У!+! !5 15У!+!-2У!1+05уз! 1 1,5уз(~!! — 2уз~ ! + 0,5узг !! !+! 12 т задачи к глхви ч! 0 т я е т. Схема имеет внд (4), где йт т ! l! йз! В Е+(! — — )тА, Š— Е+( — — — )А, Ау= — у!2т) ' т ~ 2 !2т) абсолютно устойчива, погрешность аппроксимации па решении уравнения (!) равна О ('г'+ Ь'). У к а з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
