Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Тогда В = В1В» = Е+ тР+ + т Р,Р» = В + т»Р Рь т. е, Я > В > 0 5тА, так как Р Р» > 0 (это следует из сделанных выше предположений относительно Р„). Таким образом, В '0,5тА, т. е, факторизованная схема (22) устойчива. Операторы Р, следует выбирать так, чтобы выполнялось и условие аппроксимации. ГЛ. Ч!!. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 372 П р и м е р 1. Пусть требуется решить задачу (12) для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами так, что Е,и = — (йа(х,() — ), 0<с,(й, ='с,.
(23) Соответствующий разностный оператор Л имеет вид Лад=(а,ух ), 0<с!<а,<с,. а ха Обозначим Лад= у„х . В пространстве (за (см. гл. Ч, Э !) сеточных функций, задан- НЫХ На Ым ИМЕЕМ О О -О Аа < сОАа, где Аа Ла, Аа = — Ла. (24) В качестве )с„возьмем операторы О )хэа = ОСОАО~ (25) — ~=йи+!(х, 1), и ~г=1О(х, 1), и(х, О) иа(х), Р Т.
=,') —,' (й.„(, () —,'" ), а,а Р О< с! Х е «( Х ааз (х 1)вава ~< СО Х Еа. а-! а. В-! а-! (26) В качестве )с снова выбираем операторы (25). Эти операторы в 1)а являются самосопряженными, положительными (при о)0) и попарно-перестановочными (так как область ГΠ— параллелепипед). Полученная схема устойчива при условии о>0,5.
Так как В = Е+тй„, ОО = 1, 2, ..., р — трехточечные разностные операторы с постоянными коэффициентами, то,алгоритм опредЕЛЕНИя у!ам Прн ЗадаННОМ у! тат жЕ, Чта И В ПрЕдЫдущЕМ Прнмере, так что )т,у = — ос,уя , где у ~ 11„. «аха' Условие устойчивости (21) будет выполнено, если взять о ~~ 0,5 (и даже о)~ 0,5 — 1/(т11А11) ). Таким ооразом, В = Е + т)с — трехточечные разностные операторы с постоянными коэффициентами.
Факторизованная схема имеет, по крайней мере, первый порядок точности по т. П р и м ер 2. Пусть требуется решить первую краевую за. дачу для параболического уравнения со смешанными производными в параллелепипеде ыа = (О <х < 1„, а = 1,2, ..., р): 4 О. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ Пример 3. Схема повышенного порядка точ- ности для двумерного уравнения теплопровод- ности. Рассмотрим задачу (12). Нетрудно убедиться в том, что схема (Š— о,тЛ, — О,тЛ,) у, = Л'у+ ф, у !»А = !А, у(х, 0) = ио(х), Ь',+6', где Л'=Л, +Ло+, Л,ЛН Л,у=ух „ — — — и = 1, 2, ф = ф! = /'+"' + — Е,/!»У + — Ео/! "~* 2 !2» ' ' ' !2 ' !2 или где А' = А, + А, — (х, + х,) А,А„к, = Ь,'~12, А, + А = А, о„= 0 5 — к„/т, В = (Е + О,тА,)(Е+ оотА») = = Е+ 0,5тА — к,А, — и А,+(0,5т — х,)(0,5т — ко) А!Ао.
Так как область бо — прямоугольник, то А, и Ао перестановочны. Кроме того, А,= А,)0. Проверим условие В)0,5тА'. Сначала заметим, что !!А,!!<4/Ь, и х,!! А,(!<'/,. Учитывая неравенство А,~(!|А,!!Е, получим  — 0,5тА' = Š— х,А, — к,А, + 0,5т(х, + х,) А,АЕ+ + (0,5т — к,)(0,5т — х,) А,А, = Š— х,А, — х А, + ! то ! +( 4 +к!хо) А,А») Š— к! !! А, (! Š— ко!! Ао!(Е) з Е, т. е.
В ) О,бтА' + — Е. 3 Тем самым доказана устойчивость (29) в //А. (30) ф! = /!42 + Л,/! -~'ь + — Ло/!о1А, Ьо!, Ь !2 ' !2 имеет в классе решений уравнения (12) погрешность аппроксимации 0(т +! Ь !), ! Ь ! = Ь~+ Ьо. Факторизованная схема, очевидно, имеет вид (Š— о,тЛ,)(Š— О,тЛ,) у, = Л'у+ ф. (28) Покажем, что она абсолютно устойчива по начальным данным и по правой части и, следовательно, экономична. При изучении устойчивости предполагаем, что у!„„=О. Вводя как обычно операторы А„= — Л, а = 1, 2, перепишем (28) в виде Ву! + А'у = ф, у (0) = уо (29) и э е экоцомнчныв Фхктогнзовкнные схемы 375 зывающей у' н у!+!. Исключая уоь уо>, ..., у!в и из (35), получим факторизованную схему в,...ву! =с,...сд.
