Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Правая часть Ч' уравнения (70) есть погрешность аппроксимации уравнения (1) факторизованной схемой (69): '1' = ф — от2РсР»и„ Гл. Е4!. экономичные РАзностные схемы 386 дси производные, „. Из выражения для у4(х,0) следует, что дх~! дх, д! в этом же классе функций Ьи +Ц(х, О)+ + 0,5т(Уи (х)+ Ц(х, О)+ ' ' ) — и,(х, О) = 0(т'). (74) Регулярнзатор )Ц выбран так, что 4с> — А', е > О. !+с Самосопряженные операторы )7! н 14! положительны и перестановочны, поэтому их произведение Я!)74 есть самосопряженный положительный оператор, 14Яз > О. Отсюда следуют неравенства т! /4! от' т' Р> 4 А'+ 42 Е+ 2 44!444> 4 А', в=к+ Юр,,>е, доказываюц4не устойчивость схемы (70).
В силу теоремы 4 нз гл. тг1, 2 2 для задачи (70) справедлива оценка Г ' )у Ц Я(!+ т) Ц е-Ц 2(т) Ц+ —, ~,)~~ тЦ Ч'(!') ~Ц~ (75) где ((г(т+т)(Г 4(А'(г+г), 2+г)+((Π— +А')го г). Так как г(0) =О, то оценку (75) можно переписать в виде Ц х (1+ т) Ц~ ((Ог, (О), г, (О) ) '+ ~ — !пах Ц Ч'(!') Ц. (76) 2 ..! ст Оценим величину (Ог,(0), г,(0)) =(Оч, т). Подставляя выра- жение (71) для оператора О, получим (О~ т)= 42 ЦЕЦ +' (сст )+ 2 (сс!)44~ )= Ь2 т сс ст Ц е !Р 4 ((Ь! + Ьз) т т) + 481 + 44!8) (М~эт т) = л' тс, г 4 42 Цт Р+ 4 (Ц~хч с +Ц~хь с~)+ !В( +Лс!6 Цтхпхч с. (77) Слагаемое Ь'()т)Ц является величиной 0(т'+Ь4)', если огранидси чена производная †, .
Действительно, ЬЦт'Ц=О(Ьтэ)=О(т тЬ)=0(т'+т'Ь')=0 (тз+т4+Ь4)=0(т'+ Ь'), е а экОнОмичные ФАктОРНЗОВАнные схемы 387 Покажем, что и остальные слагаемые в (77) есть величины 0(т'+ й')', если существуют ограниченные в цилиндре фг производные д'и д'и д'и дп ' дх„дп' ' ' дх>дх,др' Подставляя в формулу т=(Т.444(х)+((х, 0))+0,5т (Пие(х)+ Ц(х, 0)+ ' ) — и„= +05 '' — (х 0) разложение и,(х О)= " '' +05т ' ' 0(8<! получаем Отсюда следует т'(~~тп ~р+!(Ч„-,~Р) =0(т'), У~хм,!Р= О(хл) = 0(т4), что и требовалось. Итак, (4)г,(О), г,(0) )и = 0(т'+ 64).
Отсюда, а также из (73) и (76) следует, что (~ й((+ т) (!( м (те+ 54). (78) Чтобы получить оценку е в Нич воспользуемся леммой 5 из гл. ч!, $ 2. Так как (г= 4 сеА) 4 А, то !+е ' !+е 1 4+е е ( +~)еА !' !+'е ее(4+и)ел' Учитывая оценку (78), убеждаемся в том, что схема (69) сходится со скоростью 0(т'+Ь4) в норме пространства Н .. А~ т. е. в сеточной норме В'е: ц !1е((+т)!! =0(те+54) 7.
Экономичные схемы для систем уравнений параболического и гиперболического типов. Пусть 0=(0 ~хая (а~ о = !4 24 ° ° ° ю Р) !Зе ГЛ. УН, ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ а, = в х (0 (((т[. для всех (х, ()еи фг (79) и условию положительной определенности а р а р и р ,Х Х(~')'» Х Х йа (х,()е"'~' с, ' Х©'-, (80) где с, и са положительные постоянные, ~„=(~„„..., $„, ...,е",) произвольный вещественный вектор.
