Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Пусть, например, и — решение задачи Коши (!4), у = ул— решение аддитивной схемы, ул еп Нл, где Нл — пространство сеточных функций. Следуя $ ! гл. ! и 5 ! гл. Ч, мы должны оценить разность г' =р!л — и~,, где ил = Ули, Ул — линейный оператор из Н, в Нл(и еп Н,, ил я Нл), ~очнее, величину ((р! — и!(! л л(, где (~ ° ~(( ) — некоторая норма на Нл. Эта оценка производится непосредственно: пишется задача для гы вычисляются погрешности аппроксимации ф„=$„+фл и используется один из указанных в этом пункте методов оценки гл. Возможен другой способ оценки зл.
Пусть о ~ Н,— решение составной задачи Коши (18) (или (16)), ол = У~ о ~ нл. В силу неравенства треугольника Оценка близости дл и ил сводится к оценке близости ул н ол, о и и. При оценке б о„— ил!! требуется информация о гладко'('л) стн и, прн оценке (~ул — ол'г', о гладкости о. Таким обра(' л) зом, при этом способе оценки порядка точности адднтивной схемы надо сначала установить (либо предположить) гладкость нужного порядка функции о.
Это требует дополнительного исследования дифференциальных свойств решения составной задачи Коши и является, вообще говоря, трудной задачей. В случае А из п. 3, когда,Ф„попарно перестановочны, о! = и) и поэтому т е. сходимость адднтивной схемы следует из устойчивости и аппроксимации для каждой из промежуточных схем. В п.З было показано, что составная задача Коши также обладает свойством суммарной аппроксимации. Поэтому при оценке (! о — и ((и, работают те же методы, что и при оценке )! ул-ил)), ('л).
5, Локально-одномерная схема для уравнении теплопроводности в произвольной области. Пользуясь методом суммарной аппроксимации, нетрудно построить экономичные аддитивные схемы для параболических уравнений в области сложной формы. (У1ы проведем детальное исследование локально-одномерной схемы для уравнения теплопроводности в р-мерной области б = 6 + Г сложной фоРмы. ПУсть х = (ль хб, ..., хр) — точка р-мерного евклидова пространства Йр. Гл.
ч11, экОнОмичные РАзнОстные схемы 4)4 Рассмотрим в цилиндре О1, = О Х [О (1 <1а] следующую задачу для уравнения теплопроводности — ',", =~и+~(х, 1), ~='~'„~„(х, 1)Е=Ои, а 1 и [г =)1(х, )), и(х, 0) =на(х). (33) в„-дополнение в'„до в„, в„=в„+а„'; в'„', — множество приграничных узлов, нерегулярных по ха. Для разностцой аппроксимации оператора Ь„в узле х выирасм трехточечный шаблон состояшийиз точекх( Разностный оператор Л„- й„имеет вид: а) В регулярных узлах Л,у = ух „= —, (у(~' ) — 2у+ у( ' )).
1а б) В нерегулярных узлах 1 11а1 ( ') ( (е1а) 1 1а а а а Л.у-у;, = а а Здесь à — граница области О, Ь вЂ” эллиптический оператор второго порядка. Для упрощения изложения считаем, что й = Л— ваа оператор Лапласа, т. е. Е,и= —, а=1, 2, ..., р. Предполо. Лха жим, что задача (33) имеет единственное достаточно гладкое решение.
Относительно области б конструктивно используются два предположения: 1) пересечение области 6 любой прямой С, параллельной оси координат Ох„, может состоять лишь из конечного числа интервалов, 2) возможно построение в области О связной сетки йа, описанной в гл. 1Ч, 5 1, с шагами л„, и = 1, 2, ..., р. Напомним обозначения; в"„а — множество приграничных по направлению Ох узлов; ЧА,,— множество граничных по направлению Ох„(по х ) узлов; в„= Ц а' — множество всех приграничных узлов; А,а а 1 тА — множество всех граничных узлов; а„, - дополнение а,',, до в„ а, ва а = в„, + в'„ „; $ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ где Ь,=0,5(Ь,+Ь„), Ь,— расстояние от нерег~лярного узла х до граничного узла х(Р'а) или х( 'а).
Если хйвА',,их( 'а)еичА,„ х(е ) еи чА, „, то Л.у=дх, — ' где Ь,р — расстояние между х и х(+' ), Ь,.-расстояние между х и х( А), Ь,А е 'Ь,. В регулярных узлах Л, имеет второй порядок аппроксимации Л,и — 1.„и= 0(Ь,), в нерегулярных узлах — первый порядок: Л,и — 1.„и= 0(Ь„). Перейдем к написанию локально-одномерной схемы. Приведем сначала наводящие соображения, в основном повторяющие рассуждения п.
