Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 67
Текст из файла (страница 67)
пи1 (Х 1) = ~ 61 (Х1 ь1~ 1) Ио (ь1, Х2) ~(61 (22) о!з!(Х> 4) ~ 62(хг> яг> 4) пп! (А1 вз> 1*)41!аз. (23) В самом деле, решение первого из этих уравнений имеет вид оп4(х, 1) = м(х! — 1 хз). Из второго уравнения находим оо! (х, 1) = Р (х, — 1', хз — 1), т. е. О4з1(х, 1') = и(х, 1"). П р в и е р 3, Рассмотрим задачу Коши для уравнения тепло- проводности д>4 д'и — =1-!И+1-,И, С,И= —,, а=1, 2, д1 ' дх'-" ' оо<х»<4!о, 1ЪО, и(Х, 0)=И„(Х). Ее решение дается формулой и(х 1)= ) ~ 6(х! Хз' $! ез> 1)и4(ь» Ы4(ь144ьг где 6(х„х,; $1, й,, 1) — функция источника, равная 6 (Х1> Х>, ь1 $2, ~) = 61 (Х1 $1 ~) 62 (хз ьз ~)> -(4, — Е, )Ч44Й 6.
(х>Р К„, 1) = ' Напишем систему уравнений, соответствующую (!8)-(20). Не- трудно заметить, что гл. ш>. экопомнчныв вхзиостныв схемы Подставляя оо>(х, !*) из (22) в (23), получим = п(х, !') при любом !" >О. Б. Пусть операторы Ф (!) и Фа(!) неперестановочны. Тогда справедлива оценка [[ о (г,) - и (г,) [[= О (т), ! = 1, 2, ... (24) при дополнительном условии «гладкости» [[.4„М,и[!«М, а, [3=1, 2, ..., р.
Возникает вопрос, нельзя ли повысить точность по т без существенного усложнения составной задачи Кошну Составную задачу Коши (18) схематически запишем следуюшим образом А 'л«а» ° ° . -«. >р. Рассмотрим симметризованную составную задачу Коши, представляющую собой цепочку 2р задач Коши 0,5,М, — »0,5,М»-» ... — »0,5,Мр — «0,5Л,— »0,5,А», — » ... -+ 0,5Л„ что соответствует представлению оператора .4 в виде суммы ~ 0,5Ф„при 1 ~~а(р, ,5~ = Х,4а где Б««а = а =-! ! 0„5.4, „+, при р<а(2р.
Эта задача имеет второй порядок точности по т: [[ о' — и' [! = 0 (т') прн некотором дополнительном требовании гладкости начального вектора и» вида [[ >».,',г«!ап»[[~ (М, сс, р=!, 2, ..., р и усло. виях гладкости Ф«(!) по й Идея симметризации была развита И. В. Фрязиновым [4)в [6[, который построил и исследовал ряд аддитивных схем повышенного порядка точности для уравнений параболическоготнпа в ступенчатых областях, составленных из р-мерных параллелепипедов. При этом оказалось, что для выполнения требования суммарной аппроксимации 0(т') требуется вводить поправки к естественным краевым значениям. Итак, решение задачи (14) сводится к решению последовательности более простых задач (18) — (20), Для их решения Л 3. МЕТОД СУММЛРНОП ЛППРОКСИМЛЦИИ 407 Если .РФ вЂ” одномерные дифференциальные операторы, то соответствующую аддитивную схему мы называем локально-однол/ейной схемой.
Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности исследуется ниже. 4. Методы оценки сходимости аддитивной схемы. Напомним второй вопрос, который был поставлен в и. 2. Как доказать сходимость аддитивной схемы? Мы неоднократно убеждались в том, что из аппроксимации Р устойчивости схемы следует ее сходимость. Для аддитивных схем устойчивость по правой части должна быть такой, чтобы из условия суммарной аппроксимации р ~ ф„-»0 следовало стремление к нулю решения разностной а / задачи (с нулевым начальным условием). Такие априорные оценки, ориентированные на использование свойства суммарной аппроксимации, имеют место для аддитивных схем в случае систем параболических и гиперболических уравнений. Рассмотрим аддитивную схему общего вида в гильбертовом пространстве Нл, /+а/р /а/а-Ц/р 1 В ' ' +~,'А,зг"в/р=фа/, в=/ а = 1, 2, ..., р, / = О, 1...,, гь = О.
(25) можно использовать как аналитические, так и приближенные методы, в частности, метод конечных разностей. В случае, когда .Ф попарно перестановочны, точность приближенного метода решения задачи (14) целиком зависит от того, с какой точностью мы решаем каждую из промежуточных задач (!8) номера а. Следует подчйркнуть, что проведенное выше изложение справедливо для случая однородных краевых условий.