Положительная определенность матрицы й является условием сильной эллиптичности опе- ратора р Х (~ви' )~ви — — д, ~/с~а(х, () д ~ (81) а, Е-1 где и = (и', ..., и'..., иа) — вектор размерности и, т. е, условием выполнения неравенства с, ( — с'~1и, и) ( ( — йи, и), (82) где а (и, О)= ~ ) и'(х)О'(х)1(х, с(х=с(х1 ... 1(хр, а=1 О р 1. и = Ли = р —,, и — произвольная достаточно гладкая функ- 10) дха ция, равная нулю на границе Г. Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти непрерыв- ное в Яг решение системы уравнений параболического типа —, = Ьи + ) (х, г), (х, 1) еи Я~, (83) и=1А(х, г) при хеиГ, (еи[0, Т[, и(х, 0)=иа(х), ' =йа(х), хеи О, ди (х, 0) (84) Пусть йА=(х1=(11й1, ..., 1рйр)) — сетка в д, 0(1' о (Л1„ ЬЧ=ЦР(„, а=!,2,..., р и й, (~1=)т, 1=0,1, ...) — сетка иа отрезке 0(г(т.
— р-мерный параллелепипед, б,= а х [0(((т[, Пусть Й = (Фаз) = (йае ) матрица р Х р с клетками и симметрии /гинут (х, г) =- йе.Р (х, () з, т = 1, 2... и — клеточная Х п, удовлетворяющая условию з к экономичные ехкторнзовхнные схемы 389 Оператор Г.„а аппроксимируем разностным оператором (см.
гл. 1Ъ') Л,ри = 0,5 !(Ь.зиха)„+ (Ь,аи, ) (85) а! и обозначим Ли= ~ Л„и. ч,к ! При 8 = а получаем Лааи = (ааих ) ' а = 0,5 (Ьпа+ ЬГ а)) ч "а (861 Введем пространство 11 — множество сеточных вектор-функций, заданных на !эх и равных нулю на границе ум Скалярное произведение в Й определяется так: (у, о) = ~~'.~ (д*, с'), (у', о') = ~ у'(х) о' (х) Ь, ... Ьр. 5=! х~ь, В силу (79) оператор Л является самосопряженным оператором, так что (Лу, и) = (у, Ло). Из (80) следуют неравенства с,( — Л! !у, у)~(( — Лу, у)(с,( — Л! !у, у), ус= 11, (87) где Р П Л"у=" ух,, ( — Л"'у, у)=Х Х(1, (у„'-)'-1 В качестве регуляризатора выберем оператор о Я,у= — оу„„, а=1, 2, ..., р, (88) а=! Й (Е 1- т)1,) = Е+ И, ГГ = Д+ тЯр, !! ! Г~р= Х Е.йа+ а(а где о — числовой параметр, который будет выбран из соображений устойчивости.
Напишем сначала двухслойную экономичную схему. Исходная схема имеет внд (Е+ Юу =Лу+т, где !р = 1'!+ 0((Ь Г+ т'). р Заменяя Е + т)с = Е+ т ~~! Р„факторизованным оператором гл. чн. экОнОмичные Рлзностные схемы 390 получаем экономичную факторизованную схему 1 П (Е+т)са) у! = Лу+9» х ~ о)о у(х, !) =р(х, )), хоп уо, ! Ен в„ у(х, 0)=ио(х), хан йо (89) Для отыскания вектор-функции у!) ! = у можно, например, воспользоваться таким алгоритмом: (Е+т!т!) а))!) =Лу+ор, Перепишем ее в виде (Е+ 2тЕ) у, = Е, где Е = 2(Лу+ )р) -(Š— 2Ж) у„ р и заменим оператор Е+2т))с = Е+ 2т Х )с, факторизованным а ! оператором и Ц (Е + 2тР„) Е + 2тй + 4т~ЯР.
а ! Тогда получим факторизованную экономичную схему а П (Е+ 2тУ„) у, = Е. (91) Запишем ее в каноническом виде (Е + 2тоС„) ) у. -1- то (Я + тЯ ) у, = Лу + )р, у=)) при хя ум гон Й„ у(х, 0) ио(х), у)(х, 0) =йо(х) при хан о)о, где й,(х) = Е,ио+)(к, 0). (92) (93) ю)!) = П (Е+ тЯЕ) )2! пРп х, = О, 1И в 2 (Е+ т)са) и),а) = ш)а-!) а=2, 3,..., р, а и))„)— - П (Е+т!т )р, при х,=О, 1„а=2, 3,..., р — !. в=«. Схема (89) абсолютно устойчива при о)0,5со и сходится со скоростью О (т+ ! Ь !2). Второй порядок точности по т имеет трехслойная схема у.
+ тойуг! = Лу + р. (90) $2. ЭКОНОМПЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВА!!НЫЕ СХЕМЫ 39! Для определения у =у!+' из (92) воспользуемся алгоритмом (Е + тй!) в!в = Р', з = 1, 2, ..., и, Р а!<ив - П(Е+тЕ„)р! при х, =О, 1н (Е+тйа)ю'а!=в!а „, з=1, 2, ..., и, а=2, 3, ..., р, П (Е+т)гв)1!,' Х„=О, 1„, а=2, 3, ..., р — 1. в=аа! Компоненты а!,'м находятся независимо.