3. На отрезке 0(1(1А введем сетку а,=(1,=1т, 1=-0, 1, ..., 1,) с шагом т= 1АД,. Пусть 1,— произвольные функции, такие, что р Х 1.=1. А ! В слое (1;, 1;„,) вместо (33) будем решать последовательно уравнения зррч д, =1аокя+)а(х, 1), О= 1, 2, ..., р, х~ 6, 11(1~(11ро (34) с начальными условиями о~ (х, 0) = ц,(х), Он> (х, 1;) = О~р~ (х, 11), 1 = 1, 2, ..., ща) (х, 11) = Ом-и (х„11.~.~), 1 = О, 1, ° . °, О = 2, 3... р, полагая о (х, 11+,) = оич (х, 11+,). Краевые условия для омь очевидно, достаточно задавать не на всей границе Г, а на ее части Г„, состоящей из точек пересечения Г со всевозможными прямыми С, параллельными Ох и проходящими через любую внутреннюю точку х е= 6 (см. гл.
1Ч, $1). Узлы х ен у„, лежат на Г . Если, например, О = (04 х <1„) — параллелепипед, то Г„ состоит из граней х = 0 и х~ = 1„. Пусть Л вЂ” пересечение С, с О. По предположению 1) относительно области О множество Л состоит из конечного числа отрезков, параллельных Ох„, с концами на Г„. Гл. ун, экОнОмИчные РАзностные схемы 4)а Заменим каждое из одномерных уравнений теплопроводности [34) двухслойной чисто неявной схемой (35) т а (а) а А а=!,2, ..., Р,!'=О, 1, ...,!о — 1, с начальными данными Уш = по(х) У(и = У)Р) 1 = 1> Граничное значение у((„~ и правую часть (р!"' можно )'та,а выражать через р и )„взятые в произвольные моменты Г,' и 1," на отрезке [Г(,1(,,)[! У(а) [т = 1(!)Х' (а)' фа = ) [Х' (а)' Из пп.
7 и 8 следует, что схемы, получающиеся при различных 1,' н 1,", имеют один и тот же порядок точности. Для определенности полагаем у(а) ((т = $( [х 1! о!) 'ра" = [ [х 1 (. но) 1 ~~ а е Р [38') Значение у(+ ' и будем называть решением р а зиостно й з а- (Р) дачи при 1=1)~! и обозначать у!"'=У))!. Учитывая начальные (Р) условия (36), перепишем [35) в виде „(е! !(-! "(' !) =Л уге)+(р)ь), а=1, 2, „Р, т а (а! а уго! у!~ ! у(~ ! У( ф) ' ф! Введем безындексные обозначения уоя = уг)), ф, = ф(+'. Тогда локально-одномерная схема может быть записана в виде У(а) У(а-и =Лау(а! + фа~ х ~ о)о, 0 <1 = /т ~~(о, [37) У(а)=)), х~ро,а, У[х~ О)=по(Х), У(о) =У ~ а= 1~ ° ° °, Р [38) Для каждого уравнения номера а мы получаем одномерную первую краевую задачу. Решаются зти задачи последовательно в порядке возрастання а, Для решения каждой из задач У(а)7т Лау(а) У(а-!)/т+ фа, У(а) [то а )) вдоль отрезков, параллельных Оха с концами на у„, применяется алгоритм прогонки.
Алгоритм решения задачи [37), [38) похож на все остальные экономичные методы — последователь- ь з метод сгммхнссос1 хппгокспмхции гс+с = усес — ибьс, а = 1..., р, сы уса) так, что гс+' = гс = ус — ссс гс+' = уььс — ис+'. Подставим усы = ссс '— сгс гсы + й в (37) (38): гсы хса- с1 = Льгсы + с[сь, х е= свь, 0 С с =/т~~(м (30) гсм [ = О, г (х, 0) = О, а = 1, 2, ..., р. Здесь с[с, — погрешность, с которой аппроксимирует уравнение (37) номера а многомерное уравнение (33) на его решении и: 'Фп=лай+Чса т ба с сс=1 2 р [ 1, а = 1, 1 О, а~1.