(36) Она не совпадает с исходной схемой (33). Заметим, что исключение у<п, ..., у!р 1! возможно только при попарной перестановочности операторов Л!, ..., Л„. В самом деле, пусть р = 2 и В,Уц,=е,д!, В,дть =С,дц,. (зт) Действуя на первое уравнение оператором См а на второе — оператором Вь получим В,В у'е' = (В С, — С В ) уо ! + Сзс~у!.
(38) Отсюда видно, что член с уо! равен нулю, если В,С, = Сзвь т. е. Л~Лэ = ЛзЛь Тогда получим в,в,д!. =с,с,д. (39) Однако эквивалентность (35) и (36) имеет место не всегда. Это связано с тем, что для уо! надо для эквивалентности ставить граничное условие специального типа. Поясним это яа примере. Рассмотрим задачу ()2) с 1 = О. Напомним, что область Св =(О <х„<1„, я = (, 2) — прямоугольник. Схемы (35) и (36) эквивалентны, если уравнение В,у!+'=С,у,м или (Š— отЛ,)дг+!=(Е+(! — о)тЛ,)у!+'а (40) выполняется не только при 0 < х! <1!, но н на границе, прн х, = О, х! = 1ь Определить у!+'а !т„из (40) можно только при достаточно малом т. Кроме того, существует вторая трудность: как определить правые части в уравнениях В,у „= С,у!+ тфг, В,у!+' = С у, + тф!, чтобы эти уравнения были эквивалентны уравнению В,В,у!+' = С!Сед!+ тф!, у! р! при х ен у„, (42) которое аппраксимирует исходное дифференциальное уравнение.
Исключая нз (4)) у!!!, получим В,В,у!+' =С,С,у + т(с,ф!+ В,ф~т). (43) Требование фг=сзфг+ В ф) будет выполнено, если ф!1=0, а ф2! удовлетворяет уравнению В,фз =(Š— отЛ,) фз = ф. Прн х, = О, х, =1, вместо (40) должно выполняться условие В у!э' = С,у<о+ + тфзг, а при х =О, х, 1 — условие В,уа! С,у +тф!.
Полагая уо, у!+! при х, = О, х, 1„получаем краевые условия для ф) = — Л,р!+' при х =О, х =1. р гл. шь экОнОмичные ЕАзностные схемы 376 В результате мы получаем эквивалентную (42) систему одномерных схем: Ву =Суг, Ву1~'=С2у +тф1, уп2-рг+' при х, =О, х, =1о В ф! = ф~ п ри О < х, <1Н О < х, < 1„ фг= — Л,,122+' при х = О, х =1 2 2 1 ' 1 И уы~ ( = 122 Ы 22 (44) Ее можно записать также в виде уи~а (Š— отЛ,) " " =Л,ут при 0 < х, уг~а = 12мы при х| =О, „ы-1 „г+'ь (Š— отЛ2) = Л у2+" + ф1 при у'+' = р~+' при (Š— отЛ,) ф~ = ф2, х ~ ыА, ф! = — Лзрг+' при <1„0 ~~х2 < 1„ х, =1„ 0<х~<1Н 0<х2<12> (40) х2=0, х,=12, х,=О, х,=1Н Разрешая ее относительно у2+', находим (В+ 2тР) у1+' = 2т(2Р— А) у2+ ( — 2тР) у2-1-)- 2тфг, Обращаясь к факторизованной схеме (39) и приводя ее к каноническому виду, замечаем, что при о = 0,5 она совпадает с факторизованной схемой для продольно-поперечной схемы, рассмотренной в $ 1, и потому имеет точность О (т' + ~й)2).
Если В„ и С„ вычислять по формулам В~ = Š— о тЛ„, С„ = ! а', = Е + (1 — о )тЛ„, то при о„ = — — †, ', а = 1, 2 получаем схему О (т' + )й)') при условии, что ф определяется по формуле (27). Подводя итоги, следует отметить, что факторизованные схемы применимы лишь для областей специального типа, точнее, для прямоугольников и для параллелепипедов. Исключение представляет лишь случай В = В,В2, В„= Е+тРя, где Р~ и Р2 — треугольные операторы, Однако, при этом понижается порядок аппроксимации (которая имеет место лишь при условии т = 0(й')).
5. Трехслойные факторизоваииые схемы. Рассмотрим экономичные трехслойные схемы. Пусть дана схема Ву + т'Руп+ Ау = ф, 0<1=1т <12 у(0) =уз у(т) = уи (40) 2) А 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАНЫЫЕ СХЕМЫ з77 Отсюда видно, что для экономичности трехслойной схемы надо, чтобы оператор В+ 2т)7 на верхнем слое был факторизован. Рассмотрим в качестве исходной схемы схему с весами у. + А (о)у+(1 — о) — )22) у+ О)у) = )р, у(0) = у„у(т) УО (47) Запишем ее в каноническом виде (см.
