Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(50) Ряо Применим неравенства (46) и (60) для оценки решения нашей задачи (37), (38). Для этого запишем разностное уравнение (37) в канонической форме (43). Для удобства изложения введем сетку й~=(0,1!!.р!р =(/+а/р)т, 1=0, 1, ..., 1А — 1, а 1, 2, ..., р), 14" содержащую не только узлы 1! — — /т сетки й„но и фиктивные узлы 1!+щ„а = 1, 2, ..., р-1. Отнесем формально у!+' к мо- МЕН ГУ т! ! Р~р~ Пол атан У!ф У р фа+ !Р + ПУСть Гэт (1! ! р!р~ ф 420 Гл. чн. экОнОмичные РАзнОстные схемы в„— множество внутренних узлов сетки вь(б). Обозначим через Р(х, 1), где хя ви, 1еи а'„узел (р+ 1)-мерной сетки Й = вь Х в', = 4 Р (х, 1), х ее а„, Г ее в',) в цилиндре Яг„ В„=(Р(к,г4 ), хеиу„„, а=!,2,..., р), В,=(Р(х,0), х =аА), — 4+~!+ + — граница области Я, так что Й = Я+ Я. Пусть 11,*= (Р(х, 1 „), хее аь „) многкество узлов, для которых х еи в„', есть приграничный Р по х, узел сетки аА, Й,— дополнение Й„' до Р., 14*= ЦЯ"„.
а ! Π— дополнение Р' до (), () = () + й*. Обозначим Р,= Р(х, г! „, ), Р( в) =Р(к( ~а1, 1 „) и запипгем уравнение (37) в виде А(~ а)У(РР)= У(РР !)+В(РЫ Р )У(Р )+ + В(Р Р( !а))у(Р( !а))+ гр(Р ) Р ~ Я (51) У(РР) = (г(~ Р) Р~еи ВР1 У(1) ='гг(к)~ Окрестность Ш'(Р„) узла Р, состоит нз трех точек Р „Р( Р) и Р( '"). Если х — регулярный узел сетки в„, то '1( а) + г ! В(РЫ )=В( )= — г ( 2) Ег ! а Если к — нерегулярный узел, то '1(! Р)= + з В(РЫ ! а ~~)=, (53) ьа+ьа- еаааь где й, — расстояние между узлами х(*'Р)и х, Л„=0,5(Ь„4+6, ).
Из (52), (53) и (51) видно, что (при у ~з Ф О) В(Р)=0 при Р~ й, А)0, В)0, (54) Пусть у)ХА=О или у(Р,)=0 прн Р„сии„. Если Р„вне'„, а Р(+'а) ~ 5,— граничный узел, Р( "*)яȄ— внутренний узел, 421 $3. мБТОд суммАРнОЙ АппРОксимАцни то у(Р(+'а))=0 и (51) принимает вид А(Ра)У(Ра) т У(Ра-~)+ (Ра' Ра )У(Ра )+~Р(Ра)> Ра 1)а' Отсюда и из (53) следует, что (при у! Ф О) Т1 (~ а) = 0> Ра Ен ()а! )-~(~ а) = а» > Раен 1)а. а»а+ Если оба узла Р1('а), Р( 'а) ен Яа являются граничными, то 1 А (Ра) у (Ра) = у (Ра-!) + ф (Ра), Ра ен 1)а и В(Р„)=, при Р,ен»1„', у! ~0. Если х — регулярный 2 "а+ "а- приграничный узел, то Ь,+— - й, = л,= Ь,.
Таким образом, если у(Р) обрашается в нуль на границе у(Р,) = О, Р, ен Я„то д(Р,)) 11(6(Р,)) при Р, е 11„, (55) где б (Р,) = Ь, — одно из чисел Аайан, 0,бала»йа — > йа> 0>бала (56) Решение уравнения (51) представим в виде суммы у=у+у, где у — решение однородного уравнения (51) при %(Р)=0 и у(Ра) = !»(Рр), Ра ен Яа, у (Р) = и„(Р), Р а 5„а у — решение неоднородного уравнения (5!) при условии у(Р)=0, Р~Я. Так как условия (44) и (45) выполнены, то шах! У(Р) !(шах! У(Р) !. р~п РМЯ Для дальнейшего нам понадобятся обозначения ЦУЦс= птах!У(х)!, ЦУЦ. =шах (у(х)!„ а м а» с х >а В» Ц у Цс. = гпах ! У(х) !, Ц !» Ц = гпах ! !» (х) !. х я а» т амт» Имея в виду, что у(Ра)=!»(Рр) при Р,ев Я„у(Р) =ио(Р) "Ри Р~ Оо гпах ! У (Р) ! = шах (Ц ио Цс, шах Ц !»»' Цс ) ( Ц ио Цс + 1пах Ц Р» !ю ° РМЯ ма' » С МЭ' »' получаем Цу1! (Ци»ЦС+ шах Ц(»(х>1)Цс 1 1> 2 ' " 1о' о~У</>т ' ™ ГЛ.