Если краевые условия неоднородны, то точность составной задачи Коши (18) — (20) существенно зависит от способа задания краевых условий для о/„Р Это же замечание относится и к разностиым впало~ам задачи (18) — (20). Раз//остная аппроксимация каждой из задач (!8), например, простейшей двухслойной схемой с весами приводит к аддитивной разностной схеме. Она является экономичной, если экономична каждая из промежуточных схем номера а. Таким способом можно, в частности.
получить схему, формально совпадающую при )' = 0 со схемой расщепления Н. Н. Яненко (!) (схема (34) из 8 2), но трактуемую как аддитивная схема. Прн этом не возникает никаких трудностей ни с постановкой краевых условий для р/"/Р, ни с заданием правых частей /р — //// + а/р а гл. Рн. эко!юмичные РАзностные схемы гоа Х (А.а$., еа))0, (2б) то д,гя решения задачи (25) справедлива априорная оценка г Р Р !!*'ьа *(!! ~ !Егг ~~та Е !!гг!!-,) Е7! О<А<!1 !а 1 в Д о к а з а т е л ь с т в о. Перепишем уравнение (25) в виде + Х Ааааа=г(га а=!, 2, ..., р, Еа Е Е! (Ха Еа-!)/т ХР Е ~ ХО а Умножим обе части уравнения (25) скалярно на аа и просум- мируем по а.
Учитывая, что (Вег,, еа) =0,5 (Вза, за)! + О,бт(Вег, х! ), получаем энергетическое тождество Р Р / О (В"", з'"!)+ тг ~ (Ве! ..! )+ 2. Х ~ Х Аа х .. = а ! а!а-! ,=2т ~, (г(г„, аа)+(Вх/, з/). (28) а-1 а Преобразуем сумму / = 2т ~~~ Щ„, еа). Для этого предста- а-! вим ха в виде а еа х + ~ те! . 13 Тогда /=2т~:э~ г)га, ег)+2тг 2,"г~г)г„~~!', х! ). а-1 а-! )г-1 а/ Те о р е м а (.
Если В = В' — положительно определенный постоянный оператор и матрица-оператор А = (А ) ) 0 неотрицательна, т. е. для любых векторов $„$ ен // А 3. МЕТОД СРММАРПОП АППРОКСПМАШ2И чоя Воспользуемся обобщенным неравенством Коши — Буняковского и в-неравенством / р р а У ( 2т ~ ~~~ Ф„г') + ет' ~ а 1( ф, 11' -~ + — ~~ ~~)~~ 1) г, ()' ( а-~ а-1 я в в 2 Р АХРа+2~11в+аХ~~ "~~г а Р +ет'-р ~ ~~ф,11 Положим в = р: Р Р Р Х-.= е,т!1 г' ~1', + — ' ~ ~, Ра1 + т2 ~, ~~ гг ~! + р'"~ 1Фа 11Е', . а-~ а-! а в а 1 в где ф~~=2Р2+"~~.
В силу замечания к лемме 5 из $1 гл. Ч1 имеем 11 г~" ' 11 ( е ' l Из условия минимума первого слагаемого выбираем Е,=1)1ь В результате получаем оценку ,'~„' р' + р' ~,'~~Ь4~',— А-О а-~ А 0 а 1)г 11 или Р 1)гг+'1~в(12ге1~ гпах,)~~~2)а~ +р )/т~~ шах ~~~тр4Е-О О~А<2~~ в О<А а-! Подставим эту оценку в правую часть тождества 128) и учтем 126): "'1~,'(<1+е Иг'~1', + —,' ~аМ +р' ~~~~Ы„-» Гл. Рн. зкономнчные РАзностные схемы ч!о (30) 1, а1р ! !Ча-!)/р В" " =Ч1«1, а=!, 2, р Г1о=О Т а Отсюда следует: ВГГ" ° =ВГ1+ У Чз, В 1" =Вг!'= ...
=В 1'=О, а=! т. е. т11= 0, ЕГ= о~ для всех /= 1, 2, ..., а Р 11 ~=т~! В 'Ч1,( = — т ~! В 'Ч1З1, а=!, 2, ..., р — !. а=1 З «1-1 Для о!""Гр, очевидно, получим уравнение (25) с правой частью Р Р Ч1~ =Ч1,!+т ~а А,„У, В 'Ч!!(, и" ! а'=а»1 и начальным условием но=О. Из (29) следует 1~ЕГ)~! =11 о!!1Н(м гпах ~ 1!Фа~!!1. О(я<1«-! Условие суммарной аппроксимации означает, что 1) Ч! можно представить в виде (30), 2) 1(Ч1«!1!о! — » 0 при т-» О, 16)- О.