Вводя обозначения 'Га 7-аи + [а бь, С дг ди так что $с = Ес и + с с — —,, ср, = 1.„и + с'„, а = 2, 3, ..., р) „переди пишем ср, в виде сг, =си,+ср ° (40) Нетрудно заметить„ что ХФ =О, (41) но меняются направления прогонки (а = 1, 2... р), Чтобы найти значения у на шаге 1,„, по данным на шаге Сл надо поэтапно решить р одномерных задач по всем координатным направлениям. 6. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы. д'и Пусть и =- и(х, С) — решение задачи (33) с й„и = —, н ус,„>— дха решение разностной задачи (37), (38).
Характеристикой точности локально-одномерной схемы является разность ус — ис = гс. Промежуточные значения ус,ьс, а = 1, 2, ..., р — 1 будем сравнивать с и (х, 1,), где 1, — любое значение на отрезке [(ь Сыс). В выборе 1, есть большой произвол. Для определенно стн будем полагать ГЛ. УП. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 41В если ~ )а=). Оценим величину ф,: а-! Фа = фа Фа = (Лай+%а) (Тап+ 1а) ((й Н)7т — дг ) ба, ~ ° да 1 Из п. 5 следует, что ф, = 0 (й; + т) в регулярном узле, ф, = 0 (Ла + т) в нерегулярном узле.
(42) Так как ф„= 0(1), то каждое из уравнений номера а не аппраксимирует многомерное уравнение (33). Однако, в силу (40) — (42), аддитивная схема (37), (38) аппроксимирует уравнение в суммарном смысле, так как ф = Х ф. = Х ф'. = 0 ( ~ й ~'+ т) а ! в регулярных узлах, ф = 0()й)+ т) — в нерегулярных узлах. Таким образом, локально-одномерная схема (37), (38) обладает свойством суммарной аппроксимации уравнения (ЗЗ).
Наша задача — показать, что из суммарной аппроксимации следует равномерная сходимость локально-одномерной схемы со скоростью 0 (~Ь~' + т). Необходимо сначала доказать принцип максимума для локально-одномерной схемы и получить априорные оценки в равномерной метрике для решения задачи (37), (38), выражающие устойчивость локально-одномерной схемы по начальным данным, по правой части и по граничным данным. 7.
Устойчивость локально-одномерной схемы. В гл. 1Ч $1, и. 5 был доказан принцип максимума для уравнения, которое мы запишем в виде А(Р)у(Р)= ~~'.~ В(Р, 0)у(0)+Р(Р), Ря(1, 9яЙ, (43) оаш' ич где Р, 0 — узлы связной сетки й = й+ 5, у(Я) задана на Я, уравнение пишется в 11, А (Р), В(Р, О) и Р(Р) — заданные числовые функции точек Р, 0; 8 — граница сетки, Ш'(Р) — окрестность узла Р. В главе 1Ч рассматривался случай, когда Р = хенгага где йа — сетка в области 6 р-мерного пространства.
Установленный там принцип максимума и вытекающие нз него следствия сохраняют, очевидно, силу для уравнения (43). Будем предполагать, что А(Р) > О, В(Р, Я)) О, (44) $ Д МЕТОД СУММАРНОИ АППРОКСИМАЦИИ 4!9 Обозначим 0 (Р) = А (Р) — 2', В (Р, !",!). О и ср! Принцип максимума для (43) имеет место при 0(Р)) )О, Р~ 11. (46) В этом случае для решения однородного уравнения Цу(Р)] = О, где Л 1у (Р)] = А (Р) у (Р) — ~2'"„В (Р, 1;!) у (с1), Р ен й, Е ДР!Р! справедлива оценка шах] у(Р) ~(гпах! у(Я) ~. Рев О из (46) Если выполнено условие В(Р)>0 для Р~й, (47) то для решения уравнения (43) с однородным условием у]з.= 0 имеет место оценка шах ! у (Р) | и!ах ~ Р (Р) (48) реЯ ,.а В(Р) Если хотя бы один узел 1;1енШ'(Р) является граничным, (!еиВ, то узел Ря(1 назовем приграничным.
Обозначим 11* множество приграничных узлов, а !! — дополнение й* до й, так что 11 + 11* = 11. Предположим, что И (Р) ~ )0 при Р я Й, В (Р) => — > 0 при Реп й*, 1 Р (Р) = 0 при Р ы 11. Тогда для решения уравнения (43) верна оценка шах~у(Р) ~~!пах ! ( )(спахов 6(Р)Р(Р)!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