Исходная схема (90) устойчива, если положить О = со (1+ е)/4, е = сопз1 > О. Операторы 1с попарно перестановочны и положительны, поэтому Яр > 0 и регуляризатор 1с схемы (92), равный )г = 1г + тЯР > 1!. Отсюда следует, что схема (92) в 11 абсолютно устойчива. Пусть у — решение задачи (92), (93), и — решение исходной задачи (83), (84).
Подставляя в (92), (93) у = г+ и, получим для погрешности г условия (Е + 2т'Я ) г. + г' (ф + тЯ ) ен — — Лг + ф Е=О при хенуо, (~й„г(х, 0)=0 при хеийо, (94) г!(х, 0)=т(х) при х си йо, где ор = Ли+ !р — и. — тоЕи!! — 2т'Я и! = аро — 2т'Я ип (95) оро — погрешность аппроксимации исходной схемы (90), т = йо — и! = 0 (т) . Так как В = Е + 2то1~Р > Е, то для схемы (94) верны теоремы 5 и 8 из гл. !!1, $ 2. Погрешность аппроксимации т второго начального условия оценивается в норме ЫЦ, где !1 „~Р =(О,, „)=то(У„,,)+то(0 „, „) =О(,!), 1(т|!в=0(т'), так как т=0(т).
Из (95) видно, что !Р = 0(т'+ (й!Е). Требования гладкости, при которых ар = 0(т'+!Ь(о) и йтйв = 0(т'), возрастают с ростом числа измерений р. Эти требования можно ослабить, используя, например, при выводе априорных оценок для уравне- Р ниЯ (94) с пРавой частью !Р = тоЯ О = !' Х т'-'ф о, о = ип Гл. чн. экономичные Рхзностныс схемы следующие неравенства: 2т(ср, г,) 2т'((ср, г ) = Р 2тз(~!э!о «,) + 2т~ ~, -~((~с о Р < т~~» ~~'+т'~~(С!"о~~'+ Х т'(асма., г)+ Х т'+Ряс'со, о) ~ Р е-, (ссх, .)+, Р!!Р)!!!о!!а+ ~~Р,', РРР(0с со о) Р 3 Два последних слагаемых в этом неравенстве есть величины 0(т'); они дают вклад в оценку погрешности г. Таким образом, схема (92), (93) сходится в Ф' со скоростью 0(та + !й~а).
Перейдем теперь к системе уравнений гиперболического типа. Требуется найти непрерывное в цилиндре ссг решение системы уравнений Р дса = йи+)(х С) (х !) ~ Яг 1, = ~~~ са,а, (96) а,а удовлетворяющее дополнительным условиям и=р(х, с) при хяГ, !я[0, Т1, и(х, 0)=и„(х),,' =йа(х) при хен 6. ди (х, О! — (97) Р Оператор А = ~ 7.а определяется а. а-! Система уравнений теории упругости формулой (8!). Р ъ-~ даи Асс = хх —, (98) дх а-! даи = (с сти + (РР + с!) нг а!( с(! ч и + ~, где Х = сопз() 0 н р = сопя! > 0 — коэффициенты Ламэ, и =(ссс, ..., и!') — вектор-функция размерности р, очевидно, яв- ляется частным случаем системы (96) при и = р и (1, с=с, иаа = Йбавбат+ (а+(х) баабааь бсс = $ О с'Ф/, Условие (79) выполняется автоматически.
Условие (80) также выполнено при с,=р, сх=с.+2р. л р Х Х й*„©;=р Х Ж)'+()+р)Я О,*- л Р =р Х (й'.)'+(2+и)ЯЯ >р Х ('й„")' Нетрудно показать также, в!то с, =Л+,2рл! Р л (За)' + (Х + р) ,~, абаз. ~~ а,в ! а.в ! а Х !вз' -","[ХФ--Х(ву)- л л Р =и ~~~" (3.*)'+(Л+и) ~(~„')'((Л+2и) "~', (~.')'. а,в ! а,в а-! В качестве регуляризатора )с выберем тот же оператор что и ранее: в '~ ~а~ йа' ЕаУ ОУЕ в а-! Исходная схема +т2).ву Ау ( В устойчива, если о = ', е сопз(> О.
с,(1+е) 4 Р Заменяя Е+ тз)С = Е+ че ~ Я, факторизованным оператоа ! л ром вв = П(Е+чевса), получим Экономичную факторнзованиу!о а-! схему в П (Е+ чей,)у„=Ау+!р при х~ в„, (ен а„ а-! у-и при хан у», 1ея а„ у(х, 0)=иа(х), у,(х, 0)=йе(х) при хан в„, (! 00) где йо(4 = па+ 0 бт(Ьиа+)(х, 0)). г! З 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