ЧП. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РассматРиваЯ вместо Й(1з) = йа Х й', сеткУ й (1) = (Р (х, Р), х ен й„, О» »1' = ()'+ а(р) т» »1т), будем иметь !!у'!!с»~!)Но!!с+ шах !)р(х, 1')))с . О~Р~/т Перейдем теперь к оценке у. Представим сначала ф в виде ф(Р,) =ф(Р„)+ ф'(Р„), где ф(Р,) = ф(~ а)~ Ра~ 1)а~ р ~ Ою Ра~ 1)ю О, Ра~ ()а, ф(Ра), Ра е= 1)а' (57) В соответствии с этим положим У (Р) = о (Р) + в (Р), где о(Р) — решение уравнения (51) с правой частью ф'(Р) и о(Р))э=О, а ю(Р) — решение той же задачи с правой частью ф(Р), Принимая во внимание (55) и (50), сразу получаем оценку для п(Р): шах) о(Р) )»»шах) б(Р)ф(Р) ) Рин Р~Я« 1) о~ ))с » (гпах !1 Ьаф~~+ЫР ~! ~~Ц~,Р,Оа,д» ~-! или (58) где б„— одно из чисел (56), Для оценки ю(х, 1~~фр) запишем разностную схему (37) ю(а)/т = ~азы) + Ро (х)~ Ра = ю(а-1)Й + фю ~вы) )т„=О, ю(х, О) =О, где ю~а) = ю (х 1нфр), юм-и = ю, (х, 1г+ф шр), в канонической форме (43) с Р=х~ ы„.
В строго внутреннем узле х ~ в„имеем (-' — ') ~ 1ц... ) 1'ю(+~а) Ч ю( 'аПЧ Р ЕП аТ, ~а) Еа у а~ т. е. Р(х) = 1/т. В приграничных узлах, очевидно, 0(х)> 1/т. Поэтому, в силу (48), верна оценка )! Ю~а) )~С » «( й )(С » ~т )! Ра!!С ~~!) Ш(Ч-!)!)С + т (! фа 1)С =)) ю~а-1) 1!с + т() фа)) ч з, мвтод стммьтиои ьппвоксимьции или )! и((+ ~~))с ~)! и((+( ~и ))с+«)! Ф(+ М )!.
После суммирования по а и / получаем !-( а ))(е(!!с < Х Х «|!Ф~+~~(! ° к (а 1 с' Пользуясь неравенством треугольника )! у )ю = !! у+ о + (в !)с < !! у )!с + !! " )!с + )! (в ))с (59) и оценками (57) — (59), убеждаемся в том, что верна Теорема 2. Локально-одномерная схема (37), (38) равномерно (в метрике С) устойчива по начальным и граничным данным и по правой части, так что для решения задачи (37), (38) при любых «и Ь справедлива о((енка (-1 ))у(! ~!!"!!.+ Х«Х !)Ф'+ ~г!! + /' 1 а ! с + шах !)(х(х, р)!)с + шах ))баФГ+~~)!с., о<( <и т (ка<а о<ус! Тогда схема (37), (38) равномерно сходится со скоростью 0(Ь'+«) (имеет первый порядок точности по «и второй порядок точности по Ь), так что !(у( — и())с(М(Ьа+ «), ) = (, 2, ..., где Ь = шах Ь„, М = сопз( > О не зависит от «и Ьа.
~<а~ р Доказательство. Представим решение г( (=унп — и задачи (39) в виде суммы г(,( — — о(„(+ т((ы, где т((а1 определяется условиями и(а) п(а-и хен(вь, п.(а, =0 при хен ум„ п(х, О) =О. где 5, — одно из чисел (56). 8. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы. Докажем следующую теорему. Теорема 3. Пусть задача (33) имеет единственное непрерь(вное в (г(, решение и = и(х, () и существуют непрерывна(е в (,(н производнь(е даи д'и д'и д'( д( дха дхЕР д( дх дха ' Отсюда находим т>1+! =»(р> =»1+т((>)(+ ... +(>)р) =»1=0 для всех у=О, 1, ..., так как т>" =О.
Для»1,)! =»1+"(Р пол>чаем — . ~~~~~ (() — . ~к~~ ()) з ! Р-а+! Для о(,) получаем задачу "(а) а(а-И Лао (а) + >ха~ хенч)>р и=>, 2, ..., р, (60) о(х, 0) =О, о(а) !т чта а Где (ра = >ра+ ат>(а) Воспользуемся теперь теоремой 2 для оценки решения задачи (60). Так как о =0 при 1 =0 и при хан у„, то 1-! р >> о(» «п>ах )(б (р('+а)р (> + 2~~ г ~к~~ >> (р1+а1р >>, )<а~р, С 1' ! а ! С о<1 <1-! Рассмотрим Л,»(,>. В строго внутренних узлах (х~ «>ма) р Ла»(а) = — т ~ Л !() = 0(т)„ а=а+! д'и если существуют непрерывные производные,, а Ф р.