Второе Отсюда видно, что из суммарной аппроксимации в На- следует сходимость в Нв, т. е. из условий Х Ч.~ =11Н,, О, 11Ч.(~,— = О(1), О, 1й( О, а-' 11а следует, что ~|зы!1а — 0 для всех 1=1, 2, ... Отметим, что оценка (27) получена при весьма слабых огра. ниченнях: оператор В положительно определен и самосопряжен, матрица-оператор А = (А„в) — неотрицательна. Если схема (25) рассматривается в банаховом пространстве НА, то применяется другой метод построения априорных оценок.
Пусть схема (25) устойчива, так что ~1е-'!1,о -Л! гпах ~ ~~~Ч1Ц,!, (29) где 11,!1!и и 1!' 11!о! — некоторые нормы на Н„. Предположим, что Ч1„можно представить в виде суммы Р Ч1« = Ч1« + Ч!а, так что Х Ч1« = О. а ! Положим гы'!Р = Г1!»а!'+ о!Рь "Р, где Ч!»«м определяется из условий 4 х метод сэммхвноя лппгоксимлции 411 требованиебудет выполнено, если)(фЦ„,-+0 и ~~А 8-ф~ при т- О, (Ь! — О. Проиллюстрируем второй метод исследования сходимостп аддитивной схемы (мы будем пм пользоваться в п.п. 7, 8) на простом примере. П р и м е р !.
Пусть дана задача Коши — „, +(а,+а,)а=)(1), 0~(1~(1,, а(0)=я,, (31) где а~ )~0, аэ)-0 — числа. Напишем простейшую аддитивную схему, соответствующую задаче (31). Для этого заменим (31) системой уравнений аьп1 а~ + жо и = 6 (1) 1ю Ф <1гео ощ (1;) = о (1;), и чси +агаси = 6(1) 1~'~(1~~1пео од (11) = ощ (14ы), Аддитивная схема имеет вид ую у~п + а~у~й' =11 (1;+ () у~~~ = у~ (32) Подставляя сюда у~ =у' у~ =у1+' =угь'ь, получим и) ' Ф и) у!+1а у/ +а,У1~-и =1,(1~~,а), д~+~ +азу~+' =~а(1;+ ~ ), у~=и,. Найдем погрешность аппроксимации для каждой из схем. Представим у~~' =и'+'~'+а~+'~, а=О, 1, 2, тогда для получим условия /+Ч ! +а,а '=~>ы ее+' — «~+ а ~+ ~ +пав' -4, а -О, 412 Гл. чн. экОнОмичные РАзнОстные схемы где 2р„— погрешность аппроксимации (на решении и) уравнеl нием номера а исходного уравнения (31): /+ /.
2(!! =/! ' — — а!и '=2(/!+2Р! > и! ь !0. ! /0'Ь 2(/2 /2 /!2и 2(/2+ 0(/2 2 2р! = 0(т), 2р2= 0(т). Здесь ! !+!~ 2(/! = ~~ — 0,5 — -а и) ач ') '/ / !/и 2//2 = (/'2 — 0,5 — — а И) и/ 2) Отсюда видно, что 2р!+2р2=0, 2р!+2р2=2р!+2р2 = 0(т).
Положим е/0'/2=21/4"2+ о/+'/', а =О, 1, 2, где /+'/ / .. /4! /+Ч2 ч ч = р/ ч ч = р/ 1=0 1 2 0=0 Т так что т/! = 0 для всех / = О, 1, 2, ..., а !0'Ь '/ '/ Ч = т2р! = — т2(/2. Для о получаем условия 0/0'й 0! + а!о/+ А = ф(, ф~/ = 2(!!/+ а!тф(/, и!.0 ! 0/ 0- '/. /0! ! / '! О + !!2о = 2(/2, '(/2 = 2р2, о = О. Так как а!» О, а2)~ О, то (о/0-'А( 1 ! !+ -/~ ° ~ /!+ )о/+!) 1 („!0-'/+,-,/!~! /0/,~+ 1+а,т / ! о"'1 =аИ+ (!ФИ+ !ФЯ) ~,Х(1ФГ!+ !ФЛ). Замечая, что а~с о/, 12р/1=0(т), получаем 1г/1=0(т), т. е. аддитивная схема (32) имеет первый порядок точности прн ЛЮбЫХ /! И !2=/ — !'!. Подчеркнем, что при изучении сходимости аддитивных схем мы предполагаем (как и всюду в теории разностных схем) б( $3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 4!3 единственность, существование и достаточную гладкость решения исходной многомерной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