гл. Аг!, $2): (Е + т (о) — О2) А) у. + 0,5 (О, + о ) т'Ауп + Ау = )р (48) и найдем оператор В+ 2т)7 = Е+ 2о)тА. Пусть А = А) + А2. Заменим В + 2т)А) факторнзованиым оператором В + 2тВ =(Е + 2а)тА)) (Е + 2о тА ) = Е + 2о тА + 4о т А А,. Поскольку имеется одно условие для двух операторов В и ))), то можно построить ряд факторнзованных схем. Перепишем (48) в виде (В + 2т)т) у, + ( — 2тЯ) у, + 2 АУ = 2ф. Заменим В + 2тВ факторизованным оператором В+ 2тВ н приведем полученную схему к каноническому виду, учитывая при этом, что у,=у.+ 05туг), у,= у.— 0,5ту г В результате получим Е+т(п, — О2) А+2птт'А,А2)у.
+т'~ ' ' А+О)тА)А,) уп+ + Ау ф, у(0) = у„у(т) = у„(49) так что В = В+ 2п)т)А)А,, )7 = В+О))тА,А, (ср, с (48)). Для определения у)+' при заданных у) и у) ' можно воспользоваться следующим алгоритмом В)ш))) = Е), Е) =(2тЯ вЂ” В) у( 2АУ) + 2ф) В2н))2) и)(!) у у + тн))2)~ В, =Е+ 2п,тАИ В,= Е+ 2о,тА2. Вопрос о краевых условиях для ш<ц решается так же, как и в случае двухслойной факторизованной схемы. Для исследования устойчивости факторизованной схемы (49) надо воспользоваться общими теоремами из гл, т1, э 2.
Достаточными условиями устойчивости являются условия О) ~~Ох, )т, +О2)0>5; А„= А<',)О, А,А,= А,А,. Гл. т!!. экОнОмичные РАзнастные схемы 378 Если О! ~~ ом о! + Оз ) 0,5, Аа = А' ) О, то исходная схема устойчива, так как В)Е, 4Е)А, В силу перестановачности А! и Аз, А,Аз) О, т. е. Я) В, Е ) зт. Отсюда и из устойчивости исходной схемы следует устойчивость факторизованной схемы (49). 1'зы рассмотрели частный случай, когда Е = ОА, = 0,5(О, + оз). Укажем общий метод построения трехслойных экономичных факторизованных схем, основанный на принципе регуляризси1ии разностных схем (см.
гл. з71, $ 2, п. 9). Рассмотрим некоторую исходную разностную схему у'+той +Ау=!р, 0(г=/та.го у(0)=ио у(т)=йо (50) (значение д(т) = йо при 1 = т выбирается так, чтобы обеспечить второй па т порядок аппроксимации). Оператор Е выбирается так, чтобы схема (50) была устойчивой. Запишем исходную схему в виде (Е + 2тЯ) у, = — Е, Е = (2тД вЂ” Е) д, — 2 Ад + 2!р. (51) Пусть Е есть сумма экономичных операторов, 7!' = 7т! + 7сз+'...
р ... +)ср. Заменим в (51) Е+ 2тЯ = Е+ 2т ~~'., Я, факторизована-! ным оператором р Е+2т)1 = П (Е+2тЕа) = Е+2тЕ+4тз!'.)р, Ф = Е+ 2тЯр, а ! где Яр = РзЕз при р = 2, (!р = К Кз+ ЕзЕз+ ЕзЕз+ 2тЕ!ЕзЯз при р=3 и т. д., и вместо (51) рассмотрим факторизованную схему В, ... Вру! — Е, В„= Е+ 2тЕа.
Приведем (52) к каноническому виду Ву, + Еуи+ Ау = р, (53) где В = Е + 2тЯр, Х' Й + Яр. Пусть зро(и) — погрешность аппроксимации (в классе решений и = и(х,1) непрерывной задачи) для исходной схемы (50), зр!(и) — для факторизованнай схемы (53). Нетрудно заметить, что зР! (и) = Фо (и) + ф', ф' = 2тзЯри!.
Если 1физ1„., = 0(!), где 1~ ° 11о! — некоторая сеточная норма (фигурирующая в теоремах об устойчивости), то и Е Х ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОЕАННЫЕ СХЕМЫ зтв' (~ф'~12.,=0(т2) и при переходе от исходной схемы к экономич ной факторизованной схеме (52) погрешность аппроксимации меняется на величину 0(т'). Таким образом, указанный процесс позволяет получать экономичные факторизованные схемы с сохранением второго порядка точности по т (за счет, вообще говоря, некоторого повышения требования гладкости решения и). Чтобы исследовать устойчивость (50) и (53), нужно рассматривать операторы Р и А как линейные операторы из Н = Рл в Н (это значит, например, для (26), что краевые услсвия на ул однородны).
Пусть выполнены условия А=А*>0, Ра=Ра>0, О=1, 2, ..., Р, (54) Тогда исходная схема (50) устойчива при Р>'4'А, е>0. (55) В случае переменного А = А(т) требуется, кроме того, что- бы А(1) был липшиц-непрерывен по Е Оператор Р мы будем выбирать постоянным. Если операторы Ра попарно перестановочны, то нз устойчи- вости исходной схемй следует устойчивость факторизованной схемы (53), так как Яр > О, В = Е + 222ЯР > Е, Р =Р+ тЯр>Р, — !+е т. е. Р> — А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