дх„дха В приграничных узлах х ев а>'„, имеем (для определенности считаем, что х( 'а> ~ Уы „, а х(+'а> ен а>ма): В п. 7 было показано, что в таком узле Ьа->!аида и, следовательно, ~ б.лд... ~ = ~ д.й. Л.ирч ~ .= ( ф") (+ 2 ! и,„, ~, т. е, 116,Л,»(,>~! .=0(т), (В,р.)( «>>6.,Ц +(б.л.и„(,,«М(й„+т). Учитывая затем, что АИ; «ИЯ;+ Р.Ъ>И;«Л4(йй+ ) 424 гд чн, акономнчные РАзностные схемы >з 4 а мвтод суммлРнои лппРокспмлцш1 425 И в~=О), ПОЛУЧаЕМ ))г)[)с=[[У) — и)[~с<м(Ч+т), й гиаХ Ь„ 1<а<а что и требовалось доказать.
Из устойчивости по краевым данным и по правой части следует произвол в выборе 1*, и т„" (см. стр. 416). Таким образом, мы провели исчерпывающее исследование локально-одномерной схемы. 3 а меча н и е. Схема (37), (38) была исследована в работе автора [7). В приграничных узлах а)л', значение у),) можно определять при помощи интерполяции по направлению х, (ср. А. А. Самарский [4]), что соответствует требованию Л у — О при хека), у =О при хеиул Принцип максимума верен и в этом случае; имеет место тео. рема 2. Прн оценке скорости сходимости локальио-одномерной схе- МЫ ФУНКЦИЮ т))а) ОПРЕДЕЛЯЕМ таК жЕ, КаК И ВЫШЕ, ПОЛаГаЯ г)а) — — т))а)+ о,„) во всех внутренних узлах х~ а)л, где а ))1„) = т ~ )[) = — т ~ )[)з, З 1 З-аУ) )[)з - — '(7з + 1.з и — ач бв, 1) Тогда для о)а) получаем задачу ")а) ")а- )) а 'аап)а) +)У)а)~ Х~ «)Л а ' ав)а) + фа Х Еи Л)Л а где ф„= ф," — л,ч„и х~ а)л, )[)" = )т-аи) ' а аЧ)а)' Х ЫЛ а' Дальнейшие рассуждения практически совпадают с рассуждениями, проведенными выше.
В результате убеждаемся, что и в этом случае верна теорема 3, т. е. локально-одномерная схема равномерно сходится со скоростью 0(т + Ь'), где л = шах й . а 9. Локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами. Укажем, как применяется локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами.
При этом достаточно указать лишь изменения в формулах для операторов Ьа и Л„, считая, что рассматривается задача (33). Локально. одномерная схема всегда записывается в виде (37), (38). ГЛ. ЧН. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 1) Линейное уравнение параболического типа. Пусть в задаче (33) Еии= дх (ии(х' !) дх )' 0<С!~(й~ь с' В задаче (37), (38) меняется лишь формула для Л„: Л,у„,=(а,(х, Г)у, ), 0<с, а,«с„ и ка Коэффициент а„выбирается так, чтобы Л„имел второй порядок аппроксимации на регулярном шаблоне, Лаи — Еии = О (Ьа) например, можно взять а„= 0,5 (/г, (х, 7) + и, (х( 'и), !) ).
Теоремы 2 н 3 сохраняют силу. 2) Квазилин ейное уравн ение пар а болическог о т и п а. Пусть в задаче (33) д ! ди ! даа Возможны два способа аппроксимации оператора Е„: а) Л У<„— — (а (х, Г, 0,5 (Укч+ У(,'и))) Ук ) Для определения у<„! получается нелинейное уравнение, которое решается тем нли иным итерационным методом; каждая итерация находится при помощи прогонки. б) Л,у<„,-(а„(х, г, 0,5(у„,>+у(, '„)))у ) Для у! ! получаем линейные уравнения, решаемые методом прогонки. Что касается устойчивости и сходимостн, то при дополнительных предположениях относительно ограниченности данаи д~зи д~зи производных —,', ", —,' имеет место равномерная ди~ дхи ди дхи сходимость со скоростью О (т + 7!').
Локально-одномерные схемы можно применять и в случае третьей краевой задачи. Если, например, область 6 есть прямоугольник со сторонами 1! и (к (нли ступенчатая область), то уравнения (37) пишутся не только во внутренних узлах сетки, но и на соответствующих границах. Так, например, если на стороне х, = 0 прямоугольника (О (х ~1и, а = 1,2) задано ди краевое условие — = а! >и+ т! >, то при а = 1 уравнение (37) дк! ! ! 5 з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
